<< Предыдущая

стр. 2
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0 B1 0

где B ? gl(r, R), а B2 определена равенством (1.2).
Изучим далее структуру подалгебры L1 . Имеем
? ?? ?
B1 X 0
? CX ? = ? Y ? .
B4 X 0

Следовательно, B1 = B4 = 0 и потому L1 состоит из матриц вида
? ?
A1 0 A2
? 0 C 0 ?,
AT 0 D
2
6 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

AT + D. Поэтому каждая матрица подалгебры L1 разлагается в
где A1 + A2 = 2
сумму
? ?? ?? ?
0 ?A1 0 0 B
00 0 A1
?0 C ?+? 0 ?+? 0 ?,
0 0 0 0 0
0 ?A1 B ? BT
BT
00 0 A1 0

где C ? LO(p?r, q?r), B ? gl(r, R). Таким образом, каждый элемент J подалгебры
L имеет следующий вид:
? ?? ?
J1 0 ?J1 0 J2 0
J =? 0 0 0 ? + ? J2 C ?J2 ? +
J1 0 ?J1 0 J2 0
? ?? ?
000 00 J4
+ ? 0 J3 0 ? + ? 0 0 ?,
0
J4 0 J4 ? J4
T T
000
где J1 — кососимметрическая квадратная матрица порядка r, J2 — произвольная
r ? (n ? 2r)-матрица, J3 ? LO(p ? r, q ? r) и J4 ? gl(r, R). Определим отображение
(n?2r)
? : J O(Vr ) по правилу

?(J) = (J2 , J3 , J4 ) ? JO(Vr(n?2r) ). (1.3)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ? — гомоморфизм алгебры L на
(n?2r)
алгебру JO(Vk ) с ядром S, состоящим из матриц вида
? ?
J1 0 ?J1
?0 0 0 ?.
J1 0 ?J1

Следовательно, L/S ? JO(Vr
(n?2r)
). Теорема доказана.
=
Если r = 1, то из доказанной теоремы получаем, что максимальная подалгебра
(n?2)
+ (LO(p ? 1, q ? 1) ? gl(1, R)),
?
класса 1 разлагается в полупрямую сумму V1
? R, то действие алгебры gl(1, R)
поскольку в этом случае S = 0. Так как gl(1, R) =
на пространстве V1 сводится к обычному умножению элементов пространства
, на скаляры из поля R. Если r = 2, то dimR S = 1 и L/S ? V2
(n?2) (n?4)
?
V1 +
=
(LO(p ? 2, q ? 2) ? gl(2, R)).
Разложение (1.3), полученное при доказательстве теоремы 1.1, означает, что
соответствие J - (J1 , J2 , J3 , J4 ) является взаимно однозначным соответствием
между элементами алгебры L и элементами декартового произведения LO(r) ?
(n?2r)
?LO(p?r, q?r)?gl(r, R). В этом смысле будем говорить, что L разлагается
Vr
(n?2r)
в декартово произведение LO(r), Vr , LO(p ? r, q ? r), gl(r, R) и записывать
это так:

L = LO(r) ? Vr(n?2r) ? LO(p ? r, q ? r) ? gl(r, R).
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 7

