<< Предыдущая

стр. 3
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0 0 C2
10 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

?
отображает L на алгебру L. Следовательно, алгебры L и L O(p, q)-сопряжены.
Предложение доказано.
Теорема 2.1 и предложение 2.3 сводят описание максимальных разрешимых
подалгебр класса r к описанию максимальных вполне приводимых разрешимых
подалгебр алгебры LO(p?r, q?r) и максимальных разрешимых подалгебр алгебры
gl(r, R) с точностью до сопряженности.
Предложение 2.4. Пусть r — изотропный ранг максимальной разрешимой по-
далгебры алгебры LO(p, q), ?r — число таких подалгебр. Тогда
vr vr
1? 5
1 1+ 5
?r = v ? (2.1)
2 2
5

и справедливы следующие утверждения:
1) если p и q имеют разную четность, то r = 1, 2, . . . , q;
2) если p и q четные, то r = 2, 4, . . . , q;
3) если p и q нечетные, то r = 1, 3, . . . , q.
Доказательство. Утверждения 1, 2 и 3 предложения 2.4 вытекают из теоре-
мы 2.2 и предложения 2.3. Далее, ?1 = 1, ?2 = 2, и согласно предложению 2.3
?r = ?r?1 + ?r?2 . Следовательно, числа последовательности {?n } являются числа-
ми Фибоначчи. Но тогда справедливость формулы (2.3) вытекает из результатов
статьи [2]. Предложение доказано.
Ввиду теоремы 2.2 и предложений 2.1 и 2.2 размерность d(L) максимальной
разрешимой подалгебры L ранга r можно вычислить по формуле
r2 ? r p+q
+ r(p + q ? 2r) + (2.2)
d(L) = + ?,
2 2
где ? — размерность максимальной разрешимой подалгебры алгебры gl(r, R). Со-
гласно предложению 2.4 такая подалгебра полностью определяется набором чисел
(?1 , . . . , ?s ) и потому
r2 ? r r+1
?= + s, s= , . . . , q.
2 2
При использовании формулы (2.2) следует иметь в виду, что числа p, q и r должны
удовлетворять условиям предложения 2.4.
Сделаем еще одно замечание о максимальных разрешимых подалгебрах ал-
гебры LO(p, q). Из предложения 2.1 вытекает, что если число pq четное, то су-
ществует единственная максимальная вполне приводимая разрешимая подалге-
бра, являющаяся подалгеброй Картана и обладающая базисом {(E12 ? E21 ), (E34 ?
E43 ), . . . , (E2[ p ]?1,2[ p ] ? E2[ p ],2[ p ]?1 ), (Ep+1,p+2 ? Ep+2,p+1 ), . . . , (Ep+2[ q ]?1,p+2[ q ] ?
2 2 2 2 2 2
Ep+2[ q ],p+2[ q ]?1 )}, где Eik — квадратная матрица порядка n, у которой все эле-
2 2
менты нули, за исключением элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и
k-го столбца и равного 1. Если подалгебра не является вполне приводимой, то она
полностью определяется изотропным рангом r и набором целых чисел (?1 , . . . , ?s ),
s
удовлетворяющих двум условия: 1) 1 ? ?i ? 2; 2) ?i = r.
i=1
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 11

§ 3. Максимальные разрешимые подалгебры алгебры LSU (p, q)
Предложенный в предыдущих параграфах подход к описанию максимальных
разрешимых подалгебр алгебры LO(p, q) без изменений может быть перенесен
на алгебру LSU (p, q), p ? q > 0. Структура максимальной вполне приводимой
разрешимой подалгебры алгебры LSU (p, q) выясняется в следующем предложении.
Предложение 3.1 [1]. Пусть L — максимальная вполне приводимая разрешимая
подалгебра алгебры LSU (p, q). Тогда она SU (p, q)-сопряжена подалгебре
? ?
i?1 0
? ?
i?2
? ?
? ?,
..
? ?
.
0 i?p+q

