<< Предыдущая

стр. 36
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?ui i
k ?u
+u = F1 (u, v, u, v , . . . , u, v ),
?t ?xk ss
11
(22)
?v i ?v i
+ vk = F2 (u, v, u, v , . . . , u, v )
?t ?xk ss
11

с дополнительными условиями

?a (u, v, u, v , . . . , u, v ) = 0, (23)
i, k = 1, 3, a = 1, N .
s s
11

Простейшей системой зацепленных уравнений вида (22), (23) является система

?ui i
k ?u
+u = 0,
?t ?xk
?v i i
(24)
k ?v
+v = 0,
?t ?xk
div u = ? div v, ? = const.

Уравнения (24) обладают следующей симметрией.
О симметрии некоторых уравнений идеальной жидкости 145

Теорема 4. МАИ системы уравнений (24) является 16-мерная алгебра Ли
A(16), базисные элементы которой задаются формулами
? ? ?
Kab = xa pb + ua pb + v a pb , (25)
Pµ = , Ga = x0 pa + pa + pa ,
? ? ? ?
?xµ
?
? ?
где pa = ?ua , ?v a .
? pa =
?
Следствие 2. Операторы Kab порождают следующие линейные преобразования:

x > x = ?x + x, u > u = ?u + u, v > v = ?v + v, (26)

где ? — произвольная числовая матрица.

= ?(u · ?)u, SIAM J. Appl. Math.,
?u
1. Rosen G., Ullrich G.W., Invariance group of the equation ?t
1973, 24, № 3, 286–288.
2. Lloyd S.P., The infinitesimal group of the Navier–Stokes equation, Acta Mech., 1981, 38, 85–98.
3. Пухначев В.В., Групповые свойства уравнений Навье–Стокса в плоском случае, Прикл. мех. и
техн. физ., 1960, № 1, 83–90.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, М.,
Наука, 1973, 416 с.
5. Ильюшин А.А., Механика сплошной среды, М., Изд-во МГУ, 1978, 286 с.
6. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
7. Bialynicki-Birula I., Iwinski Z., Canonical formulation of relativistic hydrodynamics, Repts. Math.
Phys., 1973, 4, № 2, 139–151.
8. Паттерман С., Гидродинамика сверхтекучей жидкости, М., Мир, 1978, 520 с.
9. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
10. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
11. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 6–20.
12. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений матема-
тической физики, Cборник научных трудов “Исследования по теории функций комплексного
переменного с приложениями к механике сплошных сред”, Киев, Наукова думка, 1986, 146–160.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 146–149.

Конформно-инвариантные нелинейные
уравнения для электромагнитного поля
В.И. ФУЩИЧ, И.М. ЦИФРА

Известно, что одних уравнений Максвелла
?Fµ? ?F?? ?F?µ
+ + = 0,
?x? ?xµ ?x?
(0.1)
? ? ?
? Hµ? ? H?? ? H?µ
+ + =0
?x? ?xµ ?x?
недостаточно, чтобы определить электромагнитное поле в различных средах. Для
описания электромагнитного поля в конкретной среде к уравнениям (0.1) добав-
ляют материальные уравнения. Мы используем принцип симметрии в качестве
отбора этих дополнительных соотношений.

1. Симметрия уравнений (0.1)
Система (0.1) является недоопределенной системой дифференциальных уравне-
ний в частных производных. По этой причине следует ожидать, что система (0.1)
будет иметь более широкую симметрию, чем уравнения Максвелла в вакууме.
Симметрийные свойства уравнений (0.1) устанавливаются следующей теоремой
Теорема 1. Алгеброй инвариантности системы (0.1) является бесконечномер-
ная алгебра, любой элемент которой задается формулами

X1 = ? µ (x)?µ + ?Fµ? ?Fµ? + ?Hµ? ?Hµ? , (1.1)
? ?


(1.2)
X2 = Fµ? ?Fµ? ,

? (1.3)
X3 = Hµ? ?Hµ? ,
?


(1.4)
X4 = Fµ? ?Hµ? ,
?


? (1.5)
X5 = Hµ? ?Fµ? ,

где ? µ (x) произвольные дифференцируемые функции;

?Fµ? = ?Fµ? ?? ? F?? ?µ ,
? ?
(1.6)
? ?
? ? = ?Hµ? ?? ? H?? ?µ .
? ?
Hµ?

