<< Предыдущая

стр. 4
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

матрица Bi линейного оператора ad B имеет вид

? ?
Bi = ,
0 ?

где ?, ?, ? ? R. С другой стороны, Bi ? gl(2, R) и потому Bi подобна над полем
вещественных чисел матрице, содержащейся в алгебре

1 0 0 1
R +R .
?1
0 1 0

10
Следовательно, Bi = ? и потому Vi разлагается в прямую сумму двух
01
B-неприводимых подпространств. Предложение доказано.
Предложение 4.3. Пусть B — вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ).
Если из условия [B, X] = 0, X ? V вытекает, что X = 0, то подалгебра B
обладает только расщепляемыми расширениями в алгебре JO(V ).
Доказательство. Пусть B + X , X ? V , — одномерная подалгебра алгебры
JO(V ). Возьмем какой-либо базис P1 , . . . , Ps пространства V и пусть

X1 ? V,
(exp P1 )(B) = B + X1 ,
····································
Xs ? V.
(exp Ps )(B) = B + Xs ,
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 15

Докажем, что X1 , . . . , Xs — базис пространства V . Действительно, предположим,
что X1 , . . . , Xs линейно зависимы. Тогда существуют такие вещественные числа
?1 , . . . , ?s (не все равные нули), что
?1 X1 + · · · + ?s Xs = 0.
Так как V — коммутативная подалгебра, то (exp ?i Pi )(B) = B + ?i Xi , значит,
(exp ?1 P1 · · · exp ?s Ps )(B) = B + ?1 X1 + · · · + ?s Xs = B.
Поскольку
exp ?1 P1 · · · exp ?s Ps = exp(?1 P1 + · · · + ?s Ps ),
то [?1 P1 + · · · + ?s Ps , B] = 0 и потому ?1 P1 + · · · + ?s Ps = 0, что противоречит
предложению. Полученное противоречие доказывает, что X1 , . . . , Xs — базис V .
Следовательно, X = ?1 X1 + · · · + ?s Xs , ?i ? R, и потому
(exp(??1 P1 ? · · · ? ?s Ps ))(B + X) = B ? ?1 X1 ? · · · ? ?s Xs + X = B.
Предложение доказано.
Из доказательства настоящего предложения вытекает справедливость следую-
щего предложения.
Предложение 4.4. Пусть B + X — одномерная подалгебра алгебры JO(V ),
B ? LO(V ), X ? V . Если V = Im B ? Ker B, то подалгебра B + X с помощью
некоторого автоморфизма exp P , P ? V , сопряжена подалгебре B + X , X ?
Ker B.
Предложение 4.5. Пусть L1 — вполне проводимая подалгебра алгебры LO(V ),
которая аннулирует только нулевое подпространство пространства V , L =
?
L1 ? J , J ? LO(V ). Если подалгебра L алгебры JO(V ), удовлетворяющая
?
условию ?(L) = L, содержит элемент J + X, X ? V , и подалгебру L1 , то
?
J ? L.
Доказательство. Обозначим черв M L1 -подпространство пространства V , поро-
жденное X. Пространство M разлагается в прямую сумму неприводимых L1 -
?
подпространств: M = M1 ? · · · ? Ms . Докажем индукцией по числу s, что J ? L.
Пусть s = 1. По условию [L1 , X] = 0, и потому существует такой элемент
J ? L1 , что [J , X] = X , X = 0; L1 -подпространство M1 , порожденное X ,
содержится в M1 и в силу неприводимости последнего M1 = M1 . Поскольку
? ? ? ?
X ? L, то M1 ? L и потому X ? L. Следовательно, J ? L.
Пусть s > 1, X = X1 + · · · + Xs , где Xi ? Mi (i = 1, . . . , s). Существует такой
элемент J ? L1 , что [J , X] = X = 0. Рассмотрим разложение X = X1 + · · · +
Xs , где Xi ? Mi (i = 1, . . . , s) и будем считать, что X1 = 0. Обозначим через
?
M L1 -подпространство M , порожденное X . Очевидно, M ? L. Проекция M1
пространства M на подпространство M1 является L1 -подпространством. Отсюда
в силу неприводимости M1 заключаем, что M1 = M1 . Следовательно, M , а значит,
?
и L содержит элемент вида X1 + X2 + · · · + Xs , где Xi ? Mi (i = 2, . . . , s). Ho тогда
? ? ?
J + (X2 ? X2 ) + · · · + (Xs ? Xs ) ? L. В силу индуктивного предположения отсюда
?
вытекает, что J ? L. Предложение доказано.
Терема 4.1. Пусть L — вполне приводимая коммутативная подалгебра алгебры
LO(V ). Если L аннулирует только нулевое подпространство пространства V ,
16 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