где ?i — вещественное число и ?1 + ?2 + · · · + ?p+q = 0.
Изучим вначале максимальные и максимальные разрешимые подалгебры алге-
бры LU (p, q), p ? q > 0. Пусть L — максимальная подалгебра класса r алгебры
LU (p, q) и N0 = T1 + Tp+q?r+1 , . . . , Tr + Tp+q — максимальное вполне изотро-
пное подпространство, инвариантное относительно L. Ортогональное дополнение
к N0 совпадает с N = N0 ? N1 , N1 = Tr+1 , . . . , Tp+q?r , и потому N инвариантно
относительно L. Подалгебра S = {J ? L | [J, N ] = 0} является идеалом алгебры L.
Каждый элемент J ? L можно представить в виде
? ?? ?
J1 0 ?J1 0 J2 0
J =? 0 0 0 ? + ? J2 0 ?J2 ? +
J1 0 ?J1 0 J2 0
? (3.1)
?? ?
000 00 J4
? 0 J3 0 ? + ? 0 0 ?,
0
+
? ?
J4 0 J4 ? J4
000
?
где J1 = ?J1 , J3 ? LU (p ? r, q ? r), J4 ? gl(r, C), J2 = (J21 , J22 ), J21 — r ? (p ? r)-
матрица, J22 — r ? (q ? r)-матрица,
?
?J21
J2 = .
J22
(n?2r)
? — множество всех комплексных r ? (n ? 2r)-матриц. Это мно-
Пусть Vr
жество превращается в алгебру Ли, если положить [X, Y ] = 0 для любых двух
? (n?2r) . Если LU (p ? r, q ? r) ? gl(r, C) — прямая сумма подал-
элементов X, Y ? Vr
? (n?2r) , то
гебр LU (p ? r, q ? r) и gl(r, C), B ? LU (p ? r, q ? r), D ? gl(r, C), X ? Vr
положим [B + D, X] = X · B + D · X. Нетрудно убедиться, что относительно этого
умножения мы получаем алгебру Ли, являющуюся полупрямой суммой пространс-
? (n?2r) и алгебры LU (p ? r, q ? r) ? gl(r, C). Полученную алгебру обозначим
тва Vr
? (n?2r) ).
через JU (Vr
? (n?2r) ) по правилу
Определим отображение ? : L > JU (Vr
?
?(J) = (J2 , J3 , J4 ) ? JU (Vr(n?2r) ). (3.2)
12 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ? — гомоморфизм алгебры L на
? (n?2r) ) с ядром S, состоящим из матриц вида
алгебру JU (Vr
? ?
J1 0 ?J1
?0 0 0 ?.
J1 0 ?J1

Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорему 3.1. Пусть L — максимальная подалгебра класса r > 0 алгебры
? (n?2r) ).
LO(p, q). Тогда фактор-алгебра L/S изоморфна алгебре JU (Vr
Разложение (3.1) означает, что соответствие J - (J1 , J2 , J3 , J4 ) является взаим-
но однозначным между элементами подалгебры L и элементами декартова прои-
? (n?2r) ?LU (p?r, q?r)?gl(r, C) (рассматриваемыми как множе-
зведения LU (r)? Vr
ства). В этом смысле будем говорить, что L разлагается в декартово произведение
? (n?2r) , LU (p ? r, q ? r), gl(r, C), и записывать это так:
LU (r), Vr
?
L = LU (r) ? Vr(n?2r) ? LU (p ? r, q ? r) ? gl(r, C).

Максимальные разрешимые подалгебры класса r алгебры LU (p, q) описываются
такой теоремой.
Теорема 3.2. Пусть L — максимальная разрешимая подалгебра класса r алге-
? (n?2r) +
бры LU (p, q). Тогда S ? L и фактор-алгебра L/S изоморфна алгебре Vr ?
(n?2r)
?
(?1 ? ?2 ) ? JU (Vr ), где ?1 — максимальная вполне приводимая разре-
шимая подалгебра алгебры LU (p ? r, q ? r), ?2 — максимальная разрешимая
подалгебра алгебры gl(r, C). Изоморфизм L/S ? Vr
(n?2r)
=? + (?1 ? ?2 ) индуциру-
?
ется гомоморфизмом (3.2).
Таким образом, максимальная разрешимая подалгебра L класса r алгебры
LU (p, q), рассматриваемая как множество, разлагается в декартово произведение
?
L = LU (r) ? Vr(p+q?2r) ? ?1 ? ?2 .

Если L — некоторая другая максимальная разрешимая подалгебра класса r ал-
гебры LU (p, q) и

? (p+q?2r) ? ? ? ?
L = LU (r ) ? Vr 1 2

— соответствующее разложение, то справедливо следующее предложение.
Предложение 3.2. Алгебры L и L U (p, q)-сопряжены тогда и только тогда,
когда r = r , ?1 и ?1 U (p ? r, q ? r)-сопряжены, ?2 и ?2 GL(r, C)-сопряжены.
Так как gl(r, C) содержит только одну максимальную разрешимую подалгебру
с точностью до GL(r, C)-сопряженности и существует только одна максимальная
вполне приводимая разрешимая подалгебра алгебры LU (p ? r, q ? r), то из предло-
жения 3.2 и теоремы 3.2 вытекает, что LU (p, q) содержит только одну максималь-
ную разрешимую подалгебру класса r для любого r, 0 < r ? q. Эта алгебра имеет
следующий вид:
?
L = LU (r) ? Vr(n?2r) ? ?1 ? ?2 , (3.3)
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 13

где
? ? ? ?
?
i?1 0 ?1
? ? ? ?
.. ..
?i ? R,
?1 = ? ?, ?2 = ? ?.
. .
0 i?p?r,q?r 0 ?

Теперь уже нетрудно получить все q + 1 максимальных разрешимых подалгебр ал-
гебры LSU (p, q). Действительно, каждой максимальной разрешимой подалгебре L
алгебры LU (p, q), определяемой равенством (3.3), соответствует точно одна макси-
мальная разрешимая подалгебра M алгебры LSU (p, q). Если J = (J1 , J2 , J3 , J4 ) ?
L общий элемент подалгебры L, то J ? M тогда и только тогда, когда Tr J3 +
?
Tr (J4 ? J4 ) = 0, где Tr J3 — след матрицы J3 .

