<< Предыдущая

стр. 25
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

+ ?ij , k = 1, 2, i, j = 0, n,
i (k) (k)
??i ??ij
где
? ?
X = ?i + ?k ,
??(k)
?xi
? i = ? i t, x, ?1 , ?(2) , ? i = ? i t, x, ?1 , ?(2) ,
x0 = t,
функции ?k , ?ij выражаются через ? i , ? k по известным формулам; по повторяю-
k
i
щимся индексам подразумевается суммирование.
В результате получаем систему определяющих уравнений
?A1 1 ?B 1 ?B 1
M
?1 ?1 = A1 1 (2) 1 k
?k
ab
(80a)
? ,? ?ab + ?+ ?+ ,
0 ab
??(k) ab ??(k) a (k)
??a
(2)
?Aab (2) ?B (2) ?B (2)
M (2) (2)
?2 ?2 = 1 (2)
? k + ?k (80b)
Aab ? ,? ?ab + ?+ ,
0 a
??(k) ab ??(k) (k)
??a
где M — система (76), рассматриваемая как многообразие в дважды продолженном
пространстве переменных.
Определим коэффициенты оператора X для алгебры G(1, n) с базисными опе-
раторами (2а), (2b), (78). Очевидно, что
? 0 = d0 , ? a = Cab xb + ga t + da , Cab + Cba = 0, a = b,
(81)
?1 ?2
? 1 = ? ga xa ?1 , ? 2 = ? ga xq ?(2) ,
2 2
где d0 , da , Cab , a < b, ga — произвольные комплексные параметры. Используя (81),
получаем в явном виде
?k (k)
?k = ? ga xa ?t ? ga ?(k) ,
0 a
2
?k ?k (k)
?k = ? ga ?(k) ? gb xb ?(k) ? ?b Cab ,
a a
2 2 (82)
?k ?k
(k) (k) (k) (k)
?ab = ? ? ga1 xa1 ?ab ? Cb1 b ?ab1 ? Cb1 a ?bb1 ,
k
gb ?(k) + ga ?b
a
2 2
a1 , b1 = 1, n.
Подставляя выражения (81), (82) в определяющее уравнение (80а) и переход
на многообразие M, имеем
?1 ?1
xa ga B 1 + ?1 ga ?1 ? A1 gb ?1 + ga ?1 ?
a
2 ab a b
2
?A1 1 ?B 1
?k
?A1 (Cb1 b ?1 1 + Cb1 a ?1 1 ) ? ? (83)
ga1 xa1 ?(k) ab
?+
ab ab bb
??(k) ab ??(k)
2
1 1
?k (k) ?B (k) ?B
? (ga ? + gb xb ?a ) (k) ? Cba ?b
(k)
= 0.
(k)
2 ??a ??a
106 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Расщепляя выражение (83) по параметрам Cab , a < b, учетом независимости всех
(k)
переменных t, x, ?(k) , ?ab , k = 1, 2, a, b = 1, n, получаем

A1 ?1 , ?(2) = ?a A1 ?1 , ?(2) ,
b
(84)
a, b = 1, n,
ab

где
1, a = b,
b
?a =
0, a = b,
A1 — произвольная функция. Функция B 1 должна удовлетворить системе линей-
ных ДУЧП

? ? ? ?
(2)
? ?1 ? ?(2)
?1 B 1 = 0,
+ ?b a < b, a, b = 1, n.(85)
b a a
1
1 (2) (2)
??a ??b ??a ?? b

Решая систему (85), находим общее решение
?
B 1 = B 1 ?1 , ?(2) , ?1 ?1 , ?1 ?(2) , ?(2) ?(2) , (86)
aa aa a a