то подалгебра L обладает только расщепляемыми расширениями в алгебре
JO(V ).
?
Доказательство. Пусть B1 , . . . , Bs — базис подалгебры L, L — подалгебра JO(V ),
? ?
удовлетворяющая условию ?(L) = L. Базис подалгебры L можно выбрать в виде
B1 + X1 , . . . , Bs + Xs , Y1 , . . . , Yt , где Xi ? V , Yj ? V . Поскольку L — вполне
приводимая подалгебра, то для любого Bi V = Im Bi ? Ker Bi (предложение 4.1).
Если Y ? Ker Bi , B ? L, то используя тождество Якоби

[[Bi , B], Y ] + [[B, Y ], Bi ] + [[Y, Bi ], B] = 0

и соотношения [Bi , B] = 0, [Y, Bi ] = 0, получаем, что [[B, Y ], Bi ] = 0, а значит,
[B, Y ] ? Ker Bi , т.е. [L, Ker Bi ] ? Ker Bi . Аналогично [L, Im Bi ] ? Im Bi .
Пусть Ld = B1 + X1 , . . . , Bd + Xd , Y1 , . . . , Yt , d = 1, . . . , s. Докажем ин-
дукцией по d, что подалгебра Ld с помощью некоторого автоморфизма exp P ,
P ? V , сопряжена подалгебре B1 + X1 , . . . , Bd + Xd , Y1 , . . . , Yt , где X1 , . . . , Xd ?
Ker B1 ? · · · ? Ker Bd . Если d = 1 то это утверждение вытекает из предложе-
ния 4.4. Пусть d > 1. Согласно индуктивному предположению подалгебра Ld+1
сопряжена подалгебре Ld+1 = B1 + X1 , . . . , Bd + Xd , Bd+1 + Z, Y1 , . . . , Yt , где
X1 , . . . , Xd ? Ker B1 ? · · · ? Ker Bd , Z ? V . Элемент Z представим в виде суммы
P1 + T1 , где P1 ? Ker B1 , T1 ? Im B1 . Покажем, что подалгебра Ld+1 содержит
элемент Bd+1 + P1 . Действительно, пусть ? — проектирование алгебры V + L ?
на подалгебру Im B1 + L. Тогда ? (Ld+1 ) = B1 , . . . , Bd , Bd+1 + T1 , Y1 , . . . , Yt ,
?
Yi = ? (Yi ) (i = 1, . . . , t). В силу предложения 4.2 подпространство Im B1 ,
рассматриваемое как B1 -модуль, вполне приводимо и потому к алгебре L =
B1 , Bd+1 + T1 , Y1 , . . . , Yt применимо предложение 4.5. Следовательно Bd+1 ? L
и значит Bd+1 ? ? (Ld+1 ). Отсюда вытекает, что Bd+1 + P1 ? Ld+1 . Используя да-
лее разложение V = Im B2 ?Ker B2 , элемент P1 представляем в виде P1 = R2 +P2 ,
где R2 ? Im B2 , P2 ? Ker B2 . Так как [L, Im B2 ] ? Im B2 , [L, Ker B2 ] ? Ker B2 , то
из условия [B, P1 ] = 0, вытекает, что [B1 , P2 ] = 0 и потому P2 ? Ker B1 ? Ker B2 .
Как и выше, убеждаемся, что Ld+1 содержит элемент Bd+1 + P2 . Через d шагов
получаем, что Ld+1 содержит элемент Bd+1 +Pd+1 , где Pd+1 ? Ker B1 ?· · ·?Ker Bd .
Если Pd+1 = Xd+1 + Yd+1 , где Xd+1 ? Ker Bd+1 , Yd+1 ? Im Bd+1 , то существует
такой элемент P ? Im Bd+1 , что (exp P )(Bd+1 + Pd+1 ) = Bd+1 + Xd+1 . Так как
(exp P )(Bi + Xi ) = Bi + Xi , если i = 1, . . . , d, то Ld+1 , а значит и подалгебра Ld+1
сопряжена подалгебре B1 + X1 , . . . , Bd+1 + Xd+1 , Y1 , . . . , Yt . Проведенные рассу-
ждения показывают также, что всегда можно считать, что X1 , . . . , Xd ? Ker Bd+1 .
?
В частности, если d = s, то X1 , . . . , Xs ? Ker B1 ? · · · ? Ker Bs = 0, и потому L
сопряжена подалгебре B1 , . . . , Bd , Y1 , . . . , Yt . Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 4.1 вытекает справедливость следующего предло-
жения.
Предложение 4.6. Пусть L = B1 , . . . , Bs — вполне приводимая подалгебра
? ?
алгебры LO(V ); L — подалгебра JO(V ), удовлетворяющая условию ?(L) =
?
L. Тогда L с помощью внутреннего автоморфизма алгебры JO(V ) сопряжена
подалгебре B1 +X1 , . . . , Bs +Xs , Y1 , . . . , Yt , где X1 , . . . , Xs ? Ker B1 ?· · ·?Ker Bs ,
Y1 , . . . , Yt ? V .
Если Ker B1 ?· · ·?Ker Bs = 0, то из настоящего предложения получаем теорему
4.1.
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 17

