<< Предыдущая

стр. 30
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?11 + ?22 + 3?2 ?2 = ?F (?),
18)
?1
?11 + ?22 + 2?2 ?2 = ?F (?),
19)
?1
?11 ? ?22 ? 2?2 ?2 = F (?),
20)
4 ?1 ? ?2 ?22 ? 4?1 ?12 ? 6?2 = F (?),
2
21)
4 ?2 ? ?1 ?22 + 4?1 ?12 + 10?2 = ?F (?),
2
22)
4 ?2 ? ?1 ?22 + 4?1 ?12 + 8?2 = ?F (?),
2
23)
?2 ?1
?2 ?11 + ?22 + ?2 ?2 = ?F (?),
24)
?2 ?1
4e2 ?2 ?11 + ?22 + ?2 ?2 = ?F (?),
25)
?2 ?1
4e2 ?2 ?11 + ?22 + ?2 ?2 = ?F (?).
26)
Остальные двумерные инварианты редуцируют уравнение (2.1) к следующим
ОДУ
?1
?22 + ?2 ?2 = ?F (?),
27)
?11 = ?F (?),
28)
?11 = ?F (?),
29)
?1
?22 + ?2 ?2 = ?F (?),
30)
?11 = ?F (?),
31)
?1
?22 + 2?2 ?2 = ?F (?),
32)
?1
?22 + 2?2 ?2 = ?F (?).
33)
2.3. Дифференциальные уравнения в трехмерном пространстве. Рассмо-
трим анзацы вида
(2.9)
u(x) = ?(?1 , ?2 , ?3 ),
где ?1 (x), ?2 (x), ?3 (x) — инварианты подгрупп группы P (1, 4), выписанные в
табл. 3. Подставляя (2.9) в (2.1), получаем следующие трехмерные ДУЧП (?ik =
? 2 ?/??i ?k , i, k = 1, 2, 3):
?1
?11 ? ?22 ? ?33 ? ?2 ?2 = F (?),
1)
?11 + ?22 + ?33 = ?F (?),
2)
?11 + ?22 + ?33 = ?F (?),
3)
?11 ? ?22 ? ?33 = F (?),
4)
?1
?11 ? ?22 ? ?33 ? 2?2 ?2 = F (?),
5)
?1 ?1
?11 ? ?22 ? ?33 + ?1 ?1 ? ?2 ?2 = F (?),
6)
?1
?11 + ?22 + ?33 + 2?3 ?3 = ?F (?),
7)
?1
?11 ? ?22 ? ?33 + ?1 ?1 = F (?),
8)
?1 ?1
?11 ? ?22 ? ?33 ? ?2 ?2 ? ?3 ?3 = F (?),
9)
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 123

?1
?11 ? ?22 ? ?33 ? ?2 ?2 = F (?),
10)
?1
?11 + ?22 + ?33 + ?1 ?1 = ?F (?),
11)
4 ?1 ? ?2 ?22 ? ?33 ? 4?1 ?12 ? 6?2 = F (?),
2
12)
4 ?2 ? ?1 ?22 + ?33 + 4?1 ?12 + 8?2 = ?F (?),
2
13)
?1
4 ?1 ? ?2 ?22 ? ?33 ? ?3 ?3 ? 4?1 ?12 ? 6?2 = F (?),
2
14)
?2 ?1
4e2 ?2 ?11 + ?22 + ?33 + ?2 ?2 = ?F (?),
15)
?2 ?1
4e2 ?2 ?11 + ?22 + ?33 + ?2 ?2 = ?F (?),
16)
1 ?2
?2 ?1 ?1
e?2 ?2 + ?3 ?11 + ?22 + ?33 + ?2 ?2 + ?3 ?3 = ?F (?),
17)
4
?2 ?1 ?1 ?1
?2 ?11 + ?22 + ?33 + ?2 ?2 + 2?3 ?3 ? 2d?1 ?13 ?3 = ?F (?),
18)
?2 ?2 ?1 ?1
e?2 ?3 + ?2 ?11 + ?22 + ?2 ?2 ? ?33 ? ?3 ?3 = ?F (?).
19)
Остальные трехмерные инварианты редуцируют уравнение (2.1) к следующим
двумерным ДУЧП:
?11 + ?22 = ?F (?),
20)
?11 + ?22 = ?F (?),
21)
?11 + ?22 = ?F (?),
22)
?1
?22 + ?33 + ?2 ?2 = ?F (?),
23)
?1
?22 + ?33 + ?2 ?2 = ?F (?),
24)
?2 ?2 ?1
?2 + ?3 ?11 + ?22 + ?2 ?2 = ?F (?).
25)
2.4. Дифференциальное уравнение в четырехмерном пространстве. Рас-
смотрим анзацы вида:
(2.10)
u(x) = ?(?1 , ?2 , ?3 , ?4 ),
где ?1 (x), . . . , ?4 (x) — инварианты подгрупп группы P (1, 4), выписанные в табл. 4.
Подставляя (2.10) в (2.1), получаем следующие четырехмерные ДУЧП (?ik =
? 2 ?/??i ?k , i, k = 1, 2, 3, 4):
?11 + ?22 + ?33 + ?44 = ?F (?),
1)
?11 ? ?22 ? ?33 ? ?44 = F (?),
2)
?1
?11 ? ?22 ? ?33 ? ?44 ? ?2 ?2 = F (?),
3)
?1
?11 + ?22 + ?33 ? ?44 ? ?4 ?4 = ?F (?),
4)
4 ?1 ? ?2 ?22 ? ?33 ? ?44 ? 4?1 ?12 ? 6?2 = F (?),
2
5)
1 ?2
?2 ?1 ?1
e?2 ?2 + ?3 ?11 + ?22 + ?33 ? ?44 + ?2 ?2 + ?3 ?3 = ?F (?),
6)
4
?2 ?2 ?2 ?1 ?1
e ?3 + ?2 ?11 + ?22 ? ?33 + ?44 + ?2 ?2 ? ?3 ?3 = ?F (?),
7)
?1 ?1 ?1
?2 + ?3 ?11 + ?22 + 4?3 ?34 + 4 ?4 ? ?3 ?44 + ?2 ?2 ?
2
8)
?2?4 = ?F (?),
Остальные четырехмерные инварианты редуцируют уравнение (2.1) к следующим
трехмерным ДУЧП:
?11 + ?22 + ?33 = ?F (?),
9)
?11 + ?22 + ?33 = ?F (?),
10)
124 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

