<< Предыдущая

стр. 34
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

— конформно-инвариантные. (11)
?= ?
(x? x? )2 x? x?

Подстановка этих выражений в (8) приводит к следующей системе обыкновен-
ных дифференциальных уравнений:

(??µ u)? µ u
du u
(12)
i?? +? = 0,
[(??? u)(?? ? u)]1/3
d? u u
136 В.И. Фущич, В.М. Штелень, Р.З. Жданов

, ? = ? для ?, ? = ?? для ?. В зави-
?x
где u = ?(?), ? = ?x или ?(?); ? = x? x?
??µ ?
?
симости от ? получаем (? — постоянный спинор, ?µ = ):
[(??? ?)(?? ? ?)]1/3
?

u = ei?? ?,
(а) Im ? = 0,
?3/2
u = c + 2 µ?
(б) Re ? = 0, µ = Im ?,
?,
3

(в) Im ? Re ? = 0, u = (f1 + if2 )?, ? = ?1 + i?2 ,
f1 = ± (w ? 2v)1/2 + (w + 2v)1/2 , (13)
f2 = ? (w ? 2v)1/2 ? (w + 2v)1/2 ,
1/2
dv ?2
c1 ? 2 v 2
= 2?1 ? + c2 , w= .
2/3 ?1
c1 ? 2 ?2 v 2
?1

Замечание. Покажем, что конформно-инвариантный анзац (11) можно также по-
лучить из трансляционно-инвариантного (10) с помощью процедуры размножения
решений. Как показано в [1, 2], формула генерирования решений с помощью кон-
формных преобразований (3) имеет вид
1 ? ?x?c xµ ? cµ x2
?new (x) = ?old (x ), xµ = ,
? 2 (x) ?(x) (14)
?(x) ? 1 ? 2cx + c2 x2 , c2 ? c? c? , x2 ? x? x? .
Применяя (14) при c0 = 1, c1 = c2 = c3 = 0 к (10) с последующим переходом от
x0 к x0 +1 (в силу инвариантности уравнения относительно трансляций), получаем
(11).
Применим теперь процедуру размножения решений к конформно-инвариантно-
му решению (11), (13а)
?x ?x ??µ ?
?
exp ?i? ? (15)
?(x) = ?, ?µ = .
(x? x? )2 [(??? ?)(?? ? ?)]1/3
x x? ? ?
Совершив над (15) преобразование трансляций xµ > xµ +aµ (aµ = const), получим
другое семейство решений
?x + ?a ?x + ?a
exp ?i? 2
?(x) = ?,
(x2 2 )2 x + 2ax + a2
+ 2ax + a
(16)
??µ ?
?
?µ = .
[(??? ?)(?? ? ?)]1/3
? ?
Это семейство замечательно тем, что оно уже неразмножается с помощью пре-
образований группы C(1, 3). Убедимся в этом. Очевидно, что (16) неразмножимо
с помощью трансляций. Применяя к (16) формулы (14), получаем
? ?
?x??cx2 ?x??cx2
? + ?a ?
1 ? ?x?c + ?a
?(x,c) ?(x,c)
2 exp ??i? 2
?(x) = 2 ?,
a + 2 ax?acx +x ?
2 2
? (x, c) 2 + 2 ax+acx2 +x2
a ?(x,c)
(17)
?(x,c)

??µ ?
?
?(x, c) = 1 ? 2cx + c2 x2 , ?µ = .
[(??? ?)(?? ? ?)]1/3
? ?
Конформно-инвариантное обобщение уравнения Дирака–Гейзенберга 137

Легко видеть, что (17) можно переписать в виде (16), если совершить замену
параметров
aµ ? cµ a2 1 ? ?c?a
aµ > aµ = ? ?>?=
? , ? ,
? 2 (a, c)
?(a, c)
(18)
??
??µ ?
?
?
?(a, c) = 1 ? 2ac + a2 c2 , ?µ > ?µ = .
? ? ?)(?? ? ?)]1/3
??
[(?? ? ?
?
Неразмножимость (16) остальными преобразованиями группы C(1, 3) вполне оче-
видна.
В заключение отметим, что мы использовали симметрию для получения то-
чных решений нелинейного уравнения Дирака [1, 2, 11], нелинейных уравнений
квантовой электродинамики [7], уравнений Янга–Миллса [8] и некоторых ска-
лярных нелинейных уравнений, таких, как Лиувилля, эйконала, Монжа–Ампера,
Гамильтона–Якоби [6, 9, 10, 11].

1. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A, 16, 1983, 271.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., ДАН СССР, 1983, 269, № 1, 88.
3. Gursey F., Nuovo Cim., 1956, № 1, 88.
4. Гейзенберг В., Введение в единую полевую теорию элементарных частиц, М., Мир, 1968, 239 с.
5. Finkelstein R., Fronsdal С., Kaust P., Phys. Rev., 1956, 103, 5.
6. Фущич В.И., В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1981, 6.
7. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Phys. Lett. B, 1983, 128, 215.
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Lett. Nuovo Cim., 1983, 38, 37.
9. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, 498.
10. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A, 1983, 16, 3645.
11. Фущич В.И., Серов Н.И., Штелень В.М., В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, М.,
Наука, 1983, Т.2, 407.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 138–140.

