<< Предыдущая

стр. 29
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x0 x0
?2 arch
+2 arch , ,
x2 ? x2 x2 ? x2
0 4 0 4
1/2 1/2
x2 + x2 x2 + x2
, x3 , x3
1 2 1 2
1 x3 x2
?
17. 18.
arcsin + arcsin
2 x2 + x2 x2 + x2
3 4 1 2
1 x2 1 1/2
? ln(x0 + x4 ), x2 + x2
, ,
+ arcsin 1 2
e d
x2 + x2
1 2
1/2 1/2 1/2
x2 + x2 ? x2
x2 + x2 , x2 + x2
1 2 3 4 3 4 0
x2
?
19. 20. x2 , x3 , x0 + x4
arcsin
x2 + x2
1 2
1 x0
? arch ,
x2 ? x2
e 0 4
1/2 1/2
, x2 ? x2
x2 + x2
1 2 0 4

x2 , x3 , x0 ? x4
21. 22. x1 , x2 , x0 + x4
1/2 1/2
x0 ? x4 , x2 + x2
x0 + x4 , x2 + x2
23. , x3 24. , x3
1 2 1 2
x2 x3
25. ,
arcsin +
?(x0 + x4 )
x2 + x2
1 2
1/2
x2 + x2 , x0 + x4
1 2



1.4. Четырехмерные инварианты. Ниже выписаны четырехмерные инвариан-
ты расщепляющихся подгрупп группы P (1, 4) в пространстве Минковского M (1, 4).


Таблица 4. Четырехмерные инварианты
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 , ?4 № Инварианты ?1 , ?2 , ?3 , ?4
1. x1 , x2 , x3 , x4 2. x0 , x2 , x3 , x4
1/2 1/2
x1 , x2 , x3 , x2 ? x2
x0 , x2 + x2
3. , x3 , x4 4.
1 2 0 4
1 x2
x0 + x4 , x2 ? 2x0 (x0 + x4 ),
5. 6. arcsin +
3
e x2 + x2
1 2
1 x3
x1 , x2 ,
+ arcsin
2 x2 + x2
3 4
1/2 1/2
x2 + x2 , x2 + x2 , x0
1 2 3 4
x2 x2
?
7. 8.
arcsin arcsin +
x2 + x2 x2 + x2
1 2 1 2
1 x0 x3
1/2 1/2
? arch , x2 + x2 , x2 + x2
, ,
+
1 2 1 2
2 ? x2
e ?(x0 + x4 )
x0 4
120 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

Продолжение табл. 4
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 , ?4 № Инварианты ?1 , ?2 , ?3 , ?4
1/2
x2 ? x2 x0 + x4 , x2 ? 2x0 (x0 + x4 )
, x3
0 4 3
x1 , x2 , x3 , x0 ? x4
9. x1 , x2 , x3 , x0 + x4 10.


§ 2. Частные решения нелинейного волнового уравнения
В данном параграфе рассматривается нелинейное волновое уравнение в пяти-
мерном пространстве
2u = F (u), (2.1)
где
?2 ?2 ?2 ?2 ?2
2= ? 2? 2? 2? ,
?x2 ?x2
?x1 ?x2 ?x3
0 4

