<< Предыдущая

стр. 44
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

дифференциальных уравнений?
В.И. ФУЩИЧ

Предложен простой способ расширения симметрии дифференциальных уравнений.


1. Лиевский критерий инвариантности. Рассмотрим в четырехмерном про-
странстве R(1, 3) систему нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ) в ча-
стных производных
L(x, u, u, u, . . . , u) = 0, (1)
n
12


где вектор u ? (u1 , u1 , . . . , un ), x ? R(1, 3), u ? ?x0 , ?x1 , ?x2 , ?x3 , u, k = 1, r —
?u ?u ?u ?u
1 k
совокупность всевозможных производных r-го порядка.
Согласно Ли уравнение (1) инвариантно относительно оператора
? ?
Q = ? µ (x, u) + ? k (x, u) (2)
,
?xµ ?uk
если виполняется следующее условие:

? ?
QL = ?0 (x, u, u, . . . , u)L или (3)
QL = 0,
1 k L=0

?
где Q — соответствующее число раз продолженный оператор Q, ?0 — произволь-
ная дифференциальная функция (более подробно см., например, [1–3] ). Условие
(3) назовем лиевским критерием инвариантности уравнения (1). Более общее опре-
деление инвариантности введено в [4, 5], которое дало возможность обнаружить
новые симметрии уравнений Максвелла, Дирака, Ламе [6].
Хорошо известно, что если уравнение обладает нетривиальной симметрией, то
это свойство существенно для явного построения широких классов точных реше-
ний нелинейвых дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП).
Многие ДУЧП обладают довольно узкой группой инвариантности. Поэтому весьма
существенно указать конструктивные способы расширения симметрии уравнений.
В настоящее время интенсивно развиваются два направления решения этой
проблемы. Одно из них состоит в разработке новых методов исследования сим-
метрийных свойств ДУЧП (см. библиографию в [6]), позволяющих обнаружить
как локальные, так и нелокальные симметрии. Другое направление наметилось в
работах [3, 6–10], где изучается симметрия не всех решений ДУ, а только неко-
торых подмножеств решений. В неявном виде, как теперь стало ясно, эта идея
заложена, в частности, в методе разделений переменных и, конечно, использова-
лось без привлечения теоретико-алгебраических методов многими исследователя-
ми прошлого века. Ниже именно это второе направление будет обсуждаться.
Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1987, C. 4–16.
Как расширить симетрию дифференциальных уравнений? 181

На конкретных примерах будет указан способ расширения симметрии ДУЧП.
Как будет видно из дальнейшего, он очевидным образом обобщается и на другие
ДУ.
2. Уравнение Максвелла. Рассмотрим систему уравнений Максвелла

?E ?H
= ?rot E,
= rot H, (4)
?t ?t
E, H — векторы напряженностей электромагнитного поля.
Операторы, порождающие преобразования Лоренца, имеют вид
? ?
J0a = x0 pa ? xa p0 + S0a , Pa = ?i (5)
P0 = i , ,
?x0 ?xa
S0a = iSa — 6?6-матрицы, реализующие соответствующее представление алгебры
Ли группы SU (2) [6].
? ?
Записав матрицы Sa через Ek , Hl и ?Ek , ?Hl и представив (4) в виде (1) [6]

?
? i?2 Sa Pa , (6)
L? = 0, L=
?t
можно убедиться, что

? ?
или (7)
J0a L = ?a L J0a L = 0, a = 1, 2, 3.
L

?
В (6) вектор-столбец ? = (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 ). Для уравнения (4) J0a = J0a .
Условие (7) означает, что система (4) неинвариантна относительно операторов
{J0a }, а следовательно, уравнение (2) не инвариантно относительно группы Ло-
ренца O(1, 3). Действие операторов {J0a } на L можно записать в виде
? (8)
QL = ?0 (x, u, u1 , . . . , ur )L + ?1 (x, u, u1 , . . . , ur )L1 , ?1 = 0,
? ???
где Q — любой из операторов {J01 , J02 , J03 }. Отсюда видно, что если на множество
решений наложить дополнительное условие

(9)
L1 (x, u, u1 , . . . , ur ) = 0,

тo система (4) будет инвариантна относительно операторов {J0a }. Для системы
(4) эти дополнительные условия имеют вид

div E = 0, div H = 0. (10)

Таким образом, уравнения (4) в совокупности с дополнительными условиями (10)
инвариантны относительно алгебры Ли AO(1, 3) группы O(1, 3). Обобщая понятие
инвариантности, введенное в [6–10] и приведенные только что рассуждения, Н.И.
Серов и автор ввели понятие условной инвариантности ДУ.
Определение. Систему уравнений (1) назовем условно инвариантной, если она
инвариантна относительно оператора Q при дополнительном условии (9) и
? (11)
QL1 = ?2 (x, u, u1 , . . . , uk )L + ?3 (x, u, u1 , . . . , uk )L1 ,