§ 4. Подалгебры конечномерных алгебр Ли с абелевым радикалом
В настоящем параграфе мы рассматриваем конечномерную алгебру Ли JO(V ),
являющуюся полупрямой суммой нетривиального коммутативного идеала V и по-
?
лупростой подалгебры LO(V ). Пусть ? — проектирование JO(V ) на LO(V ), L —
? ?
такая подалгебра JO(V ), что ?(L) = L. Если L сопряжена с помощью внутрен-
него автоморфизма алгебры JO(V ) алгебре N + L, где N — L-инвариантное
?
? будем называть расщепляемой в алгебре
подпространство пространства V , то L
? ?
JO(V ). Если любая подалгебра L ? JO(V ), удовлетворяющая условию ?(L) = L,
является расщепляемой, то будем говорить, что подалгебра L ? LO(V ) обладает
только расщепляемыми расширениями в алгебре JO(V ). Примерами таких подал-
гебр являются все полупростые подалгебры. В данном параграфе в классе всех
подалгебр алгебры LO(V ) выделены вполне приводимые подалгебры и изучены их
свойства. Подалгебра L ? LO(V ) называется вполне приводимой, если каждое L-
инвариантное подпространство пространства V обладает L-инвариантным прямым
дополнением. Известно, что если JO(V ) является алгеброй Евклида V + LO(n),
?
то все подалгебры ортогональной алгебры LO(n) вполне приводимы. При изуче-
нии структуры произвольной подалгебры алгебры JO(V ) необходимо существенно
использовать свойства вполне приводимых подалгебр алгебры JO(V ). В настоя-
щем параграфе доказана следующая теорема: вполне приводимая подалгебра L
алгебры LO(V ) обладает только расщепляемыми расширениями в алгебре JO(V )
в том и только том случае, когда выполняется одно из следующих условий: 1) L —
полупроста; 2) L аннулирует только нулевое подпространство пространства V . Эта
теорема и другие результаты о вполне приводимых подалгебрах, рассмотренные в
следующих параграфах, позволяют изучить структуру произвольной подалгебры
?
L ? JO(V ), проекция которой на LO(V ) вполне приводима. Отметим, что ча-
стные случаи сформулированной теоремы рассматривались в [7–10].
Пусть L ? LO(V ) и X — произвольный элемент V . Пересечение всех L-
инвариантных подпространств, пространства V , содержащих X, будем называть L-
подпространством, порожденным X. Если B — одномерная подалгебра алгебры
LO(V ), то она определяет подпространства Ker B = {X ? V | [B, X] = 0} и
Im B = {X ? V | [B, Y ] = X, Y ? V }.
Предложение 4.1. Пусть L — вполне приводимая коммутативная подалгебра
алгебры LO(V ), B — произвольный элемент подалгебры L. Тогда V = Ker B ?
Im B.
14 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Доказательство. Если Y ? Ker B, D ? L, то используя тождество Якоби

[[B, D], Y ] + [[D, Y, B] + [[Y, B], D] = 0

и соотношения [B, D] = 0, [Y, B] = 0, получаем, что [[D, Y ], B] = 0, а значит,
[D, Y ] ? Ker B. Следовательно, [L, Ker B] ? Ker B. Так как L вполне приводима,
то V = Ker B ?V , где V инвариантно относительно L. Поэтому [B, V ] = [B, V ] ?
V . Отсюда вытекает, что [B, V ] = V , а значит, Im B = V . Следовательно,
V = Ker B ? Im B. Предложение доказано.
Предложение 4.2. Пусть L — вполне приводимая коммутативная подалгебра
алгебры LO(V ), B — ненулевой элемент подалгебры L. Тогда пространство
Im B разлагается в прямую сумму подпространств, неприводимых и инвари-
антных относительно подалгебры B .
Доказательство. Поскольку L вполне приводима, то пространство V разлагается
в прямую сумму V = V1 ? · · · ? Vt L-неприводимых инвариантных подпространств
Vi . Размерность dim Vi каждого из подпространств Vi равна 1 или 2. Пусть Ji =
{X ? Vi | [B, X] = 0}. Нетрудно убедиться, что подпространство Ji инвариантно
относительно L и в силу неприводимости Vi Ji = 0 или Ji = Vi . В первом случае
Vi ? Im B, во втором — Vi ? Ker B. Отсюда вытекает, что подпространство
Im B является прямой суммой всех тех подпространств Vi , каждое из которых,
содержится в Im B.
Рассмотрим произвольное подпространство Vi , содержащееся в Im B. Если
dim Vi = 1, то Vi B-неприводимо. Пусть далее dim Vi = 2 и подпространство Vi B-
приводимо. Тогда существует такой базис пространства Vi , относительно которого

<< Предыдущая

стр. 3
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>