u(x) = u(x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ) — скалярная дважды дифференцируемая функция x,
F (u) — произвольная дифференцируемая функция зависимой переменной u. Груп-
пой инвариантности уравнения (2.1) является P (1, 4). Для нахождения точных
решений этого уравнения использована подгрупповая структура группы P (1, 4).
Здесь рассмотрены только расщепляющиеся подалгебры алгебры Ли группы P (1, 4),
использование которых редуцирует уравнение (2.1) к уравнениям с меньшим чи-
слом переменных.
2.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Рассмотрим ан-
зацы вида
(2.2)
u = ?(?),
где ? — одномерные инварианты соответствующих подгрупп группы P (1, 4). Под-
ставляя (2.2) в (2.1), получаем ОДУ вида:
d2 ? d? ?1
(2.3)
+ k? = ?F (?),
d? 2 d?
где k = 0, 1, 2, 3, 4, ? = ±1.
Пусть F (?) = ??n (n = 1), тогда уравнение (2.3) имеет вид:
d2 ? d? ?1
k? = ???n (2.4)
+ (n = 1).
2
d? d?
В этом случае частное решение (2.4) ищем в виде
? = d? ? . (2.5)
Подставляя (2.5) в (2.4), находим следующие выражения для d и ?:
1/(n?1)
2[1 + k + n(1 ? k)] 2
(2.6)
d= , ?= .
??(1 ? n)2 1?n
Поэтому частные решения уравнения (2.1) с правой частью F (u) = ?un (n = 1)
выражаются формулами (2.2) и (2.5) с учетом (2.6). Переменные ?, k и ? выписаны
в таблице 5.
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 121

Таблица № 5

№ Переменные ? k ?
1/2
?1
x2 + x2
1. 1
1 2
1/2
x2 ? x2
2. 1 1
0 4
1/2
?1
x2 + x2
3. 1
3 4
1/2
?1
x2 + x2 + x2
4. 2
1 2 3
1/2
x2 + x2 ? x2 ?1
5. 2
4 3 0
1/2
?1
x2 + x2 + x2 + x2
6. 3
1 2 3 4
1/2
x2 + x2 + x2 ? x2 ?1
7. 3
3 2 1 0
1/2
x2 + x2 + x2 ? x2 ?1
8. 3
4 2 1 0
1/2
x2 + x2 + x2 + x2 ? x2 ?1
9. 4
4 3 2 1 0

Если k = 0, уравнение (2.3) интегрируется в квадратурах. В этом случае для
уравнения (2.4) получается такой результат:
d?
(2.7)
? + C0 = ,
2???n+1 /(n + 1) + C1
где C0 и C1 — произвольные постоянные, ? — одна из следующих переменных x0 ,
x1 , x2 , x3 , x4 .
Для первой из них ? = 1, для остальных переменных ? = ?1. Для переменных
?1 = x0 + x4 и ?2 = x0 ? x4 2?(?) ? 0.
2.2. Дифференциальные уравнения в двумерном пространстве. Рассмо-
трим анзацы вида
(2.8)
u(x) = ?(?1 , ?2 ),
где ?1 (x) и ?2 (x) — инварианты подгрупп группы P (1, 4), выписанные в табл. 2.
Подставляя (2.8) в (2.1), получаем следующие двумерные дифференциальные урав-
нения с частными производными (ДУЧП) (?ik = ? 2 ?/??i ?k , i, k = 1, 2):
?1 ?1
?11 ? ?22 + ?1 ?1 ? ?2 ?2 = F (?),
1)
?1
?11 + ?22 + ?2 ?2 = ?F (?),
2)
?11 + ?22 = ?F (?),
3)
?1
?11 + ?22 + 2?2 ?2 = ?F (?),
4)
?1
?11 ? ?22 ? ?2 ?2 = F (?),
5)
?1
?11 ? ?22 ? ?2 ?2 = F (?),
6)
?1 ?1
?11 + ?22 + ?1 ?1 + ?2 ?2 = ?F (?),
7)
?1
?11 ? ?22 ? 3?2 ?2 = F (?),
8)
?11 + ?22 = ?F (?),
9)
?11 ? ?22 = F (?),
10)
?1
?11 + ?22 + ?2 ?2 = ?F (?),
11)
?11 ? ?22 = F (?),
12)
122 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

?1 ?1
?11 ? ?22 + ?1 ?1 ? 2?2 ?2 = F (?),
13)
?1
14) ?11 + ?22 + 3?2 ?2 = F (?),
?1 ?1
?11 + ?22 + ?1 ?1 + 2?2 ?2 = ?F (?),
15)
?11 + ?22 = ?F (?),
16)
?1
?11 ? ?22 ? ?2 ?2 = ?F (?),
17)
?1

<< Предыдущая

стр. 29
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>