<< Предыдущая

стр. 27
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

g
(111)
? (2)
?W = ?W (2) + W (2) ??(2) (v),
g
t
где
?
?D1 D2
W1
?1 ?2 ?v ?v 2
?
?= = , v= , ?= v,
W (2)
D1 D2 ?xa ?xa
g 1 , g (2) — произвольные функции.
??
В заключение рассмотрим систему уравнений диффузионного типа
?U
?U = ? + f (U, V ),
?t
(112)
?V
?V = ? + g(U, V ),
?t
которая, очевидно, с точностью до обозначений является частным случаем систе-
мы уравнений (76). Согласно теореме 2 система (112) инвариантна относительно
алгебры Галилея AG(1, n) с базисными операторами (2а), (2b), (78) только тогда,
когда она имеет вид
?U
?U = ? + U f1 (U/V ),
?t
(113)
?V
?V = ? + V g1 (U/V ).
?t
112 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Если же в системе уравнений (113)

f1 (U/V ) = ?1 (U/V )2/(?2 ??1 ), g1 (U/V ) = ?2 (U/V )2/(?2 ??1 ), ?2 = ?1 , (114)

то она допускает оператор масштабных преобразований (98) (см. теорему 3). Одна-
ко, как следует из теоремы 4, среди галилеевски-инвариантных систем уравнений
вида (113) нет нелинейных систем, инвариантных относительно алгебры AG2 (1, n)
с проективным оператором ? (107).
Нам удалось показать, что среди нелинейных систем вида (113) существует
единственная (с точностью до постоянных коэффициентов), которая инвариантна
относительно обобщенной алгебры Галилея AG2 (1, n) со специальным представле-
нием проективного оператора ?. Это следующая нелинейная система уравнений:

U2
?U
?U = ? + ?1 ,
?t V (115)
?V
?V = ? + ?2 U,
?t
где ?k = const, k = 1, 2, ?1 = ?2 .
Теорема 5. Максимальная (в смысле С. Ли) АИ системы уравнений (115) явля-
ется алгебра AG2 (1, n) с базисными элементами
? ?
(116a)
P1 = , Pa = ,
?t ?xa

Jab = xa Pb ? xb Pa , (116b)
a, b = 1, n,

?xa
Ga = tPa ? (116c)
I, I = U ?U + V ?V ,
2

n ?2
D = 2tPt + xa Pa ? 2U ?U ? (116d)
+ I,
?1 ? ?2
2

?|x|2 ?
? = tD ? t Pt ?
2
(116e)
I+ V ?U .
?1 ? ?2
4

Доказательство. Тот факт, что операторы (116) удовлетворяют коммутационным
соотношениям, характеризующим алгебру Ли AG2 (1, n), доказывается, простой
проверкой. Доказательство того, что операторы (116) порождают максимальную
АИ системы (115), проводится по методу Ли.

§ 7. О солитоноподобных решениях уравнения (6)
В § 4 найдены частные решения нелинейного уравнения (6) путем редукции
его по одномерным неизоморфным подалгебрам X1 , X2 , X3 алгебры AG(1, 3). Ока-
зывается, что, решая редукционное уравнение (12а), соответствующее подалгебре
X4 , можем получить солитоноподобные решения уравнения (6). Действительно,
воспользовавшись заменой

? = ?(y), y = ?a xa ,
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 113

где ?1 , ?2 , ?3 ? R1 , ?(y) — действительная функция, сведем уравнение (12а) к
нелинейному ОДУ второго порядка
d2 ? 1
|?|2 k + ? + ??2/3 = 0. (117)
dy 2 ?
Общее решение уравнения (117) в элементарных функциях получить не удае-
тся, так как его решение сводится к квадратуре
d?
C2 ± y = (118)
.
?2
? 3 10/3
C1 + 5 ??
?

Построим частные решения уравнения (117) специального вида:
?(y) = y(emy ? e?my )?1 (emy + e?my )?2 ; (119)
здесь ?, m, ?1 , ?2 — некоторые постоянные, которые подлежат определению.
Подстановка (119) и уравнение (117) приводит к соотношению

k|?|2 m2 ?1 + ?2 + 2?1 ?2 + ?1 (?1 ? 1)(emy + e?my )2

(emy ? e?my )2 + ?2 (?2 ? 1)(emy ? e?my )2 (emy + e?my )2 + (120)

