<< Предыдущая

стр. 20
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

обобщенных групп Пуанкаре по их подгруппам, Теор. мат. физика, 1976, 26, № 2, 206–220.
4. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1614.
e
5. Федорчук В.М., Расщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4),
Укр. мат. журн., 1979, 31, № 6, 717–722.
6. Федорчук В.М., Нерасщепляющиеся подалгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4), Укр.
мат журн., 1981, 33, № 5, 696–700.
7. Beckers J., Patera J., Perroud M., Winternitz P., Subgroups of the Euclidean group and symmetry
in nonrelativistic quantum mechanics, J. Math. Phys., 1977, 18, № 1, 72–83.
8. Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Москаленко Ю.Д., Непрерывные подгруппы группы Евклида
четырехмерного пространства, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математиче-
ской физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, 119–123.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 87–115.

О точных решениях двух
многомерных нелинейных уравнений
шредингеровского типа
В.И. ФУЩИЧ, Р.М. ЧЕРНИГА
В работе исследуются два нелинейных уравнения шредингеровского типа в про-
странстве переменных (t, x1 , x2 , x3 ):
?
??
= k?? + ??(??)2/3 ,
i
?t
? ?
?(??) ?(??) ?
??
(??)?2 .
= k?? + ??
i
?t ?xa ?xa
Доказано, что эти уравнения сохраняют группу симметрии линейного уравнения
Шредингера. Проведена редукция по системе несопряженных одномерных подалгебр,
в ряде случаев найдены точные решения полученных редукционных уравнений, по
которым, с помощью соответствующих анзацев построены точные решения исхо-
дных нелинейных уравнений. В частности, получены солитоноподобные решения.
С использованием свойств симметрии выведены формулы размножения решений и
многопараметрические семейства решений.
В работе также описаны широкие классы систем дифференциальных уравнений
второго порядка, инвариантные относительно группы Галилея и некоторых ее обоб-
щений.

§ 1. Введение
Максимальной локальной (в смысле Ли) группой инвариантности линейного
уравнения Шредингера
?2 ?2
+ ··· + (1)
i?t = k??, ?= ,
?x2 ?x2n
1

где ?t = ?? , x = (x1 , . . . , xn ) ? Rn , k ? R1 , ?(t, x) = U (t, x) + iV (t, x), U , V
?t
— действительные функции, является обобщенная группа Галилея G2 (1, n) (см.,
например, [1–3]), т.е. группа Галилея G(1, n), дополненная группами масштабных
и проективных преобразований. Символами AG(1, n), AG2 (1, n) будем обозначать
алгебры Ли групп G(1, n) и G2 (1, n) соответственно. Базисные элементы макси-
мальной алгебры инвариантности (АИ) уравнения (1) имеют вид
?
(2a)
P ? = ?? , ?? = , ? = 0, n, x0 = t,
?x?

Jab = xa ?b ? xb ?a , (2b)
a, b = 1, n,
xa ? ?
J = u?v ? v?u , Ga = t?a ? (2c)
J, ?V = , ?U = ,
2k ?V ?U
Препринт 86.85, Институт математики АН УССР, Киев, 1986, 44 c.
88 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

n
D = 2t?t + xa ?a ? (2d)
(U ?U + V ?V ),
2
|x|2 nt
? = t ?t + txa ?a ? J ? (U ?U + V ?V ), |x|2 = xa xa .
2
(2e)
4k 2
(По повторяющимся индексам везде подразумевается суммирование.)
В работах [4, 5] построены широкие классы нелинейных обобщений уравнения
теплопроводности, инвариантные относительно группы G2 (1, n) и ее подгрупп.
В настоящей работе, являющейся естественным продолжением статьи [5], опи-
саны все нелинейные обобщения уравнения (1) вида
?2?
? ? ?
i?t = Aab (?, ?) + B(?, ?, ?, ?),
?xa ?xb 11
? ?
?
?? ?? ?? ?? (3)
?= ,..., , ?= ,..., ,
?x1 ?xn ?x1 ?xn
1 1

? ?
? = U ? iV, ?? = |?|2 ,
? = U + iV,

где Aab , a, b = 1, n, B — произвольные дифференцируемые комплексные фун-
кции, инвариантные относительно алгебр AG2 (1, n) ? AG1 (1, n) ? AG(1, n), где
AG1 (1, n) — алгебра Галилея AG(1, n), дополненная оператором масштабных пре-
образований D.
Оказывается, что все уравнения вида (3), инвариантные относительно алгебры
AG2 (1, n) с базисными элементами (2), эквивалентны уравнению
?
i?t = k?? + ?(??)2/n F (?), (4)
где
? ? ?
? ?
(??) (??)2+2/n , (5)
?= (??)
?xa ?xa
F — произвольная функция.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением следующих двух уравнений вида (4)
(n = 3):
?
i?t = k?? + ??(??)2/3 , ? = const, (6)
? ? ?
? ?
(??) (??)2 . (7)
i?t = k?? + ? (??)
?xa ?xa
Воспользовавшись симметрийными свойствами этих уравнений, т.е. инвариан-
тностью относительно группы G2 (1, 3), построим многопараметрические семейства
точных решений уравнений (6) и (7).
В § 2 проведена редукция нелинейных уравнений (6), (7) по системе несопря-
женных одномерных подалгебр алгебры AG(1, 3) к нелинейным дифференциаль-
ным уравнениям в частных производных (ДУЧП) для функций, зависящих лишь
от трех инвариантных переменных.
В § 3 с помощью преобразований из группы G2 (1, 3), порождаемых операторами
AG2 (1, 3), получены формулы размножения решений для уравнений (6), (7).
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 89

Параграфы 4, 5, 7 посвящены построению явных точных решений уравнений
(6), (7). Для этого используются редукционные уравнения (§ 2) и формулы раз-
множения решений (§ 3).
Параграф 6 содержит результаты теоретико-алгебраических исследований
систем уравнений параболического типа. В частности, построенный в нем класс
уравнений, инвариантных относительно группы G2 (1, n), содержит уравнение (4).

