<< Предыдущая

стр. 23
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
?(??)2 (??)2 = 0. (49)
ca ca ?ww + w
k
Если ca ca = 0, то уравнение (49) превращается в тождество и получаем решение
уравнения (7)
(50)
? = F (ca xa ), ca ca = 0,
где F — произвольная дважды дифференцируемая комплексная функция.
Если ca ca > 0, ca ? R1 , a = 1, 2, 3, то уравнение (49) в случае ? = ? 4 заменой
1
k

?(w) = R(w) exp iP (w) = exp R1 (w) + iP (w) , (51)
где R, R1 , P — действительные функции аргумента w, сводится к системе ОДУ
Pww = ?2Pw Rw .
1 2 1
(52)
Rww = Pw ,
Систему (52) удается полностью проинтегрировать и найти общее решение
1
R 1 = d1 w ? ln [1 + exp(4d1 w + d2 )] + d3 ,
2
v d2
P = ± 2 arctg exp 2d1 w + d1 , d2 , d3 , d4 ? R1 .
+ d4 , d1 > 0,
2
Итак, воспользовавшись формулами (48), (51), получим решение уравнения (7)
при ? = ? 4 :
1
k
v
exp d ? d1 w ± i 2 arctg exp 2d1 w + d2
2
? = ?(x) = ,
1 + exp(4d1 w + d2 ) (53)
w = ca xa , d = d3 + id4 .
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 99

= ? 4 , то оно заменой
? 1
Если в уравнении (49) ca ca > 0 и k

?(w) = R(w) exp iP (w) = (R1 )1/(4?/k+1) exp(i(P (w)) (54)
сводится к системе ОДУ для действительных функций
?
Rww = ?1 R1 Pw ,
1 2
?1 = 1 + 4 = 0,
k
(55)
21
R Pww = ? 1 Rw Pw .
1
?
Решение системы (55) при Pw = 0 сводится к интегрированию уравнения
Эмдена–Фаулера
1
0 < ?0 ? R1 ,
Rww = ?0 ?1 (R1 )1?4/? ,
1 2


которое имеет частное решение
?1 /2
2?0 w
R1 = v ?1 > 2. (56)
,
?1 ? 2
С учетом (55)
v
?1 ? 2
1
Pw = ?0 (R1 )?2/? = ,
2w
v (57)
1?1
?
ln w + d1 , d1 ? R1 .
P=
2
Таким образом, из (48), (54), (56), (57) получаем решение уравнения (7) при
?
> 1 , ca ca > 0:
k 4
v
1/2+i ?1 ?2/2
d ? C1 . (58)
? = ? = d(ca xa ) ,
Если в (55) Pw = 0, то R1 — линейная функция и, следовательно, решение
уравнения (7) имеет вид
?
1
c0 , d1 ? R1 ,
? = (ca xa + c0 )1/? eid1 , ?1 = 1 + 4
= 0, ca ca > 0. (59)
k
Для построения новых решений уравнения (11b) преобразуем его к системе
двух действительных уравнений с помощью замены
(60)
?(x) = R(x) exp[iP (x)],
где R, P — действительные функции.
Подставляя (60) в уравнение (11 в), получаем систему нелинейных ДУЧП
?
?R = RPa Pa ? 4 Ra Ra /R,
(61)
k
R?P = ?2Pa Pa .
Система (61) заменой
?
?
? exp R1 (x), ? = ? 1 ,
?
k 4
(62)
R=
?
? [R1 (x)]1/(1+4?/k) , ? = ? 1
?
k 4
100 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

сводится, соответственно, к системам
? 1
=? ,
?R1 = Pa Pa ,
(63)
k 4
?2Ra Pa ,
2
?P =

?
?R1 = ?1 R1 Pa Pa , ?1 = 1 + 4 = 0,
k (64)
21
R ?P = ? 1 Ra Pa .
1
?
Можно заметить, что в случае P (x) = d1 = const произвольное решение урав-
нения Лапласа

?R1 = 0 (65)

удовлетворяет как системе ДУЧП (63), так и (64). Следовательно, воспользовав-
шись (60), (62), получим семейство стационарных решений уравнения (7)
?
? exp R1 (x) + id , ? = ? 1 ,
? 1
k 4 (66)
?=
? ? 1
? [R1 (x)]1/(1+4?/k) eid1 , = ? , d1 ? R ,
1
k 4
где R1 (x) — произвольное действительное решение уравнения Лапласа (65).
Если в качестве R1 (x) взять фундаментальное решение уравнения (65) при
n = 3, т.е.
1
R1 (x) = ,
|x|
то получаем решение уравнения (7)
?
?
? exp 1 + id1 , ? = ? 1 ,
?
? |x| k 4
(67)
?=
? exp(id1 )
? ? 1
? =? .
? ,
|x|1/(1+4?/k) k 4

Заметим, что при ? > ? 1 решение (67) удовлетворяет условию (46).
k 4
Рассмотрим теперь систему (63) с дополнительным условием

(68)
?P = 0.

Известно частное действительное решение уравнения (68):
?
ca ? C1 ,
P = f (ca xa ) + f (ca xa ), (69)
ca ca = 0,

где f — произвольная действительная функция.
Подставляя выражение (69) в систему (63), после соответствующих преобразо-
ваний, в предложении, что
?
R1 = R1 (ca xa , ca xa ), (70)
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 101

получаем для R1 ОДУ
?
V = i f (ca xa ) ? f (ca xa ) ,
1
RV V = 1,

т.е.
2
1 ? ?
R1 = ? f (ca xa ) ? f (ca xa ) + id1 f (ca xa ) ? f (ca xa ) + d2 , d1 , d2 ? R1,(71)
2
С учетом (60), (62) получаем еще одно семейство решений уравнения (7) при
= ? 4 , которое содержит произвольную функцию f :
? 1
k
2
1 ? ?
?(x) = exp ? f (ca xa ) ? f (ca xa ) + id1 f (ca xa ) ? f (ca xa ) +
2 (72)
?
+i f (ca xa ) + f (ca xa ) , ca ca = 0.

Подстановка (69) в систему (64) в предложении (70), приводит к решению
?
?
? d exp ? ? ? 1
?1 1 + 4 v(x) + d2 exp ? 1 + 4 v(x) , >? ,
?
?
? k k k 4
1
(73)
R (x) =
?
?
? ? ? ? 1
? d1 cos
? <? ,
1 + 4 v(x) + d2 sin 1 + 4 v(x) ,
? k k k 4
где
?
v(x) = i f (ca xa ) ? f (ca xa ) . (74)

Воспользовавшись (60), (62), получим решение уравнения (7)
?
v v 1/?1
?
? d1 exp 1 v(x) + d exp ? ?1 v(x) ?
? ?
?
? 2
?
?
?
? ?
? ? exp i f (ca xa ) + f (ca xa ) , ?1 > 0,
?
(75)
?=
? 1/?1
?
? d1 cos
? |? 1 |v(x) + d sin |? 1 |v(x) ?
?
? 2
?
?
?
? ?
? ? exp i f (ca xa ) + f (ca xa ) , ?1 < 0,

?1 = 1 + 4 ? , ca ca = 0, ca ? C1 , d1 , d2 ? R1 , (v(x) — см. (74)).
k
Замечание 5. В случае двух пространственных переменных (n = 2) формулы (69),

<< Предыдущая

стр. 23
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>