О нелинейном галилей-инвариантном
обобщении уравнений Ламе
В.И. ФУЩИЧ, С.Л. СЛАВУЦКИЙ

Уравнение Ламе

L = 2 + ? grad div, (1)
Lu = 0,

является основным уравнением линейной теории упругости. В (1) 2 — оператор
Даламбера, ? = const, u = {u1 , u2 , u3 } — вектор смещения точек упругой среды.
В [1] обращено внимание на следующее: уравнение Ламе не инвариантно ни
относительно преобразований Галилея

(2)
x = x + vt, u = u + v, t = t,

где v — вектор-параметр преобразования (скорость одной инерциальной системы
отсчета относительно другой), ни относительно преобразований Лоренца. Изве-
стные нелинейные обобщения уравнения Ламе также не обладают этим свойством.
В связи с этим возникает следующая задача [1]: обобщить уравнение (1) таким
образом, чтобы оно было инвариантно относительно преобразований (2). В насто-
ящей работе эта задача решена, т.е. построены нелинейные уравнения в частных
производных, инвариантные преобразованиям Галилея (2). Линейная часть в этих
уравнениях совпадает с уравнением Ламе (1).
Рассмотрим уравнение

(3)
Lu + F (u, u, u, x) = 0,
1 2

где
?ua ? 2 ua
x0 ? t,
u= , u= , a = 1, 2, 3, µ, ? = 0, 1, 2, 3,
?xµ ?xµ ?x?
1 2

F — произвольная дважды дифференцируемая вектор-функция, которую можно
представить в виде

F i = Aµ? (u)ui + B? (u)u? + C µ (u)ui + Dµ (u)uµ + E(u)ui ,
µ
µ? µ
µi i
(4)
u = {u, u0 }, u0 ? 1, i = 1, 2, 3, µ = 0, 1, 2, 3.
Всюду по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, нижний ин-
декс у компонент 4-вектора u означает дифференцирование по соответствующей
переменной. Тензорные коэффициенты в (4) представим в виде

Aµ? (u) = aµ? u? u? , B? (u) = bµ u? u? ,
µ
C µ (u) = cµ u? ,
?
?? ???
(5)
Dµ (u) = dµ? u? , E = e, ?, ? = 0, 1, 2, 3,
Доклады Академии наук СССР, 1986, 237, № 2, C. 320–323.
О нелинейном галилей-инвариантном обобщении уравнений Ламе 139

где aµ? , bµ , dµ? , e — произвольные дважды дифференцируемые тензорные фун-
?? ???
кции, зависящие только от |u|.
Теорема 1. Уравнение (3) при условиях (4), (5) инвариантно относительно
преобразований Галилея (2), если
?u
F = ?2(u · ?) + {u · (u · ?)}u. (6)
?t
Доказательство. Воспользуемся лиевским критерием инвариантности уравнения
(3) относительно преобразований (2):
(7)
Ga (Lu + F )|Lu+F =0 = 0, a = 1, 2, 3,
2
где
? ? ? ?
? ? ub b ? 2ub
Ga = x0 , b = 1, 2, 3,
a aµ
?ub
?ua
?x0 ?u0
2 0µ

есть дважды продолженный (см., например, [2]) оператор
p ?
? (8)
Ga = x0 .
?ua
?xa
Оператор (8) порождает преобразования (2).
Применяя критерий (7) к уравнению (3) и учитывая (4), (5), получим для
коэффициентов в (5) следующие условия:
aµ? = aµ? ,
a00 + 1 = ? µ, ?, ?, ? = 0, 1, 2, 3,
?? ?? ??
µ=0 ? µ=0 ?=0

aµ? = a?µ = aµ? = a?µ ,
c0 = ? cµ ,
? ? ?? ?? ?? ??
µ=0

bµ = dµ? = e = 0, aµ? = 0, µ ? ? = ? ? ?,
??? ??

?aµ? ?cµ
??
= ? = 0, cµ = 0, µ = ?.
?
?u ?u
Отсюда следует, что уравнение (3) может быть записано в виде
Lui + C1 ui ? 2(C1 + 1)ua ui + (C1 + 1)ua ub ui + C2 ui ? C2 ua ui = 0,
00 0a ab 0 a

где i = 1, 2, 3; C1 , C2 — произвольные постоянные. В частности, при C1 = C2 = 0
имеем
2ui + ?ua ? 2ua ui + ua ub ui = 0,
ai 0a ab

что совпадает с (3), (6) в покомпонентной записи.
Рассмотрим теперь случай, когда вектор F явно зависит от координат x. Оче-
видно, что такие уравнения (3) не будут инвариантны относительно пространс-
твенных сдвигов. В этом случае справедлива
Теорема 2. Уравнение (3), в котором
?u
F = ?2(u · ?) + {u · (u · ?)?}u + {x · (x · ?)?}u (9)
?t
инвариантно относительно преобразований (2).
140 В.И. Фущич, С.Л. Славуцкий

<< Предыдущая

стр. 34
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>