<< Предыдущая

стр. 21
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

??(??)2 3 (??)?2
2
+(1 + ? /w2 ) k?w3 w3 + ;
w

?2
X7 (? = 0), X8 : i?w1 = k ?w w + 4?w2 + 4w2 ?w2 w2 + ?w3 w3 +
w2 1 1
(13a)
?
?
+ ? + ??(??)2/3 ,
?
?2 ? ?
?
k?w1 w1 + ??(??)2 1 (??)?2 +
i?w1 ? ? = w
? w2
? ?
k
?w2 + ??(??)2 2 (??)?2 + (13b)
+4w2 k?w2 w2 + w
w2
? ?
+k?w3 w3 + ??(??)2 3 (??)2 ;
w

k? 2 ?
? + ??(??)2/3 , w1 = t, (14a)
X9 : i?t = k (4?2 ?w2 w2 + 4?w2 + ?w3 w3 )?
w2
k? 2 ? ?
k
?w2 + ??(??)2 2 (??)?2 +
i?t + ? = 4w2 k?w2 w2 + w
w2 w2 (14b)
? ?
??(??)2 3 (??)?2 ;
+k?w3 w3 + w

? + 2w2 ?w2
X10 , X11 (? = 0) : i ?t + =
2t (15a)
?
= k(?2 + t2 )?w2 w2 + k?w3 w3 + ??(? ) ? 2/3 ,
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 91

? ?
? + 2w2 ?w2
= (?2 + t2 ) k?w2 w2 + +??(??)2 2 (??)?2 +
i ?t + w
2t (15b)
? ?
??(??)2 3 (??)?2 ,
+k?w3 w3 + w1 = t;
w

?
w1
? = 4k?2 ?w1 w1 + k(?w2 w2 + ?w3 w3 )] + ??(??)2/3 , (16a)
X12 :
4k?2
w1
? = k(4?2 ?w1 w1 + ?w2 w2 + ?w3 w3 )+
2
4k?
(16b)
? ? ? ?
? ?2 2
(??)2 1 (??)2 2 (??)2 3
+??(? ) 4? + + ;
w w w


? + 2w3 ?w3
X13 : i ?t + =
2t
(17a)
? 2 t2 ?
? 2/3
= k 4w2 ?w2 w2 + 1+ ?w3 w3 + ?(? ) ,
w2

? ?
? + 2w3 ?w3
= 4w2 k?w2 w2 + ??(??)2 2 (??)?2 +
i ?t + w
2t
(17b)
? 2 t2 ? ?
??(??)2 3 (??)?2
+ 1+ k?w3 w3 + ;
w
w2

?2
?w1 w1 + 4(w2 ?w2 w2 + ?w2 ) + 4?2 ?w3 w3 ?
X14 : i?w1 = k
w2
(18a)
?
?
? w3 ? + ??(??)2/3 ,
4k?2
?2
?
?w1 w1 + 4(w2 ?w2 w2 + ?w2 ) + 4?2 ?w3 w3 +
i?w1 + ? ?=k
22
4k? w2
(18b)
?2 ? 2
? ? ?
? ?2 (??)w1 + 4 w2 (??)2 2 + ?2 (??)2 3
+??(? ) .
w w
w2

Замечание 1. Редукционные уравнения, соответствующие операторам X3 , X5 , X7
и X11 , следуют соответственно из уравнений (11), (12), (13) и (15) при услови-
ях, указанных возле этих операторов. Уравнения (9а), (10a), . . ., (18а) получены
редукцией уравнения (6), а (9b), (10b), . . ., (18b) — редукцией уравнения (7).
Замечание 2. Если в уравнениях (6) и (7) провести разделение переменных по ин-
вариантам, соответствующим проективному оператору (2е), то получим уравнения
(11) при ? > ? с инвариантными переменными w1 = x1 /t, w2 = x2 /t, w3 = x3 /t.
Следовательно, инвариантные решения соответствующие оператору (2е) с точно-
стью до преобразований группы G2 (1, 3) совпадают с решениями, построенными
по оператору временных трансляций P0 .
92 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