Докажем далее теорему, выделяющую все вполне приводимые подалгебры алге-
бры LO(V ), обладающие только расщепляемыми расширениями в алгебре LO(V ).
При доказательстве ее мы существенно используем теорему 4.1.
Теорема 4.2. Пусть L — вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ). По-
далгебра L обладает только расщепляемыми расширениями в алгебре JO(V )
в том и только том случае, когда выполняется одно из следующих условий:
1) L полупроста;
2) L аннулирует только нулевое подпространство пространства V .
Доказательство. Необходимость. Пусть подалгебра L не является полупростой.
Тогда L либо коммутативна, либо разлагается в прямую сумму Z(L) ? Q своего
центра Z(L) полупростой подалгебры Q [12]. Предположим, чтo существует не-
нулевой элемент X1 ? V , удовлетворяющий условию [L, X1 ] = 0. Докажем, что
подалгебра L обладает нерасщепляемыми расширениями в алгебре JO(V ).
?
Пусть T1 , . . . , Tk — базис подалгебры Z(L). Покажем, что подалгебра L =
Q ? T1 + X1 , T2 , . . . , Tk нерасщепляема в алгебре JO(V ). С этой целью восполь-
зуемся матричным представлением алгебры JO(V ). Пусть P1 , . . . , Pk — базис про-
странства V , J + P — произвольный элемент алгебры JO(V ), J ? LO(V ), P ? V .
Обозначим соответственно через S(J) и UP матрицу линейного оператора ad J и
координатный столбец вектора P в указанном базисе. Тогда отображение ?1 :
S(J) UP
J +P > ? gl(n + 1, R)
JO(V )
0 0

является изоморфизмом алгебры JO(V ) на некоторую подалгебру ? алгебры gl(n+
1, R). В частности,
S(T1 ) UX1
T1 + X1 > .
0 0
?
Следовательно, нерасщепляемость подалгебры L в алгебре JO(V ) будет дока-
?
зана, если мы покажем, что ?1 (L) нерасщепляема в ?1 (JO(V )).
Пусть это не так. Тогда существует такая матрица
T Y
? exp ?1 (JO(V )),
0 1
что
?1
T Y S(T1 ) UX1 T Y B 0
=
0 1 0 0 0 1 0 0
или
T ?1 S(T1 )T T ?1 S(T1 )Y + T ?1 UX1 B 0
= .
0 0 0 0

