<< Предыдущая

стр. 31
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

9. 1 0 (2)
1 2 3
4
x ? 12 + x2 , u
10. 1 0
2

[? (?)]2 = 1
11. x0 , u 1 0 (3)
[? (?)]2 = ?1
12. x3 , u 1 0 (4)

Рассмотрим анзацы вида [2, 5]
(3.6)
F (u) = f (x)?(?) + g(x),
где f (x) и g(x) — известные функции, ?(?) — некоторая неизвестная функция,
подлежащая определению. В частности, если F (u) = u2 , получаем следующие
результаты:
Таблица № 7
Редуцированные
№ Инварианты ?, ?1 f (x) g(x)
уравнения
x3 , x2 ? u2 ?1 x2
1. 0 0
?x2 (? )2 ? 4? = 0
x0 , x2 + u2
2. 1 (1)
3 3
?x1 ? x2 ? x2
x0 , x2 + x2 + x2 + x2 2
3. 1
1 2 3 4 2 3

?x2
x2 + x2 , x2 + u2
4. 1
1 2 3 3
x1 + x2 , u2 + x2 ? x2 ?x3 + x2
2 2 2
(? )2 ? + ? = 0
5. 1 (2)
3 0 0

x3 , u2 + x2 + x2 ? x2 x2 ? x2 ? x2
6. 1
2 1 0 0 1 2
x2 , u + x3 ? x0 x0 ? x3
2 2 2 2 2
(? )2 + 4? = 0
7. 1 (3)
x2 + x2 , x2 ? u2 ?1 x2
8. 1 2 0 0
x1 + x2 + x2 , x2 ? u2 ?1 (? )2 ? ? ? = 0
2 2
x2
9. (4)
3 0 0

Решения уравнений (1)–(4) имеют вид:
?(?) = (?? + C)2 ,
(1)
?(?) = (i?? 1/2 + C)2 ,
(2)
?(?) = (i?? + C)2 ,
(3)
?(?) = (?? 1/2 + C)2 , (? = ±1).
(4)
126 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

Подставляя найденные ?(?) в (3.6) получаем точные решения уравнения эйко-
нала.
Для инвариантов
x2 1
1/2
?
?1 = x2 + x2 , ?2 = arcsin ln(x0 + u) (d > 0)
1 2
d
x2 + x2
1 2

анзац имеет вид

x2
? ?(?1 ) ? x0 . (3.7)
u = exp d arcsin
x2 + x2
1 2

Подставляя (3.7) в уравнение (3.2), получаем:
d? i?
(? = ±1).
=
d?1 ?1
Общее решение этого уравнения имеет вид

?(?1 ) = i? ln ?1 ? ln C1 ,

тогда
?
C1 x2
? x0 .
u= exp d arcsin
1/2?id
x2 + x2
(x2 + x2 ) 1 2
1 2

Для инвариантов
1/2
?1 = x2 + x2
(1) ,
1 2
x2 x0
?2 = ln x2 ? u2 ? 2e arcsin + 2 arch ,
0
x2 ? u2
x2 + x2
1 2 0
1/2
?1 = x2 + x2
(2) ,
1 2
x2 x0
?2 = ln x2 ? u2 + 2e arcsin ? 2 arch (e > 0)
0
x2 ? u2
x2 + x2
1 2 0

решения уравнения эйконала ищем на основании следующих соотношений:
x2 x0
ln x2 ? u2 ? 2e arcsin + 2 arch
(1) = ?(?1 ),
0
x2 ? u2
x2 + x2
1 2 0
x2 x0
ln x2 ? u2 + 2e arcsin ? 2 arch
(2) = ?(?1 ).
0
x2 ? u2
x2 + x2
1 2 0

Тогда в обоих случаях получается уравнение
2
4e2
d?
+ 2 = 0,
d?1 ?1
общее решение которого задается формулой
2ie?
?(?1 ) = C ln ?1 .
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 127

Решения уравнения эйконала задаются неявно в виде формул

x2 ? u2 x2 x0
? 2e arcsin
0
+ 2 arch
(1) ln = 0,
ie?
x2 ? u2
x2 + x2
C (x2 + x2 ) 1 2 0
1 2
x2 ? u2 x2 x0
? 2 arch
0
(2) ln + 2e arcsin = 0.
ie?
x2 ? u2
x2 + x2
(x2 x2 )
C + 1 2 0
1 2

Для инвариантов

?2 = x2 + x2 ? 2x0 (x0 + u),
?1 = x0 + u, 1 2
?2 = x3 ? 2x0 (x0 + u),
2
(3.8)
?1 = x0 + u,
?2 = x2 + x2 + x2 ? 2x0 (x0 + u)
?1 = x0 + u, 1 2 3

рассмотрим анзацы вида

(3.9)
?2 = ?(?1 ).

С учетом (3.9) уравнение эйконала редуцируется к следующему ОДУ:

?1 ?1 + ?1 ? ?(?1 ) = 0.
2
(3.10)

Общее решение уравнения (3.10) имеет вид

? = (??1 + C1 )?1 .

На основании (3.9) получаются решения уравнения эйконала в неявном виде

(3.11)
?2 = (??1 + C1 )?1 ,

где ?1 , ?2 даются соотношениями (3.8).
Другие анзацы для рассмотренных ?1 и ?2 могут быть получены из соотноше-
ния

F (?1 , ?2 ) = 0.

3.2. Уравнения в двумерном пространстве. Использование некоторых тре-
хмерных инвариантов редуцирует уравнение эйконала к двумерным ДУЧП. С этой
целью рассмотрим анзацы вида:

(3.12)
u = f (x)?(?1 , ?2 ) + g(x).

Подставляя (3.12) в уравнение (3.2), получаем двумерные ДУЧП для функции
?(?1 , ?2 ). Полученные результаты подытожены в таблице 8.
Рассмотрим анзацы вида

(3.13)
F (u) = f (x)?(?1 , ?2 ) + g(x),

где f (x) и g(x) — известные функции, ?(?1 , ?2 ) — неизвестная функция, подлежа-
щая определению. В частности, если F (u) = u2 , получаем следующие результаты
(таблица 9).
128 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

Таблица № 8
Редуцированные
№ Инварианты ?, ?1 , ?3 f (x) g(x)
уравнения
?x0
1. x2 , x3 , x0 + u 1
x2 , x3 , x0 ? u ?1
2. x0
?x0 (?1 )2 + (?2 )2 = 0
3. x1 , x2 , x0 + u 1
1/2
?x0
x2 + x2
4. , x3 , x0 + u 1
1 2
1/2
, x3 , x0 ? u ?1
x2 + x2
5. 1 2

6. x2 , x3 , u 1 0
1/2
(?1 )2 + (?2 )2 = ?1
x2 + x2
7. , x3 , u 1 0
1 2

8. x0 , x3 , u 1 0
1/2
(?1 )2 ? (?2 )2 = 1
x0 , x2 + x2 + x2
9. ,u 1 0
1 2 3
1/2

<< Предыдущая

стр. 31
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>