<< Предыдущая

стр. 26
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?t = C(??)?? + ? ?a ?a + ?f (?, ?, (??)a (??)a ),
?
k ??

? ?
1 ? C (??) ? ? ??
i? ? ? ? ? ?
? ?t = C(??)?? + ? (97b)
?a ?a + ?f (?, ?, (??)a (??)a ).
?
k ??

?
Очевидно, что при C(??) = 1 уравнение (97а) содержит уравнение (4) как
частный случай.
Класс уравнений (79) достаточно широк. Чтобы его сузить, потребуем допол-
нительную инвариантность относительно оператора масштабных преобразований:

I? = ?1 ?1 ??1 + ?2 ?(2) ??(2) . (98)
D = 2t?t + xa ?a + I? ,

Теорема 3. Галилеевски-инвариантная система уравнений (79) инвариантна
относительно группы масштабных преобразований, порождаемой оператором
(98), только тогда, когда она эквивалентна уравнениям

1 ? D1 1 1
?a ?a + ?1 f 1 (?)v ?2/? ,
??
?1 ?1 = D1 ??1 + (99a)
t 1
?

1 ? D2 (2) (2)
?a ?a + ?(2) f (2) (?)v ?2/? ,
(2) ??
= D2 ??(2) + (99b)
?2 ?t (2)
?

если

?1 ?2
?= = 0,
?1 ?2

и

1 ? C 1 (v) 1 1
?1 ?1 = C 1 (v)??1 + ?a ?a + ?1 g 1 (v)?, (100a)
t 1
?

1 ? C (2) (v) (2) (2)
(2) (2) (2)
?a ?a + ?(2) g (2) (v)?, (100b)
?2 ?t =C (v)?? + (2)
?

?
если ? = 0, где ? = v 2/? ?, v, ? — см. теорему 2, D1 , D2 — произвольные
?
постоянные, f (k) , C (k) , g (k) , k = 1, 2 — произвольные функции.
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 109

Доказательство. Воспользуемся системой определяющих уравнений (80). Подста-
новка в (80а) коэффициентов уравнения (79а) приводит к соотношению
?C 1 1
?C 1 (2)
1? 1?
M
?? 1 ? ?1 v
?1 ?1 = 1 a1
C (v)?a ?aa + ?2 v ?? (2) +
0
?v ? ?v ?
1
1 ? C 1 (v) 1 1 ?2 v ?C + (1 ? C 1 ) 1 1 1
?a ?a ? ? ?a ?a + f 1 ? 1 +
?v
+2 1 1 )2
? (?
?1 v ?C 1 (2) 1 1 11 1
?2
1 ?f ? 1 ?f
? ?1 ? v
+ 1 (2) ? ?a ?a + ?2 ? v +
?v ?1 ?v ?(2)
?v
??
(2) (101)
1
?1 ?1 ?1 ?a
1 ??
??2 a1 3a
+ ?1 ?2 1a 2 (2) ?1 +
+2? 2
?? (? ) (? ) ?
(2) (2) (2)
?1 ?a
2 ?a ?a
??1 + ?1 ?2 1 a (2) 2 ? (2) +
+ (2) ? (? )
(?a )3
(2) (2) (2)
?1
?a ?a ?a
? ?1 ?2 1 (2) ? ?1 ?2 1 a(2)
?2 ?1 ?2 ?(2) ,
+ +
2 a 1 a
1 )2 (2) )2
(? ?? (? ??
где M — многообразие, порожденное системой (79) в продолженном пространстве.
Нетрудно подсчитать, что для оператора (98)
? 1 = ?1 ?1 , ? (2) = ?2 ?(2) ,
(2) (2)
?1 = (?1 ? 2)?1 , ?0 = (?2 ? 2)?t ,
0 t
(102)
(2) (2)
?1 = (?1 ? 1)?1 , ?a = (?2 ? 1)?a ,
a a
(2) (2)
?aa = (?1 ? 2)?1 , ?aa = (?2 ? 2)?aa .
1
aa