?
где B 1 — произвольная функция.
Учитывая соотношения (84), (86), выражение (83) приводим к виду
?
?A1 ?B1
?1 ?k
?
ga xa B 1 + ?1 ga ?1 ? ?1 A1 ga ?1 ? ?
ga1 xa1 ?k 1
?? +
a a
??k ??k
2 2
(87)
? ?
?B1 k ? B 1 k1
?k
? ga ?k + gb xb ?k 2 ?a + ? = 0, k = k1 ,
a
?ykk1 a
2 ?ykk
где
ykk = ?k ?k , ykk1 = ?k ?k1 .
aa aa

Так как соотношение (87) должно выполняться при произвольных параметрах
ga , a = 1, n, и независимых переменных x, ?k , ?k , ?k , a = 1, n, то оно эквива-
a aa
лентно следующей системе линейных ДУЧП:
1
?A1
1 ?A (2)
(88a)
?1 ? + ?2 ? = 0,
??1 ??(2)
? ?
?B1 k ? B 1 k1
?k k
1?A
?1 ?1 1
(88b)
= ? 2 ?a + ? , k1 = k, a = 1, n,
a
?ykk1 a
2 ?ykk

?1 ? ?
?B1 k ? B 1 k1
k ?B ?
?k ?k = ?1 B 1 , (88c)
?k ? + 2 ?+ ? k1 = k.
a
?ykk a ?ykk1 a
??k

Общее решение уравнения (88а) задается выражением
??1
?2
A1 ?1 , ?(2) = C 1 (v), v = ?1 ?(2) (89)
,

где C 1 — произвольная функция.
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 107

Решение уравнений (88b), (88c) с учетом (89) сводится к построению общего
решения уравнения

? ? ?
?f 1 ?f 1 ?f 1 ?
?1 ?1 + ?2 ?(2) = ?1 f 1 , (90)
+ 2(?1 + ?2 )?
v
1 (2)
?? ??v
??
где

v = ?1 ?1 ?(2) ? ?2 ?(2) ?1 ?1 ?1 ?(2) ? ?2 ?(2) ?1 , (91)
? a a a a

тогда

?
?
B 1 = f 1 ?1 , ?(2) , v ? 1 ? C 1 (v) ?1 ?1 /?1 . (92)
? aa


В случае ?1 +?2 = 0 уравнение (90) легко решается и получаем общее решение
вида
?
f 1 = ?1 f 1 (v, v ), (93)
?

где f 1 — произвольная функция (v, v — см. (89), (91)). Если ?1 + ?2 = 0, то общее
?
решение уравнения (90) имеет вид

v
?
?
f 1 = ?1 f 1 (94)
v, ,
2
?1 ?(2)

где f 1 — произвольная функция.
2
Можно заметить, что при ?1 + ?2 = 0 выражения v и ?1 ?(2) функцио-
нально зависимы, поэтому решение (93) получается из (94) как частный случай.
Следовательно, (94) является общим решением уравнения (90). Воспользовавшись
формулами (86) и (92) получим окончательный вид искомой функции:

1 ? C 1 (v) 1 1
B 1 = ?1 f (v, ?) + (95)
?a ?a ,
?1
где
v
? ?va ?va ?2
(v — см. (89)).
?= = v
2 ?xa ?xa
?1 ?(2)

Полностью идентичные выкладки для определяющего уравнения (80b) приво-
дят к искомым функциям
(2)
A(2) = C (2) (v), Aab = ?a A(2) ,
b

(96)
1 ? C (2) (v) (2) (2)
(2) (2) (2)
B =? f (v, ?) + ?a ?a .
?(2)
Подставляя формулы (84), (89), (95), (96) в исходную систему (76), получа-
ем систему (79). Необходимость доказана. Достаточность доказывается простой
проверкой.
108 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

? ? ?
Следствие. Если ?1 = i/k, k ? R2 , ?2 = ?1 , ?(2) = ?(1) , C (2) = C (1) , f (2) =
?
f (1) , то система (79) сводится к паре комплексно-сопряженных нелинейных
обобщений уравнения (1):

?
? 1 ? C(??)
? ? ? ?
i
(97a)

<< Предыдущая

стр. 25
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>