<< Предыдущая

стр. 35
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Доказательство аналогично предыдущему.
С помощью хорошо известного алгоритма Ли [2] можно доказать следующее
утверждение.
Теорема 3. Максимальной алгеброй инвариантности уравнения (3) является:
1) 11-мерная алгебра Ли с базисными элементами
? ? ?
Ga = x0 pa ?
Ja = ?abc xb pc + ub
Pµ = , , , D = xµ pµ ,(10)
?uc ?ua
?xµ
если F определена из (6);
2) 8-мерная алгебра Ли, базис которой образуют операторы p0 , Ja , Ga , D
из (10), если F определена из (9).
Операторы pµ порождают сдвиги по координатам, Ja — пространственные по-
вороты, а оператор D — масштабные преобразования.
В заключение укажем еще один путь получения нелинейных уравнений движе-
ния для вектор-функций, в котором используется нелинейное представление алге-
бры Ли группы Галилея. Оказывается, что помимо хорошо известного линейного
представления, задаваемого формулами (10), существует нелинейная реализация
этой алгебры. Базисные элементы нелинейного представления алгебры Ли группы
Галилея имеют вид
? ?
Ja = ?abc xb pc + ub
pµ = , ,
?uc
?xµ
(11)
?
G? = x0 pa + ua ub b .
D = xµ pµ , a
?u
Конечные преобразования, порождаемые оператором G? из (11), выражаются
a
формулами
u
(12)
x = x + vt, u= .
1?v·u
Из (12) видно, что вектор-функция при галилеевых переносах преобразуется не-
линейным образом.
Более подробно вопрос о построении уравнений движения, инвариантных отно-
сительно преобразований (12), будет обсужден в другой работе.

1. Фущич В.И., В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Киев,
1981, 6–28.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 141–145.

О симметрии некоторых уравнений
идеальной жидкости
В.И. ФУЩИЧ, С.Л. СЛАВУЦКИЙ

Групповые свойства основных уравнений движения жидкости — Эйлера и
Навье–Стокса — хорошо изучены [1–4]. Однако в различных вопросах гидродина-
мики используется ряд других уравнений (уравнения в лагранжевых переменных,
уравнения движения релятивистской жидкости, сверхтекучей жидкости и др.),
симметрийные свойства которых не исследованы.
Цель данной работы — изучить групповые свойства таких уравнений и пре-
дложить другие уравнения для описания жидкости, допустимые с симметрийной
точки зрения [9].
1. Для описания турбулентной диффузии, деформации материальных поверхно-
стей в турбулентном потоке используется уравнение движения идеальной жидко-
сти в форме Лагранжа [4]:

? 2 ui ?uk ? 2 uk ?p
(1)
+ +? = 0,
?t2 ?xi ?t2 ?xi
где uk — компоненты вектора смещения, xi — лагранжевы переменные, p — дав-
ление, которое полагаем постоянным, ? = const, i, k = 1, 3, по повторяющимся
индексам всюду подразумевается суммирование. Полную информацию о локаль-
ных групповых свойствах уравнения (1) дает
Теорема 1. Максимальной алгеброй инвариантности (МАИ), в смысле С. Ли,
уравнения (1) является 15-мерная алгебра Ли A(15), базисные элементы кото-
рой задаются формулами
?
D1 = 2xa pa + (ua ? xa )?a , (2)
pa = , p D2 = x0 p0 ,
?xa

? ?
Ia = ?abc (ub ? xb )?c , (3)
p0 = , pa =
? , Ga = x0 pa ,
? p
?ua
?x0

где x0 ? t, ?abc — символ Леви–Чивита, a, b, c = 1, 3.
Доказательство. Для доказательства теоремы используем лиевский алгоритм, по-
дробно описанный в работе [5]. Он состоит в определении всех дифференциальных
операторов 1-го порядка вида
? ?
Q = ? µ (x, u) + ? ? (x, u) ? ,
?xµ ?u (4)
x ? Rn , u ? Rm , µ = 0, n ? 1, ? = 0, m ? 1,
Cборник научных трудов “Исследования по теории функций комплексного переменного с приложе-
ниями к механике сплошных сред”, Киев, Наукова думка, 1986, С. 161–165.
142 В.И. Фущич, С.Л. Славуцкий

порождающих группу инвариантности уравнения (1). Лиевское условие инвариан-
тности произвольного дифференциального уравнения s-го порядка
F (x, u, u, . . . , u) = 0,
s
1
(5)
? k u?
? = 0, m ? 1, i1 , . . . , ik = 0, n ? 1,
u= , k = 1, s,
?xi1 · · · ?xik
k

имеет вид
QF (x, u, u, . . . , u)|F =0 = 0, (6)
s
1
s

где Q — s-е продолжение оператора (4), которое строится по формулам Ли [5].
s
Для уравнения (1) условие инвариантности (6) сводится к следующим опреде-
ляющим уравнениям относительно коэффициентных функций ? µ (x, u) и ? a (x, u) в
операторе (4):
µ a 0 a a a
?ua = ?0 = ?a = 0, ?ub ub = ?00 = ?ub 0 = 0,
a a b
?b = 0, a = b, ?ub + ?ua = 0, a = b,
(7)
j
2?ui b ? ?00 = 0, 2?uj ? ?i = 0,
i 0 i

a b
?ub + ?a = 0, µ = 0, 3, i, j, a, b = 1, 3.
µ µ
µ µ
Здесь ?uk ? ?uk , ?k ? ?xk и т.д., по индексам i, j суммирования нет.
?? ??