Доказательство теоремы 1 проводится методом Ли [1] и ввиду его громоздкости
здесь не приводится. Из теоремы 1 получаем важное следствие.
Труды третьего международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Юрмала, 22–24
мая 1985 г., Москва, Наука, 1986, Т.1, С. 501–505.
Конформно-инвариантные уравнения для электромагнитного поля 147

Теорема 2. Система (0.1) инвариантна относительно 20-мерной алгебры Ли
группы IGL(4, R), содержащей в качестве подалгебры алгебру Пуанкаре P (1, 3)
и алгебру Галилея G(1, 3).
Базисные элементы алгебры Пуанкаре P (1, 3) имеют такой вид:
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + (Sµ? ?)n ??n , (1.7)
Pµ = igµ? ?x? ,

где по n подразумевается суммирование от 1 до 12, ? — cтолбец (E, B, D, H),
матрицы Sµ? имеют вид:
?? ?? ?? ? Sbc ?
?
? ? ?
Sab 0 0 0 0 0 0
? ? Sab ?? ?? Sbc ? ?
? ?
? ?
0 0 0? 0 0 0?
Sab = ? ? , S0a = ?abc ? ? ? ?,
?0 ?? ?0 ?Sbc ?
?
? Sab ? 0 0
0 0
?bc
?S
? ? ? ?
? ? ? Sab 0 0 0
0 0 0 (1.8)
? ? ? ? ? ?
0 ?i 0 00 0 00i
S12 = ? i 0 0 ? , S23 = ? 0 0 ?i ? , S31 = ? 0 0 0 ? ,
? ? ?
?i 0 0
000 0i0
? — нулевые 3 ? 3 матрицы [2].
0
Генераторы группы Галилея имеют вид:
Pa = ?i?xa ,
P0 = i?x0 , a, b = 1, 2, 3,
Jab = xa Pb ? xb Pa + (Sab ?)n ??n , (1.9)
Ga = tPa + (M ?)n ??n ,
где
? ?
?
? ? ?
0 Sbc 0 0
?? ??
? ?
1 0 0 0 0?
M = ?abc ? ? ? ?.
?0 ? ?
0 0 0
2
?
?Sbc
? ? ?
0 0 0
Среди множества операторов (1.1) содержатся генераторы конформной группы
C(1, 3). Совокупность операторов (1.7) и операторов
D = x? P ? + 2i?n ??n ,
(1.10)
Kµ = 2xµ D ? (x? x? )Pµ + 2(x? Sµ? ?)n ??n ,
образуют базис конформной алгебры C(1, 3).
Таким образом, мы установили, что для системы (0.1), без материальных урав-
нений, выполняются как принцип относительности Лоренца–Пуанкаре–Эйнштей-
на, так и принцип относительности Галилея.

2. Пуанкаре-инвариантные и конформно-инвариантные
нелинейные материальные уравнения
Рассмотрим материальные уравнения в следующем виде:
Hµ? = ?µ? (F01 , F02 , F03 , . . . , F23 ) ? ?µ? (F ), (2.1)
где ?µ? — произвольные гладкие функции ?µ? = ???µ , ?µ? = 0.
148 В.И. Фущич, И.М. Цифра

Используя метод Ли, мы доказали следующую теорему.
Теорема 3. Система уравнений (0.1), (2.1) инвариантна относительно группы
Пуанкаре тогда и только тогда, когда
? (2.2)
Hµ? = M Fµ? + N Fµ? ,
где M = M (C1 , C2 ), N = N (C1 , C2 ) — произвольные дифференцируемые фун-
кции от инвариантов электромагнитного поля
1 1
C1 = ? Fµ? F µ? = E 2 ? B 2 , C2 = ? ???µ? F ?? F µ? = B E,
4 4
? ?
а Fµ? = ?µ??? F ?? , Hµ? = ?µ??? H ?? .
В терминах B, D, E, H формула (2.2) имеет вид
H = M B ? N E. (2.3)
D = M E + N B,
Если в (2.3) положить
1 BE
, L = 1 + (B 2 ? E 2 ) ? (B E)2 ,
M= , N=
L L
то система (0.1) совместно с (2.3) совпадает с нелинейными уравнениями для
электромагнитного поля, предложенными Борном [3] и известными в литературе
как уравнения Борна–Инфельда. Для материальных уравнений частного вида
(2.4)
D = ?(E, H)E, B = µ(E, H)H,
как это вытекает из теоремы 3, справедливо следующее утверждение:
Следствие. Система уравнений (0.1), (2.4) будет пуанкаре-инвариантна только
тогда, когда
?(E, H)µ(E, H) = 1
(используется система единиц, в которой скорость света c = 1).
Теорема 4. Система уравнений (0.1), (2.2) инвариантна относительно локаль-
ной конформной группы C(1, 3) только в том случае, если
C1 C1
(2.5)
M =M , N =N ,
C2 C2
где M , N — произвольные дифференцируемые функции, зависящие от отноше-
ния инвариантов C1 , C2 .
Если вектор-потенциал Aµ ввести стандартным образом, то система (0.1), (2.5)
приводит к уравнениям, которые инвариантны не только относительно конформной
группы, но и относительно градиентных преобразований.
I1
2Aµ ? ?µ (?? A? ) = ?? ? (?µ A? ? ?? Aµ ), (2.6)
?
I2
где
1
I1 = ? (?µ A? ? ?? Aµ )(? µ A? ? ? ? Aµ ),
4
1
I2 = ? ?ikµ? (?i Ak ? ?k Ai )(?µ A? ? ?? Aµ ),
4
? — произвольная дифференцируемая функция одного переменного.
Конформно-инвариантные уравнения для электромагнитного поля 149

Конформную симметрию можно использовать для нахождения точных решений
нелинейных уравнений

<< Предыдущая

стр. 36
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>