Следовательно, T ?1 S(T1 )Y + T ?1 UX1 = 0, откуда S(T1 )Y + UX1 = 0. Значит,
UX1 ? Im S(T1 ). С другой стороны, в силу предположения UX1 ? Ker S(T1 ). Так
как L вполне приводима, то Im S(T1 ) ? Ker S(T1 ) = 0. Поэтому UX1 = 0, а значит
X1 = 0. Мы приходим к противоречию. Полученное противоречие доказывает
необходимость.
18 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Достаточность. В силу теоремы 4.1 достаточность теоремы справедлива для
коммутативных подалгебр. Поэтому будем предполагать, что L — некоммутатив-
ная подалгебра. Пусть подалгебра L не является полупростой. Тогда L разложима
в прямую сумму Z(L) ? Q своего центра Z(L) и полупростой подалгебры Q [12].
? ?
Пусть L — произвольная подалгебра JO(V ) с условием ?(L) = L. Докажем, что
?
L — расщепляемая подалгебра.
?
Так как Q — полупростая алгебра, то можно предполагать, что Q ? L. Обо-
значим через U максимальное подпространство пространства V , обладающее тем
свойством, что [Q, U ] = 0. Если J1 ? Z(L), J2 ? Q, X ? U , то [J1 , J2 ] = 0,
[J2 , X] = 0. Отсюда и из тождества Якоби [J1 , [J2 , X]]+[J2 , [X, J1 ]]+[X, [J1 , J2 ]] = 0
получаем, что [J2 , [X, J1 ]] = 0. Следовательно, [X, J1 ] ? U . Это означает, что
[Z(L), U ] ? U и потому U инвариантно относительно алгебры L. Следовательно,
?
U обладает L-инвариантным дополнением U , т.е. V = U ? U . Пусть L1 — про-
?
екция L на подалгебру U + Z(L). Так как для любого Y ? U имеем [Q, Y ] = 0,
?
то из условия [Z(L), Y ] = 0 следует, что Y = 0. Если U1 ? U — произвольное
Z(L)-инвариантное подпространство, то оно, очевидно, L-инвариантно, и потому
существует такое L-инвариантное подпространство V1 ? V , что U1 ? V1 = V . Сле-
довательно, U = U1 ? V1 ? U — разложение пространства U в прямую сумму двух
L-инвариантных подпространств U1 и V1 ?U . Таким образом, пространство U , рас-
сматриваемое как Z(L)-модуль, вполне приводимо, и потому в силу теоремы 4.1
?
существует автоморфизм вида exp P , P ? U , отображающий L1 на подалгебру
?
N1 + Z(L), N1 ? U . Автоморфизм exp P отображает при этом L на некоторую
?
? ?
подалгебру L и оставляет Q на месте. Допустим, что L содержит элемент вида
?
J + X, где J ? Z(L), X ? U . Используя предложение 4.5, получаем, что J ? L .
? ? ?
Таким образом, L ? L , и потому L , а значит, и L — расщепляемые подалгебры.
Достаточность доказана.

§ 5. Одномерные подалгебры алгебры LO(p, q)
Рассмотрим задачу описания одномерных подалгебр алгебры LO(p, q), p ? q >
0, с точностью до O(p, q)-сопряженности. С этой целью используем результаты,
относящиеся к структуре максимальных подалгебр алгебры LO(p, q). Как уста-
новлено в § 1, максимальные подалгебры Lr ? LO(p, q), не являющиеся вполне
приводимыми, можно характеризовать по рангу r > 0 максимального вполне изо-
тропного подпространства N0 , инвариантного относительно алгебры Lr . Число r
мы называем изотропным рангом подалгебры Lr .
Пусть L — произвольная подалгебра изотропного ранга r > 0 алгебры LO(p, q)
и пусть N0 = T1 + Tp+q?r+1 , . . . , Tr + Tp+q — максимальное вполне изотропное
подпространство, инвариантное относительно L. Каждый элемент J ? L можно
представить в виде
? ?? ?
J1 0 ?J1 0 J2 0
J =? 0 0 0 ? + ? J2 0 ?J2 ? +
J1 0 ?J1 0 J2 0
? (5.1)
?? ?
00 J4
000
+ ? 0 J3 0 ? + ? 0 0 ?,
0
J4 0 J4 ? J4
T T
000
где J1 , J3 , J4 — квадратные матрицы порядка r, n ? 2r и r соответственно, J1 =
T
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 19

?J1 , J3 ? LO(p ? r, q ? r), J4 ? gl(r, R), J2 — произвольная r ? (n ? 2r)-матрица.
(n?2r)
Матрицы J1 , J2 , J3 и J4 будем называть проекциями J на LO(r), Vr , LO(p ?
r, q ? r) и gl(r, R) соответственно. Введем обозначения
? ? ? ?
J1 0 ?J1 0 J2 0
J1 = ? 0 0 0 ?, J2 = ? J2 0 ?J2 ? ,
? ?

<< Предыдущая

стр. 4
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>