Общим решением сильно переопределенной системы уравнений (7) являются
функции
? 0 = c00 x0 + d0 , ? a = 2c11 xa + da ,
? a = cab (ub ? xb ) + Da x0 + fa , (8)
cab = ?cba , a = b, c11 = c22 = c33 ,
где cab , Da , fa , dµ — произвольные постоянные. Выбирая базис во множестве
операторов (4) с коэффициентами (8), получаем операторы (2), (3).
Замечание 1. Десятимерная подалгебра A(10) алгебры A(15) (2), (3), порожден-
ная операторами (3), локально изоморфна алгебре Галилея G(1, 3) [8]. Однако
конечные преобразования, порождаемые операторами (3), не совпадают с преобра-
зованиями, определяющими группу Галилея, и имеют вид
x0 > x0 = x0 + a0 , xi > xi = xi ,
(9)
ui > ui = Rik (uk ? xk ) + vi x0 + ai ,
где Rik — оператор 3-мерного поворота, aµ , vi — действительные параметры. Отме-
тим также, что групповые свойства уравнения (1) и уравнений Эйлера и Навье–
Стокса принципиально различны.
Замечание 2. Уравнение (1) допускает релятивистское обобщение в виде уравне-
ния
? 2 uµ ?u? ? 2 u? ?
(10)
+ +? = 0,
2 2
?? ?xµ ?? ?xµ
где ? — собственное время, µ, ? = 0, 3.
О симметрии некоторых уравнений идеальной жидкости 143

2. Свободно движущуюся идеальную несжимаемую релятивистскую жидкость
описывают системой уравнений [6]
uµ ?µ u? = 0, (11)

gµ? u? uµ = 1, (12)

?µ uµ = 0. (13)

Здесь uµ — компоненты 4-мерного вектора скорости, gµ? — метрический тензор в
пространстве Минковского R1,3 , µ, ? = 0, 3.
Теорема 2. МАИ системы (11)–(13) является расширенная алгебра Пуанкаре
?
P (1, 3) с базисными элементами
?
Iµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? ,
D = xµ pµ , (14)
pµ = igµ? ,
?x?
где
?
Sµ? = uµ p? ? u? pµ ,
? ? pµ = igµ?
? .
?u?
Доказательство этой теоремы аналогично предыдущему. Выпишем здесь только
определяющие уравнения для определения ? µ (x, u), ? ? (x, u), x = {x0 , x}, u =
{u0 , u}:
µ
? µ ? u? ?? = A(x, u),
uµ ?µ = 0,
? µ
?u? = 0,
(15)
?u0 ? ?0 = ?u1 ? ?1 = ?u2 ? ?2 = ?u3 ? ?3 ,
0 0 1 1 2 2 3 3
gµ? (? ? uµ + u? ? µ ) = 0.
Общим решением (15) являются функции
cµ? = ?c?µ ,
? µ = cµ? x? + dxµ + fµ , ? µ = cµ? u? , (16)
где cµ? , fµ , d — произвольные постоянные.
?
Замечание 3. Из явного вида базисных элементов алгебры P (1, 3) (14) следу-
ет, что релятивистскую жидкость, описываемую уравнениями (11)–(13), можно
интерпретировать как движение частицы с переменной массой (pµ pµ = const) и
бесконечным набором спинов s = 0, 1, 2, . . . Более подробно об этом описано в
работах [10, 11].
Замечание 4. Наряду с системой уравнений (11)–(13) с симметрийной точки зре-
ния допустимы системы уравнений
uµ ?µ u? = 0, ?µ ? µ ?? u? = 0, (17)

uµ ?µ u? = 0, ?µ (uµ u? u? ) = 0, (18)

2u? + ?uµ ?µ u? = 0, uµ uµ = 1, ?? (uµ ?µ u? ) = 0, ? = const, (19)

симметрия которых во всяком случае не уже, чем симметрия уравнений (11)–(13).
Замечание 5. Алгебра инвариантности уравнений (11), (12) бесконечномерна и
содержит, в частности, конформную алгебру C(1, 3), порождаемую операторами
Kµ = xµ x? p? + uµ (u? u? x? ? x? )?? .
p
144 В.И. Фущич, С.Л. Славуцкий

3. Движение идеальной несжимаемой сверхтекучей жидкости описывается си-
стемой уравнений Эйлера с дополнительным членом Ландау
i i
?vs k ?v
+ vs s = 0,
?t ?xk
i i
(20)
?vn k ?v 1?
+ vn n ? (v n ? v s )2 = 0,
?t ?xk 2 ?xi
div v s = 0, div v n = 0,
где v n , v s — векторы скорости нормальной и сверхтекучей компонент жидкости;
по индексам s, n суммирования нет.
Теорема 3. МАИ уравнений (20) является 13-мерная алгебра Ли A(13), бази-
сные элементы которой задаются формулами
? ? ?
Ia = ?abc (xb pc + ub pc + v b pc ),
pµ = , ? ? x0 pa + pa + pa ,
? ?
?xµ
(21)
A = x0 (xµ pµ ) + (xa ? 2x0 ua )?a + (xa ? 2x0 v a )pa ,
?
p ?
D2 = x0 p0 ? ua pa ? v a pa ,
? ?
D1 = xa pa + ua pa + v a pa ,
? ? ? ?
?
? ?
где приняты обозначения pa = ?ua , ?v a , u = v s , v = v n , a, b, c = 1, 3.
? pa =
?
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1.
Следствие 1. Для системы уравнений (20) выполняется принцип относительно-
сти Галилея. Более того, уравнения (20) инвариантны относительно проективных
преобразований, порождаемых оператором A.
4. Из уравнений (20) видно, что они несимметричны относительно замены
v n > v s . Поэтому более естественным обобщением уравнений Эйлера для нор-
мальной и сверхтекучей компонент жидкости представляется система вида

<< Предыдущая

стр. 35
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>