<< Предыдущая

стр. 28
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5. Fushchych W.I., Cherniha R.M., The Galilean relativistic principle and nonlinear partial differential
equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1985, 18, 3491–3503.
6. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Галилея. I, Препринт 85.19, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 46 с.
7. Collins C.B., Complex potential equations. I. A technique for solution, Proc. Cambr. Phys. Soc.,
1976, 80, 165–171.
8. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976,
576 с.
9. Хенри Д., Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений, M., Мир, 1985,
376 с.
10. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
11. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
12. Захаров В.Е., Шабат А.Б., Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомо-
дуляции волн в нелинейных средах, Журн. эксперимент. и теорет. физики, 1971, 61, № 1,
118–134.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 116–133.

Подгрупповая структура обобщенной
группы Пуанкаре и точные решения
некоторых нелинейных волновых
уравнений
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ФЕДОРЧУК, И.М. ФЕДОРЧУК


Найдены инварианты расщепляющихся подгрупп обобщенной группы Пуанкаре
P (1, 4) — группы вращений и сдвигов в 5-мерном псевдоевклидовом пространстве.
Произведена редукция нелинейного уравнения Даламбера и релятивистского урав-
нения Гамильтона к дифференциальным уравнениям с меньшим числом переменных.
Построены классы точных решений этих уравнений.


Введение
На основании подгрупповой структуры групп инвариантности дифференциаль-
ных уравнений можно находить точные решения этих уравнений.
Линейные волновые уравнения в пятимерном пространстве Минковского ис-
пользуются в квантовой теории для описания частиц с переменной массой [1].
Нелинейные волновые уравнения в пространстве Минковского M (1, n) рассмотре-
ны в работах [2–6], где, в частности, исследована симметрия этих уравнений и
построены в явном виде, с помощью специальных анзацов, многопараметрические
семейства точных решений.
В математической физике широко используется уравнение эйконала или ре-
лятивистское уравнение Гамильтона. В работе [7] исследована симметрия этого
уравнения, и на основании специальных анзацов найдены многопараметрические
семейства точных решений. В [7], в частности, доказано, что максимальной ло-
кальной группой инвариантности уравнения эйконала является конформная группа
C(1, 4) в (4 + 1)-мерном пространстве Пуанкаре–Минковского. К настоящему вре-
мени подгруппы конформной группы C(1, 4) не описаны. Хорошо известно, что
группа C(1, 4) содержит в качестве подгруппы группу P (1, 4). P (1, 4) — груп-
па движений пространства Минковского M (1, 4). Подгрупповая структура группы
P (1, 4) изучена в работах [8–12].
В данной работе на основании подгрупповой структуры группы P (1, 4) постро-
ены точные решения нелинейных волновых уравнений. При этом рассматривались
только расщепляющиеся подалгебры [8, 9] алгебры Ли группы P (1, 4).
Дадим краткую характеристику работы. В § 1 найдены инварианты расще-
пляющихся подгрупп (локальных групп Ли, соответствующих расщепляющимся
подалгебрам) группы P (1, 4). В § 2 построены классы точных решений нелиней-
ного волнового уравнения. В § 3 найдены семейства точных решений уравнения
эйконала. В § 4 исследовано уравнение эйконала с нулевой массой.
Препринт № 86.27, Киев, Институт математики АН УССР, 1986, 36 с.
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 117

§ 1. Инварианты расщепляющихся подгрупп группы P (1, 4)
Алгебра Ли группы P (1, 4) задается базисными элементами Pµ и Mµ? = ?M?µ
(µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4), которые удовлетворяют следующим коммутационным соотно-
шениям:
[Mµ? , P? ] = gµ? P? ? g?? Pµ ,
[Pµ , P? ] = 0,
[Mµ? , M?? ] = gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? ? gµ? M?? ,
где gµ? (µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4) — метрический тензор с компонентами g00 = ?g11 =
?g22 = ?g33 = ?g44 = 1, gµ? = 0 если µ = ?.
Для нее выбрано следующее представление:
? ? ? ?
P1 = ? P2 = ? P3 = ?
P0 = , , , ,
?x0 ?x1 ?x2 ?x3
?
P4 = ? Mµ? = ?(xµ P? ? x? Pµ ).
,
?x4
Ниже мы приводим функционально независимые решения систем уравнений
Xi I(x) = 0,
где {Xi }, i = 1, . . . , dim Pik — базисы расщепляющихся подалгебр Pjk алгебры Ли
группы P (1, 4). Эти решения и являют собой инварианты соответствующих расще-
пляющихся подгрупп группы P (1, 4). Наиболее удобно представить весь список
инвариантов в виде таблиц.
1.1. Одномерные инварианты. Ниже выписаны одномерные инварианты ра-
сщепляющихся подгрупп группы P (1, 4) в пространстве Минковского M (1, 4).
Таблица 1. Одномерные инварианты
№ Переменные № Переменные
1/2 1/2
x2 + x2 + x2 + x2 ? x2
x2 + x2
1. 9.
1 2 4 3 2 1 0
1/2
x0 ? x2
2
2. 10. x0
4
1/2
x2 + x2
3. 11. x1
3 4
1/2
x2 + x2 + x2
4. 12. x2
1 2 3
1/2
x2 + x2 ? x2
5. 13. x3
4 3 0
1/2
x2 + x2 + x2 + x2
6. 14. x4
1 2 3 4
1/2
x3 + x2 + x1 ? x2
2 2 2
7. 15. x0 + x4
0
1/2
x4 + x2 + x1 ? x2 x0 ? x4
2 2 2
8. 16.
0