+?? 4/3 (emy ? e?my )4?1 /3 (emy + e?my )4?2 /3 = 0.
Очевидно, что если постоянные ?, m, ?1 , ?2 такие, что соотношение (120)
выполняется тождественно, то (119) является решение уравнения (117).
Пусть ?1 = 0, ?2 = ?3/2, тогда выражение (120) сводится к виду
3 2 2 15 2 2 (emy ? e?my )2 ?? 4/3
1
? |?| m + |?| km my (121)
+ my = 0.
(e + e?my )2 (e + e?my )2
? 2 4
Равенство (121) превращается в тождество только в случае, если
v 3/4
5 2
? = ±2 2 ? m=± (122)
, , ?? < 0, ?k < 0.
3 ??k|?|2
3??
Таким образом, получаем решение уравнения (117):
3/4
? ?? 5
?? = ± ?
?(y) = my = , ,
(e + e?my )3/2 [cosh my]3/2 3??
где ?, m определены в (122). Следовательно (см. табл. 1), выражение
?? eit/?
(123)
?(t, x) = ,
[cosh m?a xa ]3/2
где ?, ?1 , ?2 , ?3 — произвольные параметры, является точным решением уравне-
ния (6).
Воспользовавшись формулой размножения решений (21), из (123) получаем се-
мипараметрическое семейство солитоноподобных решений:
|?|2
i
?? exp 2k ?a xa + + 2k/? t
2
(124)
?(t, x) = ;
[cosh(m?a (xa + ?a t))]
114 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

здесь

|?|2 = ?2 + ?2 + ?2 , ?1 , ?2 , ?3 ? R1 .
1 2 3

В случае ?2 = ?3 = ?2 = ?3 = 0, ?1 = 1, ?1 = v из (124) имеем решение

±2
iv
?? exp 2k (x1 + (v/2 + 2k/v?))
m0 = v (125)
?(t, x) = , ,
3 ?k?
[cosh m0 (x1 + vt)]3/2
одномерного (n = 1) нелинейного уравнения

?2? ?
+ ??(??)2/3 .
i?t = k
?x2
1

Решение (125) естественно назвать солитонным по аналогии с известным решени-
ем (см., напр., [12])

m1 exp[(iv/2)(x1 + (?/2 + ?2 /3v)t)] ?
?,
?(t, x1 ) = , m1 = ?<0
2 cosh m1 (x1 + vt) 4
нелинейного уравнения Шредингера

?2? ?
i?t = + ??(??).
?x2
1

Воспользовавшись формулой (22), из решения (123) получаем восьмипараме-
трическое семейство решений уравнения (6):

?? exp{(i[p|x|2 + 2?a xa + (|?|2 + 4k/?)t)/(4k(1 ? pt))}
(126)
?(t, x) = .
{(1 ? pt) cosh[(m?a (xa + ?a t))/(1 ? pt)]}3/2
Очевидно, что в случае p = 0 из решений (126) получаем солитоноподобные
решения вида (124).
Рассмотрим соотношение (120) в случае ?1 = ? 3 , ?2 = 0, т.е.
2

(emx + e?mx )2 ?? 4/3
1 3 15
? ?a ?a km2 + ?a ?a km2 mx + mx = 0.
(e ? e?mx )2 (e ? e?mx )2
? 2 4
Нетрудно показать, что оно превращается в тождество только в случае, когда
3/4
20 2 1
m=± v
?=± (127)
, , ?? > 0, k? < 0.
3 ??k?a ?a
3??
Воспользовавшись формулой (119), получим еще одно решение нелинейного ОДУ
(117):

? = ?(emy ? e?my )?3/2 = ?/(2 sinh my)3/2 , (128)

где ?, m определены в (127). Из решения (128) следует решение уравнения (6):
3/4
?+ eit/? 5
?+ = ± (129)
?= , .
[sinh m?a xa ]3/2 3??
О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений 115

Применяя к этому решению формулу (21), получаем семипараметрическое се-
мейство солитоноподобных решений
?+ exp[(i/2k)(?a xa + (|?|2 /2 + 2k/?)t)]
(130)
?= .
[sinh(m?a (xa + ?a t))]3/2
Отметим, что решения вида (130) в отличие от солитоноподобных решений из
семейства (124) имеют особенность на многообразии

(131)
?a xa + ?a ?a t = 0
в пространстве независимых переменных.
В заключение приведем восьмипараметрическое семейство решений уравнения
(6)
?+ exp{(i[p|x|2 + 2?a xa + (|?|2 + 4k/?)t)/(4k(1 ? pt))}
?(t, x) = ,
{(1 ? pt) sinh[(m?a (xa + ?a t))/(1 ? pt)]}3/2
которое получается из решения (129) с помощью формулы (22).

1. Niederer V., The maximal kinematical invariance group of the free Schr?dinger equation, Helv.
o
Phys. Acta, 1972, 45, 808–816.
2. Фущич В.И., Никитин А.Г., Нерелятивистские уравнения движения для частиц с произвольным
спином, Физика элементар. частиц и атом. ядра, 1981, 12, вып. 5, 1157–1219.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
4. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.

<< Предыдущая

стр. 27
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>