<< Предыдущая

стр. 33
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x2 + x2 , u
4. 1 0
1 2
5. x3 , u 1 0
?x0
x2 + x2 + x2 , x0 + u
6. 1
1 2 3
x1 + x2 + x2 , x0 ? u ?1
2 2
7. x0
3
1
?x0 (? )2 ? =
x2 + x2 , x0 + u
8. 1 (2)
1 2
4
x2 + x2 , x0 ? u ?1
9. x0
1 2

?x0
10. x3 , x0 + u 1
?x0 (? )2 = 1
11. x2 , x0 + u 1 (3)
x3 , x0 ? u ?1
12. x0

Решения уравнений (1)–(3) (см. таблицу 11) имеют вид:
?(?) = const,
(1)
?(?) = ?? 1/2 + C,
(2)
?(?) = ?? + C, (? = ±1).
(3)
132 В.И. Фущич, В.М. Федорчук, И.М. Федорчук

Учитывая найденные ?(?) и вид анзаца, получаем точные решения уравнения
(4.1).
4.2. Уравнения в двумерном пространстве. Использование некоторых тре-
хмерных инвариантов редуцирует уравнение (4.1) к двумерным ДУЧП. Для этого
рассмотрим анзацы (3.12)
u = f (x)?(?1 , ?2 ) + g(x).
Подставляя (3.12) в уравнение (4.1), получаем двумерные ДУЧП для функции
?(?1 , ?2 ). Результаты сведены в таблицу 12.

Таблица № 12
Редуцированные
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 f (x) g(x)
уравнения
?x0
1. x2 , x3 , x0 + u 1
x2 , x3 , x0 ? u ?1
2. x0
?x0 (?1 )2 + (?2 )2 = 1
3. x1 , x2 , x0 + u 1
1/2
?x0
x2 + x2
4. , x3 , x0 + u 1
1 2
1/2
, x3 , x0 ? u ?1
x2 + x2
5. x0
1 2

6. x2 , x3 , u 1 0
1/2
x2 + x2 (?1 )2 + (?2 )2 = 0
7. , x3 , u 1 0
1 2

8. x0 , x3 , u 1 0
1/2
(?1 )2 ? (?2 )2 = 0
x0 , x2 + x2 + x2
9. ,u 1 0
1 2 3
1/2
x0 , x2 + x2
10. ,u 1 0
1 2


4.3. Уравнения в трехмерном пространстве. Редуцируем уравнение (4.1) к
трехмерным ДУЧП. С этой целью воспользуемся подстановкой
u = f (x)?(?1 , ?2 , ?3 ) + g(x),
которая приводит уравнение (4.1) к трехмерным ДУЧП для функции ?(?1 , ?2 , ?3 ).
Результаты приведены в таблице 13.

Таблица № 13
Редуцированные
№ Инварианты ?1 , ?2 , ?3 , ?4 f (x) g(x)
уравнения
?x0
1. x1 , x2 , x3 , x0 + u 1
x1 , x2 , x3 , x0 ? u ?1 (?1 )2 + (?2 )2 + (?3 )2 = 1
2. x0
3. x0 , x2 , x3 , u 1 0
1/2
(?1 )2 ? (?2 )2 ? (?3 )2 = 0
x0 , x2 + x2
4. , x3 , u 1 0
1 2

(?1 )2 + (?2 )2 + (?3 )2 = 0
5 x1 , x2 , x3 , u 1 0
Подгрупповая структура обобщенной группы Пуанкаре 133

Воспользовавшись формулами размножения решений [5, 7] волнового уравне-
ния (2.1) и уравнения эйконала (3.2), по найденным нами частным решениям стро-
ятся многопараметрические семейства решений. Так, например, если u1 — частное
решение конформно-инвариантного уравнения
n+2 7
2u + ?uk = 0, для n = 5, (4.3)
k= =,
n?2 3
где n — размерность пространства, то новые решения u2 строятся по формуле:
2?n
u1 (x0 > x0 , x1 > x1 , x2 > x2 , x3 > x3 , x4 > x4 ),
u2 = ?
n (4.4)
xµ = ? ?1 (xµ + cµ x? x? ), ? = 1 ? 2c? x? + c? c? x? x? ,
cµ — произвольные параметры, задающие конформные преобразования. Формула
(4.4) задает не одно, а целое семейство частных решений нелинейного уравнения
(4.3).

1. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе, Теор. и мат. физика, 1970, 4, 360–382.
2. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
3. Фущич В.И., О симметрии частных решениях некоторых уравнений математической физики, В
кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев, Ин-т математи-
ки АН УССР, 1983, 4–23.
4. Фущич В.И., Серов Н.И., Штелень B.М., О некоторых точных решениях многомерных не-
линейных уравнений Даламбера, Лиувилля, Дирака и уравнения эйконала, В кн.: Теоретико-
групповые методы в физике, Т.2, М., Наука, 1983, 407–413.
5. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
3645.
6. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
7. Fushchych W.I., Shtelen V.M., The symmetry and sоmе exact solutions of relativistic eikonal
equations, Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, № 16, 498–502.
8. Федорчук В.М., Непрерывные подгруппы неоднородной группы де Ситтера P (1, 4), Препринт
78.18, Киев, Институт математики АН УССР, 1978, 36 с.
9. Федорчук В.М., Расщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4),
Укр. мат. журн., 1979, 31, № 6, 717.
10. Федорчук В.М., Нерасщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре
P (1, 4), Укр. мат. журн., 1981, 33, № 5, 696.
11. Федорчук В.М., Фущич В.И., О подгруппах обобщенной группы Пуанкаре, В кн.: Теоретико-
групповые методы в физике, Т.1, М., Наука, 1980, 61–66.
12. Fushchych W.I., Barannik A.F., Barannik L.F., Fedorchuk V.M., Continious subgroups of the Poi-
ncar? group P (1, 4), J. Phys. A: Math. Gen., 1985, 18, № 14, 2893–2899.
e
13. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 134–137.

