<< Предыдущая

стр. 22
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

4kt tt
94 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Формулу (29) можно рассматривать как обобщение известной теоремы Апеля–
Бриля для многомерного нелинейного уравнения Шредингера.
Замечание 3. Построенные формулы размножения решений позволяют из дей-
ствительных стационарных решений уравнений (6), (7), получать комплексные
нестационарные (т.е. зависящие от времени t) решения.
В заключение этого параграфа, отметим, что все приведенные выкладки по ра-
змножению решений (1 + 3)-мерных уравнений (6), (7) очевидным образом обоб-
щаются на все уравнения вида (4) в случае любого количества переменных.

§ 4. Точные решения уравнения (6)
В этом параграфе будут построены точные решения уравнения (6) путем нахо-
ждения частных решений соответствующих редукционных уравнений (см. § 2).
?
Редукция уравнения (6) по оператору X1 = ?x1 приводит к нелинейному урав-
нению (9а) такого же вида, только в пространстве переменных (w1 , w2 , w3 ) =
(t, x2 , x3 ). Для получения частных решений уравнения (9а) рассмотрим систему
?
i?t = ??(??)2/3 , (30a)
? = 0,

(30b)
?x2 x2 + ?x3 x3 = 0.

Очевидно, что произвольное решение системы (30) удовлетворяет уравнению
(9а). Построим общее решение системы (30).
Представляя комплексную функцию ? через пару действительных функций R
и P , по известной формуле

(31)
? = R(t, x2 , x3 ) exp(iP (t, x2 , x3 )),

сводим уравнение (30а) к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
(ОДУ) первого порядка. Решая эти уравнения и используя (31), получаем общее
решение (30а)
?
? (?D2 /?)3/4 exp(i(D1 + D2 t)), ? ? R1 ,
?
?3/4(1?i?/?) (32)
?(t, x2 , x3 ) =
? D2 ? 4? t
? exp(iD1 ), ? = ? + i?, ? = 0,
3
где D1 (x2 , x3 ), D2 (x2 , x3 ) — произвольные действительные функции.
Подставляя выражение (32) в (30b), находим функции

d1 , d2 ? R1 .
D1 (x2 , x3 ) = d1 , D2 (x2 , x3 ) = d2 ,

Таким образом, получаем общее решение системы (30)
?
? (?d2 /?)3/4 exp(i(d2 t + d1 )), ? ? R1 ,
?
?3/4(1?i?/?) (33)
?= 4?
? d2 ?
? t exp(id1 ), ? = ? + i?, ? = 0,
3
которое является частным решением уравнения (9а), а следовательно, и решением
исходного уравнения (6).
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 95

Множитель вида exp(id1 ) в дальнейшем в решениях уравнений (6), (7) опу-
скается, так как любое решение этих уравнений можно на него умножить (см.
(25b)).
Редукция уравнения (6) по оператору X2 приводит к нелинейному уравнению
?
(10а) с дополнительным условием ?? = ? 2 , ? ? R, т.е., используя представление
(31), получаем
(34)
? = ? exp iP (t, x),
где P (t, x) — действительная функция.
Подставляя (34) в уравнение (10а) и делая очевидные преобразования, получа-
ем систему
?P
Pt = kPa Pa ? ?? 4/3 , ? ? R1 ,
Pa = ,
?xa (35)
?P = 0,
которая заменой
P (t, x) = P 1 (t, x) ? ?? 4/3 t (36)
сводится к системе
?P 1
Pa ?
Pt1 = kPa Pa ,
11 1
,
(37)
?xa
1
?P = 0.

Построим общее решение системы уравнений (37) в предположении Pt1 =
F (P 1 ). Нетрудно показать, что тогда F = ? = const. Следовательно,
? ? R1 ,
P 1 = ?(t + P 0 (x)), (38)
где P 0 (x) — действительная функция, удовлетворяющая нелинейной системе
?P 0
1
Pa ?
00 0
Pa Pa = , ,
(39)
?k ?xa
?P 0 = 0.
Как показано в работе [7], общее решение системы (39) в классе действительных
функций имеет вид
1
b0 , d0 ? R1 ,
P 0 (x) = b0 xa + d0 , b0 b0 = (40)
> 0,
a aa a
?k
поэтому с учетом (36), (38) линейная функция P = ba xa + kba ba ? ?? 4/3 t + d,
ba = b0 ?, d = d0 ?, является решением системы (35).
a
Таким образом, используя (34), получаем решение уравнения (6) в виде пло-
ской волны:
b0 = kba ba ? ?? 4/3 . (41)
? = ? = ? exp i(ba xa + b0 t),
Замечание 4. Нетрудно убедится, что система (37) не имеет радиальных решений
вида P 1 = P 1 t, |x|2 .
96 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

