<< Предыдущая

стр. 24
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(71) при c1 = 0, c2 +c2 = 0 задают общее решение нелинейной системы ДУЧП (63)
1 2
с условием (68), а формулы (69), (73) — общее решение системы (64) с условием
(68).
В заключение, с помощью формул размножения (см. § 3) построим из стаци-
онарных решений уравнения (7) нестационарные семейства решений. Поскольку
при применении общей формулы размножения решений выражения слишком гро-
моздки, мы воспользовались частными случаями этой формулы — выражениями
(21) и (29). Полученные новые решения уравнения (7) приведены в таблице 3.
Таблица 3
102

№ формулы
№ Решение, полученное Решение, полученное
стационарного
п/п с помощью формулы (3.3) с помощью формулы (3.11)
решения
i|x|2
i ca xa
|?|2 t
t?3/2 F
F (c(x + ?t)) exp ?x +
1 (50) , ? ? R3 , |?|2 = ?a ?a exp ? , ca ca = 0, ca ? C1
t
2k 2 4kt
exp[?d1 c(x + ?t)]
a
? v
t?3/2 exp ? d1 ct xa
1 + exp[4d1 c(x + ?t) + d2 ] exp i ± 2?
4d1 ca xa
v
? 1 d2 1 + exp + d2
t
2 (53) +
=? ? exp i ± 2 arctg 2d1 c(x + ?t) +
k 4 2
d2
2d1 ca xa |x|2
+
?arctg exp ? , c ? R3
1 |?|2 t t 2 4kt
+ ?x + , c = (c1 , c2 , c3 ), c ? R3
2k 2
1 1 i|x|2
? i
1 |?|2 t
??1 ??1 ??1
k 4 k 4 k 4
> t?2?i
[c(x + ?t)] 2 +i exp ?x +
3 (58) (ca xa ) 2 +i
, c ? R3 exp ? , c ? R3
k 4 2k 2 4kt
1 1 i|x|2
i 3 1
|?|2 t
, ,
?x +
[c(x + ?t) + c0 ] 1+4?/k exp
? 1 t? (c? x? ) 1+4?/k exp ? , ?=? ?
2k 2 4kt 2 1 + 4?/k
4 (59) =?
k 4 1 3
c0 ? R , c ? R x0 = t, ? = 0, 3, c0 ? R1 , c ? R3
i|x|2
i x
|?|2 t
? 1 exp R1 (x + ?t) + ?x + , ?R1 (x) = 0, t?3/2 exp R1 , ?R1 (x) = 0,
?
=? t
2k 2 4kt
k 4
5 (66) 1
1
? 1 i|x|2
i 1+4?/k
1x
|?|2 t
=? R
[R1 (x + ?t)] 1+4?/k exp ?x + , ?R1 (x) = 0 , ?R1 (x) = 0
t?3/2 exp ?
k 4 t
2k 2 4kt
1 1 |?|2 t
exp + ?x + i|x|2
? t
1
2k 2 t?3/2
|x + ?t|
6 (67) =? ?
k 4 4kt
|x|
|x + ?t| = |x|2 + |?|2 t2 + 2x?t
В.И. Фущич, Р.М. Чернига
Таблица 3 (продолжение)
№ формулы
№ Решение, полученное Решение, полученное
стационарного
п/п с помощью формулы (3.3) с помощью формулы (3.11)
решения
1
1+4?/k
1
? i t
1 |?|2 t |x|2
?3/2
? 1+4?/k
t
(|x + ?t|) exp ?x +
7 (67) =? exp ?i
k 4 2k 2 4kt
|x|
1
exp [V (?t + x)]2 + dV (?t + x)+
2 x x
12x |x|2
V
t?3/2 exp + dV +i P ?
t t t
2 4kt
1 |?|2 t
? 1 ,
+i P (x + ?t) + ?x +
8 (72) ?
=? 2k 2
k 4 cx
x cx
V =i f , P (x) см. (36)
? ?f
t t t
V (x + ?t) = i[f (c(x + ?t)) ? f (c(x + ?t))],
P (x) — см. (36), c = (c1 , c2 , c3 ) ? C, |c| = 0