§ 2. Редукция нелинейных уравнений (6), (7)
Уравнения (6) и (7) инвариантны относительно 13-мерной алгебры Ли
AG2 (1, 3). Эта алгебра в качестве подалгебры содержит 11-мерную алгебру Га-
лилея AG(1, 3). В работе [6] построена система всех несопряженных одномерных
подалгебр алгебры Галилея. Эти подалгебры генерируются операторами
??
?
? ? ? , X3 = P0 , X4 = J + ?P0 ,
X 1 = P1 , X2 = J = i ?
?? ??
X5 = J12 , X6 = J12 + ?P3 , X7 = J12 + ?P0 , X8 = J12 + ?P0 + ?J,
X9 = J12 + ?J, X10 = G2 + ?P2 , X11 = G1 , X12 = G1 + ?P0 ,
?, ? ? R1 , ? · ? = 0.
X13 = J12 + ?G3 , X14 = J12 + ?P0 + ?G3 ,
Решая соответствующие уравнения Лагранжа для каждого из операторов (8),
получаем три инвариантные переменные w1 , w2 , w3 , зависящие от t, x1 , x2 , x3 , а
также анзацы для искомой функции ? = U + iV . Исключение составляет только
“единичный” оператор J, которому очевидно соответствуют 4 инвариантные пере-
менные t, x1 , x2 , x3 и дополнительное функциональное условие на компоненты U ,
V . Результаты решения уравнений Лагранжа приведены в таблице 1.
Таблица 1
Анзацы w = (w1 , w2 , w3 )
Подалгебры Инвариантные переменные
?(t, x) = ?(w)
t, x2 , x3
X1
?
?(t, x) = ?(t, x), ?? = ? 2
t, x1 , x2 , x3
X2
? = ?(w)
x1 , x2 , x3
X3
? = exp(it/?)?(w)
x1 , x2 , x3
X4
t, x2 + x2 , x3 ? = ?(w)
X5 1 2
x2
2 2
t, x1 + x2 , x3 ? ? arcsin ? = ?(w)
X6
x2 + x2
1 2
x2 2
, x1 + x2 , x3
t ? ? arctg ? = ?(w)
X7 2
x1
x2 2
, x1 + x2 , x3
t ? ? arctg ? = exp(i?t/?)?(w)
X8 2
x1
x2
t, x2 + x2 , x3 ? = exp i? arctg
X9 ?(w)
1 2
x1
ix21
t, ?x1 ? tx2 , x3 ? = exp ?
X10 ?(w)
4xt
ix2
? = exp ? 1 ?(w)
t, ?tx2 , x3
X11
4xt
t2
it
2?x1 ? t2 , x2 , x3 ? = exp ? x1 ?
X12 ?(w)
2x? 3?
ix2
x2
? = exp ? 3 ?(w)
t, x2 + x2 , x3 ? ?t arctg
X13 1 2
4xt
x1
?t2
x2 2 i?t
, x1 + x2 , 2?x3 ? ?t2
t ? ? arctg ? = exp ? x3 ?
X14 ?(w)
2
2x? 3?
x1
90 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Используя инварианты и анзацы из таблицы 1, проведем редукцию уравнений
(6) и (7) для каждого оператора X1 , X2 , . . . , X14 . В результате получаем следую-
щие уравнения (функции ? с индексами w1 , w2 , w3 везде обозначают производные
по этим переменным):
?
X1 : i?t = k(?w2 w2 + ?w3 w3 ) + ??(??)2/3 , (9a)
w1 = t,
? ? ?
i?t = k(?w2 w2 + ?w3 w3 ) + ??[(??)2 2 + (??)2 3 ](??)?2 ; (9b)
w w

?
? ? R1 ,
X2 : i?t = k?? + ?? 4/3 ?, ?? = ? 2 , (10a)
?
?? = ? 2 ; (10b)
i?t = k??,
?
X3 (? > ?), X4 : k?? + ?/? + ??(??)2/3 = 0, (11a)
? ? ?
k?? + ?/? + ??(??)xa (??)xa (??)2 = 0, (11b)
wa = xa ;

X5 (? = 0), X6 : i?t = k 4?w2 + 4w2 ?w2 w2 + (1 + ?2 /w2 )?w3 w3 +
(12a)
?
? 2/3
+??(? ) , w1 = t,
? ?
k
?w2 + ??(??)2 2 (??)?2 +
i?t = 4w2 k?w2 w2 + w
w2
(12b)
? ?

<< Предыдущая

стр. 20
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>