§ 3. Некоторые точные решения релятивистского уравнения эйконала
Релятивистское уравнение эйконала или релятивистское уравнение Гамильто-
на
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u ?u ?u
? ? ? ? = m2 (3.1)
?xµ ?xµ ?x0 ?x1 ?x2 ?x3
является одним из основных в математической физике. Не уменьшая общности,
можно положить m = 1 и рассмотреть уравнение
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u ?u ?u
? ? ? ? (3.2)
= 1.
?xµ ?xµ ?x0 ?x1 ?x2 ?x3
В работе [7] показано, что максимальной локальной группой инвариантности
уравнения (3.2) является конформная группа C(1, 4) в (4+1)-мерном пространстве
Пуанкаре–Минковского с метрикой
s2 = x? x? ? g ?? x? x? = x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? u2 ,
0 1 2 3

где ?, ? = 0, 1, . . . , 4; x4 = u; g ?? = g?? = {1, ?1, ?1, ?1, ?1}??? , ??? — символ
Кронекера.
Базисные элементы алгебры инвариантности имеют следующий вид [7]:
? ? ? ?
, P1 = ? , P2 = ? , P3 = ?
P0 = ,
?x0 ?x1 ?x2 ?x3
(3.3)
?
P4 = ? , Mµ? = ?(xµ P? ? x? Pµ ).
?u
Среди инвариантов, выписанных в § 1, рассмотрим только те, которые удовле-
творяют необходимым условиям существования инвариантных решений [13].
На основании одномерных инвариантов получены следующие решения уравне-
ния (3.2):
x2 ? u2 = 0, u = x0 ? C,
1) 5)
0
x2 ? x2 ? u2 = 0, x2 + u2 = 0,
2) 6)
0 3 3
(3.4)
x2 ? x2 ? x2 ? u2 = 0,
x2 + x2 + x2 + u2 = 0,
3) 7)
1 2 3 0 1 3
u = C ? x0 , u ? x0 + x2 + x2 = 0.
2 2
4) 8) 1 2

3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Использование некото-
рых двумерных инвариантов редуцирует уравнение эйконала к ОДУ. Для этого
рассмотрим анзацы вида [2]
(3.5)
u = f (x)?(?) + g(x),
где f (x) и g(x) — известные функции, ?(?) — некоторая неизвестная функция,
подлежащая определению. Подставляя (3.5) в уравнение (3.2), получаем ОДУ для
функции ?(?). Полученные результаты представлены таблицей 6.
Решения уравнений (1)–(4) (см. таблицу № 6) имеют вид:
1) ?(?) = C,
(? = ±1),
2) ?(?) = i?? 1/2 + C,
3) ?(?) = ?? + C,
4) ?(?) = i?? + C.
Подставляя найденные ?(?) в (3.5), получаем точные решения уравнения эй-
конала.
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 125

Таблица № 6
Редуцированные
№ Инварианты ?, ?1 f (x) g(x)
уравнения
?x0
x2 + x2 + x2 , x0 + u
1. 1
1 2 3
x1 + x2 + x2 , x0 ? u ?1
2 2
2. x0
3
?x0
2 2
3. x1 + x2 , u + x0 1
?x0
4. x3 , x0 + u 1 (1)
? (?) = 0
?x0
5. x2 , x0 + u 1
x3 , x0 ? u ?1
6. x0
x2 + x2 , x0 ? u ?1
7. x0
1 2

x2 + x2 + x2 ? x2 , u
8. 1 0
1 2 3 0
1
[? (?)]2 ? = ?
x2 + x2 + x2 , u

<< Предыдущая

стр. 30
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>