§ 2. Максимальные разрешимые подалгебры алгебры LO(p, q)
В силу теоремы 1.1 любая максимальная подалгебра L класса r алгебры LO(p, q)
содержит такой разрешимый идеал S1 , фактор-алгебра L/S1 по которому являе-
тся прямой суммой подалгебр LO(p ? r, q ? r) и gl(r, R). Поэтому максимальная
разрешимая подалгебра алгебры LO(p, q) определяет максимальные разрешимые
подалгебры ?1 и ?2 алгебр LO(p ? r, q ? r) и gl(r, R) соответственно. Исследуем
структуру подалгебр ?1 и ?2 .
Пусть W1 = T1 , . . . , Tp , W2 = Tp+1 , . . . , Tp+q , ?i — ограничение квадрати-
чной формы ? на подпространство Wi (i = 1, 2). Группы изометрий пространств
(W1 , ?1 ) и (W2 , ?2 ) обозначим соответственно через O(p) и O(q), а их алгебры
Ли — через LO(p) и LO(q). Справедлив следующий результат.
Предложение 2.1. Пусть L — максимальная вполне приводимая разрешимая
подалгебра алгебры LO(p, q). Тогда число pq четное и алгебра L O(p, q)-сопря-
жена подалгебре L , разлагающейся в прямую сумму L1 ? L2 максимальных
коммутативных подалгебр L1 и L2 алгебр LO(p) и LO(q) соответственно.
Размерность подалгебры L равна p+q (целая часть от p+q ).
2 2
Доказательство. Заметим, что квадратичная форма ? определяет скалярное прои-
зведение на векторном пространстве V . Скалярное произведение векторов X и Y
пространства V будем обозначать через X · Y . Так как L вполне приводима, тo
пространство V разлагается в прямую ортогональную сумму V = V1 ? · · · ? Vs
L-неприводимых подпространств V1 , . . . , Vs . Согласно теореме Ли о разрешимых
подалгебрах dimR Vi ? 2. Если dimR Vi = 2, то в силу теоремы Витта можно
предполагать, что Vi = Ti1 , Ti2 , где Ti1 , Ti2 ? T1 , . . . , Tp+q . Поэтому в слу-
чае Ti2 = 1, Ti2 = ?1 получаем, что L оставляет инвариантным вполне изо-
1 2
тропное подпространство Ti1 + Ti2 , что противоречит предположению. Таким
образом, Ti2 = Ti2 = 1, или Ti2 = Ti2 = ?1, и потому Vi ? T1 , . . . , Tp , или
1 2 1 2
Vi ? Tp+1 , . . . , Tp+q . В частности, число pq — четное.
Пусть Li = {J ? LO(p, q) | [J, Vi ] ? Vi ? [J, Vj ] = 0, если i = j}. Нетрудно
убедиться, что Li — подалгебра алгебры LO(p, q) и [L, Li ] ? Li . Так как Li —
разрешимая, то в силу максимальности L отсюда вытекает, что Li ? L. Таким
образом, L = L1 ? · · · ? Ls , что и доказывает предложение.
Предложение 2.2. Максимальная разрешимая подалгебра L алгебры gl(r, R)
сопряжена подалгебре матриц
? ?
?
?1 (L)
? ?
..
Z ?1 LZ = ? ?,
.
0 ?s (L)
где ?i (L) — неприводимая разрешимая подалгебра вещественных матриц по-
рядка 1 или 2. Если deg ?i = 1, то ?i (L) = R; если deg ?i = 2, то
10 01
?i (L) = R +R .
?1 0
01
Две максимальные разрешимые подалгебры Z ?1 LZ и
? ?
?
?1 (L )
? ?
..
L =? ?
.
0 ?t (L )
8 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

сопряжены (изоморфны) тогда и только тогда, когда s = t и ?i (L) = ?i (L )
для всех i = 1, . . . , s.
Доказательство. Согласно теореме Ли неприводимое представление разрешимой
алгебры Ли L над полем R имеет размерность 1 или 2. Следовательно, существует
такая невырожденная матрица Z ? GL(r, R), что L = Z ?1 LZ имеет вид (2.2), где
?
?i — неприводимое представление алгебры L над R степени 1 или 2. Из разре-
шимости и максимальности L вытекает, что ?i (L) — максимальная разрешимая
подалгебра алгебры gl(?i , R), ?i = deg ?i . Поэтому, если ?i = 1, то ?i (L) = R;
если ?i = 2, то
10 01
?i (L) = R +R .
?1 0
01
Таким образом, каждой максимальной разрешимой подалгебре алгебры gl(r, R)
соответствует набор чисел (?1 , . . . , ?s ), удовлетворяющих следующим условиям:
s
1 ? ?i ? 2; ?i = r. Докажем, что различные наборы определяют несопряжен-
i=1
ные (неизоморфные) подалгебры. Доказательство этого утверждения проведем,
следуя статье [2].
Действительно, пусть Vr1 — пространство r-мерных вектор-столбцов над R и V1
— подпространство Vr1 , натянутое на первые ?1 единичных r-векторов. Очевидно,
?
V1 — минимальное ненулевое L-инвариантное подпространство пространства Vr1 .
Подпространство V1 аннулируется нильпотентной подалгеброй L0 , состоящей из
всех матриц вида
? ?
?
?1
? ?
..
? ?,
.
0 ?s
где ?i — нулевая квадратная матрица порядка ?i . Нетрудно убедиться, что r-
столбец, который аннулируется подалгеброй L0 , является линейной комбинацией
первых ?1 единичных r-векторов и потому принадлежит V1 . Таким образом, V1
?
однозначно определяется подалгеброй L и ?1 = dimR V1 . Аналогично подалгебра
L определяет подпространство V1 ? Vr1 , причем ?1 = dimR V1 . Следовательно,
?
если ?1 = ?1 , то подалгебры L и L не сопряжены (не изоморфны). Предложение
доказано.
Исследуем далее структуру максимальной разрешимой подалгебры L класса
r > 0 алгебры LO(p, q).
Прежде всего отметим, что поскольку [S, N ] = 0, то ввиду гомоморфизма (1.4)
(n?2r)
определено действие алгебры JO(Vr ) на пространстве N . Если M — подал-
(n?2r)
), M — ее проекция на подалгебру LO(p ? r, q ? r) и существует
гебра JO(Vr
вполне изотропное M -инвариантное подпространство N0 ? Tr+1 , . . . , Tp+q?r ,
то подалгебра M оставляет инвариантным вполне изотропное подпространство
N0 ? N0 . Следовательно и подалгебра ? ?1 (M ) оставляет инвариантным вполне
изотропное подпространство N0 ? N0 . Учитывая данное замечание и доказанную
теорему 1.1, получаем следующий результат.
Теорема 2.1. Пусть L — максимальная разрешимая подалгебра класса r алге-
(n?2r)
бры LO(V ). Тогда S ? L и фактор-алгебра L/S изоморфна алгебре Vr ?
+
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 9

