<< Предыдущая

стр. 32
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x0 , x2 + x2
10. ,u 1 0
1 2


Таблица № 9
Редуцированные
№ Инварианты ?, ?1 , ?3 f (x) g(x)
уравнения
1/2
, x3 , x2 ? u2 ?1
x2 + x2 x2
1. 1 2 0 0
x2 , x3 , x0 ? u ?1 (?1 )2 + (?2 )2 ? 4? = 0
2 2
x2
2. 0

x1 , x2 , x2 + u2 ? x2 x2 ? x2 (?1 )2 + (?2 )2 + 4? = 0
3. 1
3 0 0 3
1/2
?x2 (?1 )2 ? (?2 )2 ? 4? = 0
x0 , x2 + x2 , x2 + u2
4. 1
1 2 3 3

Для инвариантов
1/2
?3 = x3 ? 2x0 (x0 + u),
?2 = x2 + x2
?1 = x0 + u, ,
1 2
?3 = x2 ? 2x0 (x0 + u), (3.14)
?1 = x0 + u, ?2 = x2 , 3
?3 = x2 + x2 ? 2x0 (x0 + u)
?1 = x0 + u, ?2 = x3 , 1 2
рассмотрим анзацы вида
(3.15)
?3 = ?(?1 , ?2 ).
На основании (3.15) уравнение эйконала редуцируется к следующему двумер-
ному ДУЧП:
4?1 ?1 ? (?2 )2 + 4 ?1 ? ?(?1 , ?2 ) = 0.
2


Рассмотрим трехмерные инварианты
1/2
?2 = x2 + x2
?1 = x3 , ,
1 2
(3.16)
x2 x0
?3 = ln x2 ? u2 ? 2e arcsin + 2 arch (e > 0)
0
x2 ? u2
x2 + x2
1 2 0
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 129

и
1/2
?2 = x2 + x2
?1 = x3 , ,
1 2
x2 x0
?3 = ln x2 ? u2 + 2e arcsin ? 2 arch (e > 0).
0
x2 ? u2
x2 + x2
1 2 0

Анзац (3.15) дает возможность редуцировать уравнение эйконала к следующе-
му ДУЧП:
?2
(?1 )2 + (?2 )2 + 4e2 ?2 = 0.

Трехмерные инварианты
1/2
?2 = x2 + x2
(1) ?1 = x0 + u, ,
1 2
x2 x3
(? = ±1),
?3 = arcsin +
?(x0 + u)
x2 + x2
1 2
1/2 1/2
?2 = x2 ? u2
?1 = x2 + x2
(2) , ,
1 2 0
x2 1 x0
? arch
?3 = arcsin (e > 0),
x2 ? u2
e
x2 + x2
1 2 0
(3.17)
1/2 1/2
?2 = u2 + x2 ? x2
?1 = x2 + x2
(3) , ,
1 2 3 0
x2 1
?
?3 = arcsin ln(x0 + u) (d > 0),
d
x2 + x2
1 2
1/2 1/2
?1 = x2 + x2 ?2 = x2 + u2
(4) , ,
1 2 3
1 x3 1 x2
?3 = arcsin + arcsin (e > 0)
2 e
x2 + u2 x2 + x2
3 1 2

с анзацем (3.15) дают возможность редуцировать уравнение эйконала к следую-
щим ДУЧП:
?2
(?2 )2 + ?2 + ?1 = 0,
2
(1)
?2 ?2
(?1 )2 ? (?2 )2 + ?1 + e?2 ?2 = 0,
(2)
?2 ?1
(?1 )2 + (?2 )2 + ?1 + 2d?1 ?2 ?2 = 0,
(3)
1 ?2
?2
(?1 )2 + (?2 )2 + e?2 ?1 + ?2 = 0.
(4)
4
Другие неявные анзацы для инвариантов (3.14), (3.16) и (3.17) могут быть полу-
чены из соотношения F (?1 , ?2 , ?3 ) = 0.
3.3. Уравнения в трехмерном пространстве. Использование некоторых че-
тырехмерных инвариантов редуцирует уравнение эйконала к трехмерным ДУЧП.
С этой целью рассмотрим анзацы вида:

(3.18)
u = f (x)?(?1 , ?2 , ?3 ) + g(x).