§ 3. Формулы размножения решений
Для получения явных формул размножения решений воспользуемся преобразо-
ваниями, генерируемыми базисными операторами (2) алгебры AG2 (1, 3). Наиболее
полезными для получения из известных решений существенно новых являются
преобразования инвариантности, порождаемые операторами Ga (2c) и ? (2e). Ре-
шая соответствующие уравнения Ли, получаем преобразования Галилея
t = t, xa = xa + ?a t, a = 1, 2, 3,
(19)
Ga : i?a ?a t
? = ? exp ? , ?a ? R1 .
xa +
2k 2
и проективные преобразования
t xa
t= , xa = , a = 1, 2, 3,
1 ? pt 1 ? pt
(20)
?:
ip|x|2
? = ?(1 ? pt) exp ? , p ? R1 .
3/2
4k(1 ? pt)
Пусть W (t, x) — решение уравнения (6) или (7). Применяя к нему преобразо-
вания (19), получаем новое решение (штрихи ниже опускаются)
|?|2 t
i
(21)
? = W (t, x + ?t) exp ?x + ,
2k 2
где ? = (?1 , ?2 , ?3 ), |?|2 = ?2 + ?2 + ?2 , ? ? R3 .
1 2 3
После применения к решению (21) преобразований (20) находим более широкое
семейство решений
p|x|2 + 2?x + |?|2 t
t x + ?t
(1 ? pt)?3/2 . (22)
?=W , exp i
1 ? pt 1 ? pt 4k(1 ? pt)
Нетрудно убедиться, что повторное применение формул (19), (20) к решению
(22) приводит к этому же семейству решений (это следует и из общих свойств
групп преобразований).
Выражение (22) естественно назвать формулой размножения решений уравне-
ний (6), (7), построенной по операторам Ga (2c) и ? (2e). Обобщим эту формулу,
применив преобразования сдвигов по координатам t, x и вращениям в пространс-
тве (см. операторы (2а), (2b) при n = 3):
t = t + d1 , x = Ax + d1 , (23)
? = ?,
0

где
? ?
c11 c12 c13
A = ? c21 c23 ? ,
c22 det A = 1,
c31 c32 c33
d1 , d1 = (d1 , d1 , d1 ), c11 , . . . , c33 — действительные параметры; A — матрица вра-
0 123
щения.
Используя группу преобразований (23), решение (22) обобщаем:
p|x|2 + 2?1 x + |?|2 + b0
t + d1 Ax + ?t + d ?3/2
(d0 ?pt)
0
?=W , exp i ,(24)
d0 ? pt d0 ? pt 4k(d0 ? pt)
где d0 = 1 ? pd1 , d = d1 + ?d1 , ?1 = ?A + pd1 A, b0 = p|d1 |2 + 2?d1 + |?|2 d1 .
0 0 0
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 93

Наконец, воспользуемся однопараметрической группой масштабных преобразо-
ваний, которую порождает оператор D (2d):

? = m?3/2 ?,
t = m2 t, (25a)
x = mx, m>0

и 1-параметрической группой вращения компонент U , V функции ? (см. оператор
J (1.2в)):

? = e?i? ?, ? ? R1 . (25b)

Таким образом, окончательно получаем формулу размножения решений урав-
нений (6), (7)

pm2 |x|2 + 2m?1 x + m2 |?|2 t + b0
m3/2
?
i?
?=e exp i
4k(d0 ? pm2 t)
(d0 ? pm2 t)3/2
(26)
m2 t + d1 mAx + m2 ?t + d
?W 0
, ,
d0 ? pm d0 ? pm2 t
2t

где
d0 = 1 ? pd1 , d = d1 + ?d1 , ?1 = ?A + pd1 A,
0 0
(27)
b0 = p|d | + 2?d + |?| d0 ,
12 1 21


det A = 1, A — матрица вращений, d1 = (d1 , d1 , d1 ), ? = (?1 , ?2 , ?3 ) — действитель-
123
1
ные векторы, p, d0 , d, m > 0 — действительные параметры.
Теорема 1. Если W (t, x) — решение нелинейного уравнения (6) или (7), то
формула (26) определяет неразмножаемое семейство решений этого же урав-
нения.
Доказательство. Тот факт, что любая функция ? вида (26) будет решением урав-
нения (6), следует из только что проведенного размножения решения W (t, x) с
помощью базисных операторов алгебры AG2 (1, 3).
Неразмножаемость решений вида (26) с помощью 13-мерной группы, соответ-
ствующей алгебре AG2 (1, 3), доказывается проверкой. А именно, поочередно дей-
ствуем на решение (26) преобразованиями (19), (20), (23), (25), убеждаемся, что в
результате получаем решение вида (26) (изменяются только параметры). Теорема
доказана.
Пусть в (26) d0 = 1/p, ? = 0, d = 0, ? = 0, A = E, где E — единичная матрица.
Тогда получаем решение
1
m2 t +
m3/2 i|x|2 x
p
exp ? (28)
?= W , .
?pm2 t ?pmt
(?pm2 t)3/2 4kt

Сделав в (28) предельний переход

p > ?, m > ?, pm > 1,

получим решение уравнения (6) или (7)
i|x|2 1x
?(t, x) = t?3/2 exp ? ?, (29)
W .

<< Предыдущая

стр. 21
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>