(n?2r)
(?1 ? ?2 ) ? JO(Vr ), где ?1 — максимальная вполне приводимая разре-
шимая подалгебра алгебры LO(p ? r, q ? r); ?2 — максимальная разрешимая
подалгебра алгебры gl(r, R). Изоморфизм L/S ? Vr
(n?2r)
+ (?1 ? ?2 ) индуциру-
?
=
ется гомоморфизмом (1.4).
Таким образом, максимальная разрешимая подалгебра L класса r алгебры
LO(V ), рассматриваемая как множество, разлагается в декартово произведение
L = LO(r) ? Vr(n?2r) ? ?1 ? ?2 .
Пусть L — максимальная разрешимая подалгебра класса r алгебры LO(V ) и
(n?2r )
L = LO(r ) ? Vr ? ?1 ? ?2 .
Имеет место следующее утверждение.
Предложение 2.3. Алгебры L и L O(p, q)-сопряжены тогда и только тогда,
когда r = r ; ?1 и ?1 O(p ? r, q ? r)-сопряжены, ?2 и ?2 GL(r, R)-сопряжены.
Здесь GL(r, R) — группа всех обратимых квадратных матриц порядка r
над полем R.
Доказательство. Необходимость. Если подалгебры L и L O(p, q)-сопряжены, то
максимальное вполне изотропное подпространство N0 , инвариантное относительно
L, отображается на максимальное вполне изотропное подпространство N0 , инвари-
антное относительно L . Следовательно, N0 = N0 и r = r . Поэтому ?1 и ?1 явля-
ются максимальными вполне приводимыми подалгебрами алгебры LO(p ? r, q ? r)
и в силу предложения 2.1 сопряжены относительно группы O(p ? r, q ? r). До-
кажем сопряженность подалгебр ?2 и ?2 относительно общей линейной группы
GL(r, R). Если r = 1, то gl(2, R) содержит только две максимальные разреши-
мые подалгебры размерностей 2 и 3 соответственно и потому сопряженность ?2
и ?2 очевидна. Пусть r > 2, тогда аннулятор подпространства N0 в алгебре L
(n?2r)
совпадает с подалгеброй L1 = LO(r) ? Vr ? ?1 , а в алгебре L — с подал-
(n?2r)
геброй L1 = LO(r) ? Vr ? ?1 . Отсюда вытекает, что O(p, q)-автоморфизм ?,
отображающий L на L , отображает L1 на L1 и потому L/L1 ? L /L1 . Так как
=
? ?2 , a L /L ? ? , то ?2 ? ? . Применяя предложение 2.2, получаем, что
L/L1 = 1= 2 =2
?2 и ?2 сопряжены относительно группы GL(r, R).
Докажем достаточность. Поскольку ?1 и ?1 O(p ? r, q ? r)-сопряжены, то
?1
существует такая матрица C1 ? O(p ? r, q ? r), что ?1 = C1 ?1 C1 . Тогда O(p, q)-
автоморфизм ?1 , определяемый матрицей
? ?
E00
? 0 C1 0 ? ? O(p1 , q1 ),
00E
(n?2r)
?
отображает алгебру L на алгебру L = LO(r) ? Vr ? ?1 ? ?2 . Далее, так
как всякий элемент X ? GL(r, R) записывается в виде X = C2 exp U (полярное
разложение), где C2 ? O(r), U — симметрическая матрица, то достаточно огра-
?1
ничится случаем, когда ?2 и ?2 O(r)-сопряжены. Пусть C2 ?2 C2 = ?2 . Тогда
O(p, q)-автоморфизм ?2 , определяемый матрицей
? ?
C2 0 0
? 0 E 0 ? ? O(p, q),

<< Предыдущая

стр. 2
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>