1.2. Двумерные инварианты. Ниже выписаны двумерные инварианты расще-
пляющихся подгрупп группы P (1, 4) в пространстве Минковского M (1, 4).
Таблица 2. Двумерные инварианты
№ Инварианты ?1 , ?2 № Инварианты ?1 , ?2
1/2 1/2 1/2
x2 ? x2 , x2 + x2 x2 + x2
1. 2. x3 ,
0 4 1 2 1 2
1/2
x4 + x2 ? x2
2
3. x2 , x3 4. x2 , 3 0
1/2 1/2
x0 , x2 + x2 x2 + x2
5. 6. x0 ,
3 4 1 2
1/2 1/2 1/2
x2 + x2 , x2 + x2 x2 + x2 + x2 + x2
7. 8. x0 ,
1 2 3 4 1 2 3 4
118 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

Продолжение табл. 2
№ Инварианты ?1 , ?2 № Инварианты ?1 , ?2
9. x3 , x4 10. x0 , x4
1/2
x4 , x2 + x2
11. 12. x0 , x3
1 2
1/2 1/2 1/2
x2 ? x2 x3 , x2 + x2 + x2 ? x2
, x2 + x2 + x2
13. 14.
0 4 1 2 3 4 2 1 0
2 1/2 1/2
, x4 + x3 ? x2
2 2 2
15. 16. x1 , x2
x1 + x2 0
2 1/2 1/2
x3 , x0 ? x4 x4 , x2 + x2 + x2 ? x2
2
17. 18. 1 2 3 0
1/2 1/2
x4 , x2 + x2 + x2 x0 , x2 + x2 + x2
19. 20.
1 2 3 1 2 3
x0 + x4 , x2 ? 2x0 (x0 + x4 )
21. 22. x0 + x4 ,
3
x2 + x2 + x2 ? 2x0 (x0 + x4 )
1 2 3
x2 1
x0 + x4 , x2 + x2 ? 2x0 (x0 + x4 ) ? ln(x0 + x4 ),
23. 24. arcsin
1 2
d
x2 + x2
1 2
1/2
x2 + x2
1 2

ln x2 ? x2 ? ln x2 ? x2 +
25. 26.
0 4 0 4
x2 x2
?2e arcsin ?
+ +2e arcsin
x2 + x2 x2 + x2
1 2 1 2
x0 x0
1/2 1/2
?2 arch
, x2 + x2 , x2 + x2
+2 arch 1 2 1 2
2 ? x2 2 ? x2
x0 x0
4 4
1/2
x3 , x0 ? x4
x0 + x4 , x2 + x2
27. 28.
1 2
1/2
x0 ? x4 , x2 + x2
29. x2 , x0 + x4 30. 1 2
1/2
x0 + x4 , x2 + x2 + x2
31. x3 , x0 + x4 32. 1 2 3
1/2
x0 ? x4 , x2 + x2 + x2
33. 1 2 3



1.3. Трехмерные инварианты. Приведем трехмерные инварианты расщепляю-
щихся подгрупп группы P (1, 4) в пространстве Минковского M (1, 4).

Таблица 3. Трехмерные инварианты
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 № Инварианты ?1 , ?2 , ?3
1/2
x0 , x2 + x2
1. , x3 2. x1 , x2 , x3
1 2
3. x2 , x3 , x4 4. x0 , x3 , x4
1/2 1/2 1/2
x2 ? x2
x0 , x2 + x2 + x2 , x2 + x2
5. , x4 6. , x3
1 2 3 0 4 1 2
1/2 1/2
x1 , x2 , x2 + x2 ? x2 x2 ? x2
7. 8. , x2 , x3
3 4 0 0 4
1/2 1/2 1/2
x0 , x2 + x2 , x2 + x2 x0 , x2 + x2
9. 10. , x4
1 2 3 4 1 2
2 1/2
x0 + x4 , x2 ? 2x0 (x0 + x4 ), x2
2
11. , x3 , x4 12.
x1 + x2 3
x0 + x4 , x1 + x2 ? x0 + x4 , x2 ? 2x0 (x0 + x4 ),
2
13. 14.
2 3
2 1/2
?2x0 (x0 + x4 ), x3 2
x1 + x2
ln x2 ? x2 ? ln x2 ? x2 +
15. 16.
0 4 0 4
x2 x2
?2e arcsin ?
+ +2e arcsin
x2 + x2 x2 + x2
1 2 1 2
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 119

Продолжение табл. 3
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 № Инварианты ?1 , ?2 , ?3

<< Предыдущая

стр. 28
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>