?
Редукция уравнения (6) по оператору X3 = ?t приводит к нелинейному элли-
птическому уравнению (11а). Пусть в уравнении (11а)
?a ? R1 ,
? = ?(w), w = ?a xa ,
тогда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
?
k?a ?a ?ww + ??(??)2/3 = 0. (42)
В случае действительной функции ? это уравнение есть уравнение Эмдена–Фау-
лера, частным решением которого является функция [8]
3/4
? = ?15|?|2 k/4?
? = ?/w3/2 , , ?k < 0.
Таким образом, получаем стационарное решение уравнения (6):
3/4
15?a ?a k
?a ? R1 . (43)
?= , ?k < 0,
?4?(?a xa )2
Отметим также, что в случае ?k > 0 выражение (43) задает чисто мнимое
решение уравнения (6).
Если в уравнении (11а) положить
r = |x|2 , (44)
? = ?(r),
то получаем ОДУ второго порядка
?
?
?(??)2/3 = 0,
4r?rr + 6?r +
k
которое в случае действительной функции ? есть уравнение Эмдена–Фаулера.
Частным решением его является функция
3/4
15?
?= , ?k < 0.
?4?r
Следовательно, с учетом (44) находим еще одно стационарное решение уравне-
ния (6):
3/4
15k
(45)
?= .
?4?|x|2
Решение (45) в отличие от предыдущих решений обладает свойством
?(x) > 0 |x| > ?.
при (46)
Ко всем построенным решениям (33), (41), (43), (45) уравнения (6) можно при-
менить формулу размножения (26) и тогда по теореме 1 получим неразмножаемые
семейства решений. Поскольку формулы получаются довольно громоздкими, мы
приводим в таблице 2 результаты применения двух частных случаев общей форму-
лы размножения решений (21) и (29). Заметим, что решение (33) при ? ? R1 полу-
чается из решения (41), если в последнем формально положить ba = 0, a = 1, 2, 3,
? = (??2 /?)3/4 . В связи с этим формулы размножения (21), (29) к решению (33)
при ? ? R1 не применялись.
Таблица 2
№ формулы
№ Новое решение, полученное Новое решение, полученное
исходного
п/п применением формулы (21) применением формулы (29)
решения
? 3 1? i?
4 ? i
4? ? 3 1? i?
|?|2 4 ? i|x|2
4?
? = ? + i?, t ,
exp ?3/2
?a xa +
d2 ?
t
1. (33) d2 + exp ?
3 2k 2
?=0 3t 4kt
? = (?1 , ?2 , ?3 ), ?a ? R1 , |?|2 = ?a ?a
|x|2
ba xa ? b0
3 /2
?t ,
exp i
b1 t ,
? exp i + 0 ?
b1 xa
a
t 4kt
2. (41) ? ? R1
0
b1 = kb1 b1 ? ?? 4/3
aa
b0 = ba ba k ? ?? 4/3 , ba ? R1 , a = 1, 3
3/4
3/4
15k|?|2 i |?|2
i|x|2
15k|?|2
t ,
exp
1 ?a xa +
3. 2k 2
(43) ? ? R exp ?
?4?(?a (xa + ?a t))2
4kt
?4?(?a xa )2
?a ? R1 , |?|2 = ?a ?a
3/4 3/4
i|x|2
i
15k 15k
|?|2
1
t
exp
4. ?a xa +
(45) ? ? R exp ?
2k 2 4kt
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений




?4?|x + ?t|2 ?4?|x|2
97
98 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

§ 5. Точные решения уравнения (7)
Настоящий параграф посвящен применению результатов §§ 2, 3 для построения
семейств точных решений уравнения (7).
Как показано в § 2, редукция уравнения (7) по оператору X2 преобразует
его к свободному уравнению Шредингера (10b) с дополнительным условием (34).
Подстановка (34) в уравнение (10b) приводит к системе (37) для функции P (t, x).
Следовательно, воспользовавшись формулами (38), (40), получим плосковолновое
решение уравнения (7)
(47)
? = ? exp(i(b0 t + ba xa )), b0 = kba ba .
Рассмотрим теперь нелинейное эллиптическое уравнение (11b), которое полу-
чается из уравнения (7) редукцией по оператору X3 . Любое решение уравнения
(11b) будет стационарным решением уравнения (7). Но из стационарных реше-
ний уравнения (7), применяя формулы размножения, полученные в § 3, мы можем
построить семейства нестационарных решений. Таким образом, представляется ва-
жным построить классы точных решений уравнения (11b).
Пусть в уравнении (11b)
ca ? C1 , (48)
?(x) = ?(w), w = ca xa , a = 1, 3,
тогда для ?(w) получаем ОДУ 2-го порядка
? ?

<< Предыдущая

стр. 22
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>