Подставляя выражения (102) для ? k , ?k , ?aa , k = 1, 2; a = 1, n; i = 0, n, в опре-
k
i
деляющее уравнение (101), после соответствующих преобразований получаем со-
отношение
1
?C 1 ?1 ?1 1
1 ?f 1 ?f
?? ? ? 2? ?
aa
1
+ 2?1 f 1 = 0. (103)
?v? + ?v 1
?v ?v ? ??
Если ? = 0, то расщепление уравнения (103) по вторым производным ?1
aa
приводит к условию
?C 1
= 0,
?v
т.е.
C 1 (v) = D1 = const. (104)
Для определения функции f 1 получаем линейное ДУЧП первого порядка
?f 1 2 ?f 1
?v = f1
+?
?v ? ??
с общим решением
f 1 = v ?2/? f 1 v 2/? ? ,
? (105)
?
где f 1 — произвольная функция.
110 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Если же ? = 0, то, очевидно, соотношение (103) приводит к условиям

f 1 = ?g 1 (v), (106)

g 1 (v), C 1 (v) — произвольные функции.
Аналогичные выкладки проводятся для определяющего уравнения (80b) с ко-
эффициентами из уравнения (79b) и (102). В результате получаем

C (2) (v) = D2 = const,
f (2) = v ?2/? f 2 v 2/? ? ,
?

если ? = 0;

f (2) = ?g (2) (v),
C (2) (v) — произвольная функция,

если ? = 0. Теорема доказана.
Оказывается, что среди систем (99), (100) есть такие, которые допускают опе-
раторы проективных преобразований

|x|2
? = t ?t + txa ?a ?
2
(107)
J? + tI? ,
4
где J? , I? определены в (78) и (98). Другими словами, существуют системы урав-
нений, инвариантные относительно алгебры AG2 (1, n) с базисными операторами
(2а), (2b), (78), (98), (107).
?
Теорема 4. 1. Система уравнений вида (99) при произвольных Dk , f (k) , k = 1, 2
инвариантна относительно алгебры AG2 (1, n) с базисными операторами (2а),
(2b), (78), (98), (107), причем

n n D1 D2
I? = ? ?=?
D1 ?1 ??1 + D2 ?(2) ??(2) , = 0.
?1 ?2
2 2
2. Система уравнений (100) инвариантна относительно алгебры AG2 (1, n) то-
лько тогда, когда

C (k) (v) = Dk = const, k = 1, 2,

причем

D1 n D2 n n D1 D2
I? = ? J? = ? ?=?
J? , = 0.
?1 ?2
?1 2 ?2 2 2
Доказательство теоремы 4 такое же, как и теорем 2, 3.
? ?
? ?
? ?
Следствие. Если положить ?1 = i/k, k ? R , ?2 = ?1 , ? = ? , f (2) = f 1 = f ,
1 (2) 1

D1 = D2 = q, q ? R1 , то ? = nqi/k = 0 и система уравнений (99) сводится к
паре комплексно-сопряженных нелинейных обобщений уравнений (1)
? 1?q ?2 ? ? ?
i 1
?t = q?? + ? ? ?a ?a + ?(??) nq f (??)?2(1+ nq ) (??)a (??)a ,(108a)
k ??
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 111

1?q ? ? ? 2?
i? ? ? ? ? ?
1
? ?t = q?? +? ? ?a ?a + ?(??) nq f (??)?2(1+ nq ) (??)a (??)a ,(108b)
k ??
инвариантных относительно алгебры AG2 (1, n).
Очевидно, что при q = 1 класс уравнений (108а) совпадает с классом уравнений
(4). При этом операторы (78), (98) и (107) переходят соответственно в (2с), (2d) и
(2е).
Отметим, что системы уравнений (99) и (100) при условиях теоремы 4 сводятся
к более простым с помощью локальных замен
1 ? Dk 1/Dk
W (k) (t, x) = d?(2) d?(k) = Dk ?(k) k = 1, 2. (109)
exp ,
(2)
Dk ?
Нетрудно убедиться, что замена (109) преобразует систему (99) к виду
?1 Wt1 = ?W 1 + W 1 h1 (?)v ?2/? ,
? ?
(110)
?2 W = ?W (2) + W (2) h(2) (?)v ?2/? ,
(2)
? ?
t
где
?W (k)
?k (k)
?
?k = , Wt = , k = 1, 2,
Dk ?t
D1 D2
?
??1 ?v ?v 2 ?2
?
1 ?2 (2)
v= W W , ?= v? ,
?xa ?xa
h1 , h(2) — произвольные функции.
Применение замены (109) к системе (100) при условиях теоремы 4 приводит к
уравнениям
?
?Wt1 = ?W 1 + W 1 ??1 (v),

<< Предыдущая

стр. 26
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>