Подставляя (3.18) в уравнение (3.2), получаем трехмерные ДУЧП для функции
?(?1 , ?2 , ?3 ). Полученные результаты приведены в таблице 10.
130 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

Таблица № 10
Редуцированные
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 , ?4 f (x) g(x)
уравнения
?x0
1. x1 , x2 , x3 , x0 + u 1
x1 , x2 , x3 , x0 ? u ?1 (?1 )2 + (?2 )2 + (?3 )2 = 0
2. x0
3. x0 , x2 , x3 , u 1 0
1/2
(?1 )2 ? (?2 )2 ? ?3 )2 = 1
x0 , x2 + x2
4. , x3 , u 1 0
1 2

(?1 )2 + (?2 )2 + (?3 )2 = ?1
5. x1 , x2 , x3 , u 1 0

Для инвариантов ?1 = x1 , ?2 = x2 , ?3 = x3 , ?4 = x2 ? u2 анзац имеет вид:
0

u2 = x2 ? ?(?1 , ?2 , ?3 ).
0

В этом случае вместо уравнения эйконала получаем следующее:

(?1 )2 + (?2 )2 + (?3 )2 ? 4? = 0.

Четырехмерные инварианты

(1) ?1 = x1 , ?2 = x2 , ?3 = x0 + u,
?4 = x2 ? 2x0 (x0 + u),
3
1/2
, ?3 = x2 ? 2x0 (x0 + u),
?2 = x2 + x2
(2) ?1 = x0 + u, 1 2 3
x2 x3
?4 = arcsin + ,
?(x0 + u)
x2 + x2
1 2
1/2 1/2
?2 = x2 ? u2 ?3 = x2 + x2
(3) ?1 = x3 , , ,
0 1 2
x2 1 x0
? arch
?4 = arcsin , (e > 0),
x2 ? u2
e
x2 + x2
1 2 0
1/2 1/2
?2 = x2 + u2 ?3 = x2 + x2
(4) ?1 = x0 , , ,
3 1 2
1 x3 1 x2
?4 = arcsin + arcsin , (e = 0),
2 e
x2 + u2 x2 + u2
3 1

с анзацами вида ?4 = ?(?1 , ?2 , ?3 ) редуцируют уравнение эйконала к следующим
ДУЧП:
(?1 )2 + (?2 )2 ? ?3 ?3 ? 4?3 + 4?(?1 , ?2 , ?3 ) = 0,
2
(1)
?2 ?2
(?2 )2 + 4 ?3 ? ?2 (?3 )2 + 4?1 ?1 ?3 + ?1 + ?2 = 0,
2
(2)
?2 ?2
(?1 )2 ? (?2 )2 + (?3 )2 + e?2 ?2 + ?3 = 0,
(3)
1 ?2 ?2
(?1 )2 ? (?2 )2 ? (?3 )2 ? ?2 ? e2 ?3 = 0.
(4)
4
На основании инвариантов (1)–(4) более общие анзацы имеют вид:

F (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) = 0.
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 131

§ 4. О точных решениях уравнения эйконала с нулевой массой
Рассмотрим уравнение
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u ?u ?u
? ? ? ? (4.1)
= 0.
?xµ ?xµ ?x0 ?x1 ?x2 ?x3
В работе [5] доказано, что уравнение (4.1) инвариантно относительно бесконе-
чнопараметрической группы Ли. Инфинитезимальный оператор этой группы имеет
вид:
? ?
X = ? µ (x, u) + ?(x, u) , µ = 0, 1, 2, 3, ? = ?(u),
?xµ ?u (4.2)
? µ = ?bµ (u)x? x? + 2xµ b? (u)x? + cµ? (u)x? + dµ (u).
В этом параграфе приводим некоторые точные решения уравнения (4.1), полу-
ченные на основании некоторых инвариантов расщепляющихся подгрупп группы
P (1, 4).
4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Использование некото-
рых двумерных инвариантов дает возможность редуцировать уравнение (4.1) к
ОДУ. С этой целью рассмотрим анзацы вида (3.5)
u = f (x)?(?) + g(x).
Подставляя (3.5) в (4.1), приходим к ОДУ для функции ?(?). Полученные резуль-
таты приведены в таблице 11.
Таблица № 11
Редуцированные
№ Инварианты ?, ?1 f (x) g(x)
уравнения
x2 + x2 + x2 ? x2 , u
1. 1 0
1 2 3 0
2 2 2
2. x1 + x2 + x3 , u, 1 0
3. x0 , u 1 0 (1)
? (?) = 0

<< Предыдущая

стр. 32
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>