? ? x
1 + 4 V (x + ?t) + 1+4 V +
d1 exp d1 exp
k k t
1 1
1+4?/k 1+4?/k
? ? x
? 1 1 + 4 V (x + ?t) 1+4 V
+d2 exp ? ? +d2 exp ? ?
9 (75) >? k k t
k 4
i i|x|2
x
|?|2 t
,
?x + ,
? exp iP (x + ?t) + ?t?3/2 exp iP ?
2k 2 t 4kt
1
d1 , d2 ? R1 , P, V см. № 8
P, V см. № 8, d1 , d2 ? R
x
d1 cos |?1 |V (x + ?t) +
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений




+
d1 cos ?1 |V
t
1/?1
1
x
+d2 sin 1+4?/k
|?1 |V (x + ?t) ?
+d2 sin |?1 |V ?
? 1 t
10 (75) <? i |?|2 t
k 4 ,
?x + i|x|2
x
? exp iP (x + ?t) +
,
2k 2 ?t?3/2 exp iP ?
t 4kt
?
?1 = 1 + 4 , P, V см. № 8, d1 , d2 ? R1 d1 , d2 ? R1 , P, V см. № 8
k
103
104 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

§ 6. Нелинейные системы уравнений второго порядка,
инвариантные относительно алгебр AG(1, n), AG1 (1, n) и AG2 (1, n)
Рассмотрим систему нелинейных ДУЧП второго порядка параболического типа

?1 ?1 = A1 (?1 , ?(2) )?1 + B 1 (?1 , ?(2) , ?1 , ?(2) ), (76a)
t ab ab
1 1

(2) (2) (2)
= Aab (?1 , ?(2) )?ab + B (2) (?1 , ?(2) , ?1 , ?(2) ), (76b)
?2 ?t
1 1

(k)
где ?k = const, ?1 · ?2 = 0, Aab , a, b = 1, n, B (k) , k = 1, 2, — произвольные
комплексные (в частности, действительные) функции из класса C 1 ;

??(k) ? 2 ?(k)
(k) (k)
?t = , ?ab = ,
?t xa ?xb
??(k)
(k)
(k)
= (?1 , . . . , ?(k) ), ?(k) = .
? n a
?xa
1

Системы уравнений вида (76) широко используются в качестве математических
моделей для описания процессов диффузии при химических реакциях, в популя-
ционной генетике, при многофазном тепломассопереносе и т.д. (ряд конкретных
примеров приведен с [9]). В случае
?
? ? ? i
(2)
?2 = ? 1 = ?
?(2) = ?1 , Aab = A1 , B (2) = B 1 , (77)
ab
k
систему (76) можно рассматривать как пару комплексно-сопряженных уравнений
вида (3).
Как отмечалось в [10], для параболических уравнений (систем) естественно
требовать инвариантность относительно алгебры Галилея AG(1, n). Рассмотрим
представление алгебры AG(1, n) с базисными операторами (2а), (2b) и

xa ? ?
Ga = t?a ? ? ?2 ?(2)
J? = ?1 ?1 (78)
J? , a = 1, n, .
1 ??(2)
2 ??
?
?
Очевидно, что в случае ?1 = U + iV , ?(2) = ?1 , ?1 = i/k, ?2 = ?1 операторы (78)
совпадают с (2с).
Теорема 2. Система уравнений (76) инвариантна относительно алгебры Гали-
лея G(1, n) с базисными операторами (2а), (2b) и (78) тогда и только тогда,
когда она эквивалентна уравнениям

1 ? C 1 (v) 1 1
?1 ?1 = C 1 (v)??1 + ?a ?a + ?1 f 1 (v, ?), (79a)
t 1
?

1 ? C (2) (v) (2) (2)
(2) (2) (2)
?a ?a + ?(2) f (2) (v, ?), (76b)
?2 ?t =C (v)?? + (2)
?

где v = (?1 )?2 (?(2) )??1 , ? = ?v ?v ?2 ? ?
C k , f k , k = 1, 2 —
?xa ?xa v = ?xa (ln v) ?xa (ln v),
произвольные функции.
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 105

Доказательство. Необходимость. Воспользуемся алгоритмом Ли (современное
изложение cм. в [11]). Подействуем на систему уравнений (76) дважды продол-
женным инфинитезимальным оператором (40)
? ?
?
?
X = X + ?k k

<< Предыдущая

стр. 24
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>