Конформно-инвариантное обобщение
уравнения Дирака–Гейзенберга
и его точные решения
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ, Р.З. ЖДАНОВ

Рассмотрим следующее пуанкаре-инвариантное нелинейное обобщение уравне-
ния Дирака
? ? ? ?
? µ [i?µ + F1 ??µ ? + F2 ??4 ?µ ? + F3 (??µ ?)?4 + F4 (??4 ?µ ?)?4 ]?+
(1)
? ?
+F5 (??µ? ?)? µ? ? + F6 (??µ? ?)?4 ? µ? ? = (F7 + F8 ?4 )?,
? ?
где F1 , . . . , F8 — произвольные функции от ??, ??4 ?, ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3 , ?µ? =
4 (?µ ?? ? ?? ?µ ).
i

В настоящей работе мы выделим из этого множества уравнений такие уравне-
ния, которые инвариантны относительно масштабных преобразований

xµ = e? xµ , ? (x ) = ek? ?(x), k, ? = const (2)

и конформных преобразований (см., например, [1–5]):

xµ ? cµ x2
? (x ) = ?(x)(1 ? ?c?x)?(x),
xµ = ,
?(x) (3)
?(x) ? 1 ? 2cx + c2 x2 , cx ? c? x? , c2 ? c? c? , ? = 0, 1, 2, 3.

Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно масштабных преобразо-
ваний (2) тогда и только тогда, когда
?(1+2k)/4k ?(1+2k)/4k
? ? ? ?
F1 = ?1 (??µ ?)(?? µ ?) F2 = ?2 (??4 ?µ ?)(??4 ? µ ?)
, ,
?(1+2k)/4k ?(1+2k)/4k
? ? ? ?
F3 = ?3 (??µ ?)(?? µ ?) F4 = ?4 (??4 ?µ ?)(??4 ? µ ?)
, ,
(4)
?(1+2k)/4k ?(1+2k)/4k
? ? ? ?
F5 = ?5 (??µ? ?)(?? µ? ?) F6 = ?6 (??µ? ?)(?? µ? ?)
, ,
F7 = ?7 (??)?1/2k, F8 = ?8 (??)?1/2k,
? ?

??
а ?1 , . . . , ?8 произвольные функции, зависящие от ??/??4 ?.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что преобразования (2) оставляют уравне-
ние (1) инвариантным, если и только если выполняются условия:
? ? ??
e?(2k+1) FB (??e2k? , ??4 ?e2k? ) = FB (??, ??4 ?), B = 1, 2, . . . , 6,
(5)
? ? ??
e?(k+1) FC (??e2k? , ??4 ?e2k? ) = FC (??, ??4 ?), C = 7, 8.
Труды третьего международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Юрмала, 22–24
мая 1985 г., Москва, Наука, 1986, Т.1, С. 497–501.
Конформно-инвариантное обобщение уравнения Дирака–Гейзенберга 135

Общее решение этих функциональных соотношений с учетом известных тождеств
[5]
? ? ? ?
(??)2 + (??4 ?)2 ? (??µ? ?)(?? µ? ?) = 0,
? ? ? ?
(??)2 ? (??4 ?)2 ? (??4 ?µ ?)(??4 ?µ ?) = 0, (6)
? ? ? ?
(??µ ?)(?? µ ?) ? (??4 ?µ ?)(??4 ? µ ?) = 0

можно записать в виде (4).
Теорема 2. Уравнение (1) инвариантно относительно конформной группы
C(1, 3), если и только если функции F1 , . . . , F8 имеют вид (4) и k = ?3/2.
Доказательство. Поскольку конформная группа C(1, 3) содержит расширенную
?
группу Пуанкаре P (1, 3) = {P (1, 3), D} (D — обозначает группу масштабных пре-
образований (2)), то для доказательства необходимости можно воспользоваться
результатом предыдущей теоремы. Далее непосредственной проверкой можно убе-
диться, что преобразования (3) оставляют инвариантным уравнение (1) с функци-
ями (4) только при k = ?3/2.
?
Следствие. Если F7 = ?(??)1/3 , а все остальные FA равны нулю, то уравнение
(1) совпадает с уравнением Дирака–Гюрши [3]:

?
i?? ? ?(??)1/3 ? = 0. (7)

В том случае, когда F4 = ?[(??µ ?)?? µ ?]?1/3 , а все остальные FB равны нулю,
? ?
мы получаем конформно-инвариантное уравнение
?
(??µ ?)? µ
(8)
i?? + ? ? ? = 0,
?
[(??? ?)(?? ? ?)]1/3

которое можно рассматривать как обобщение нелинейного уравнения Дирака–
Гейзенберга [4]:
?
i?? + ?(??µ ?)? µ ? = 0. (9)

Как известно [4], уравнение (9) неинвариантно относительно конформных пре-
образований.
Воспользуемся конформной симметрией уравнения (8) для построения его то-
чных решений. Следуя [6,1], решения ищем в виде:

? = ?(?x), ?x ? ? ? x? , ? ? = const — трансляционно-инвариантные, (10)

?x ?x

<< Предыдущая

стр. 33
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>