?1 , ?2 — произвольные дифференцируемые функции.
182 В.И. Фущич

В данном определении, конечно, предполагается, что система (1), (9) совме-
стна. Очевидно, что не всякое дополнительное условие (уравнение) расширяет
симметрию исходного уравнения. Поэтому важно научиться строить такие допол-
нительные условия, чтобы симметрия всей системы была шире, чем симметрия
исходного уравнения (1).
3. Условная инвариантность систем гиперболического и параболического
типов. Система гиперболических уравнений второго порядка
?2
2E = 0, E = {E1 , E2 , E3 }, 2= ? ?,
?t2 (12)
2H = 0, H = {H1 , H2 , H3 }
инвариантна относительно конформных операторов
Kµ = 2xµ D ? x? x? Pµ + 2x? Sµ? , D = xµ P µ + 2i, (13)
где Sµ? — матрицы, реализующие представление алгебры AO(1, 3).
Однако, система (12) условно инвариантна относительно операторов (13). В
этом случае дополнительное условие (9) является системой уравнений Максвелла
(4), (10). Подробное доказательство этого факта дано в [6].
Рассмотрим систему линейных уравнений параболического типа
pa pa
L = p0 ?
L? = 0, ,
2m
(14)
? ?
pa = ?i
p0 = i , , a = 1, 2, 3.
?x0 ?xa
? = {?1 , ?2 , . . . , ?n } — вектор-функция, m — параметр.
Уравнения (14) условно инвариантны относительно операторов из расширенной
алгебры Галилея AG(1, 3)
Ga = tpa ? mxa + qa ,
(15)
1
A = tD ? t2 p0 + mx 2 ? qx, D = 2rp0 ? xp + q0 ,
2
если на решения ? положить дополнительные условия
L3 ? = 0, L4 ? = 0,
(16)
3 qp
L3 = q0 ? i ? , 2 2 2
L4 = q1 + q2 + q3 .
2 m
В (15), (16) матрицы q0 , q удoвлeтвopяют коммутационным соотношениям
[qa , qb ] = 0, [q0 , qa ] = iqa .
В [7] доказано, что уравнения (16) являются необходимыми и достаточными
условиями того, чтобы система (14) была инвариантна относительно операторов
(15).
4. Расширение симметрии ураввения Даламбера. Хорошо известно, что ма-
ксимальной (в смысле С. Ли) локальной группой инвариантности линейного вол-
нового уравнения
2u(x) = 0, (17)
x = (x0 , x1 , . . . , xn ),
Как расширить симетрию дифференциальных уравнений? 183

является конформная группа C(1, n). В [11] доказано, что если на решения u(x)
наложить условия
?u ?u
· (18)
= 0,
?xµ ?xµ

то переопределенная система (17), (18) инвариантва относительно бесконечномер-
ной алгебры с операторами
? ?
Q = ? µ (x, u) + ?(x, u) ,
?xµ ?u (19)
? µ = c00 xµ + cµ? (u)x? + dµ (u), ?(x, u) = ?(u),

где c00 (u), cµ? (u), ?(u) — произвольные гладкие функции от зависимой переменной
u(x).
Итак, уравнение Даламбера условно инвариантно относительно бесконечномер-
ной алгебры (19). Такое существенное расширение симметрии волнового урав-
нения приводит к уникальному свойству нелинейной системы (17), (18): если
u1 — решение (18), (19), то и произвольная гладкая функция от этого решения
?(u1 ) = u2 является решением (17), (18).
5. Условная инвариантность уравнения четвертого порядка. Рассмотрим
уравнение

? ?
? ? u = 0. (20)
+?
?x0 ?x0
Применяя метод Ли к уравнению (20), можно показать, что оно неинвариантно
относительно алгебры Галилея AG(1, 3). Уравнение (20) является дифференциаль-
ным следствием уравнения теплопроводности

?
? ? u = 0, u ? u(x), (21)
?x0
которое, как известно, инвариантно относительно преобразований Галилея. При-
чина сужения симметрии уравнения (20), по сравнению с уравнением (21), связа-
на с тем, что множество решений уравнения (20) шире, чем множество решений
уравнения (21). Однако, если на u(x) наложить дополнительное условие в виде
уравнения Гамильтона–Якоби
?u ?u ?u
· (22)
+ = 0, a = 1, 2, 3,
?x0 ?xa ?xa
то система (21), (22) будет инвариантна относительно галилеевских операторов
вида
1
Ga = upa ? xa p0 .
2
Отметим, что эти операторы порождают необычные преобразования Галилея.
Итак, уравнение (20) условно инвариантно относительно алгебры Галилея. Бо-
лее подробно этот вопрос изучен в [12].
184 В.И. Фущич

6. Расширение симметрии нелинейного уравнения теплопроводности. Не-
линейное уравнение
?u ? ?u
c(u) = const, (23)
+ c(u) = 0,
?x0 ?xa ?xa
не инвариантно относительно преобразований Галилея, а следовательно, для него
не выполняется принцип относительности Галилея [9], т.е. уравнение (23) неин-
вариантно относительно операторов
? ?
(24)
Ga = x0 + µ(u)xa , a = 1, 2, 3,
?xa ?u
где µ(u) — произвольная гладкая функция от u(x).
Чтобы расширить симметрию нелинейного уравнения теплопроводности до груп-
пы Галилея, достаточно дополнить (24) уравнением типа Гамильтона–Якоби
?u 1 ?u ?u
· (25)
+ = 0,
?x0 2µ(u) ?xa ?xa
причем
u
(26)
µ(u) = .
2c(u)
Аналогичным способом можно расширить симметрию уравнений

?2u
= C(x, u, u)?u, (27)
?x2 1
0

которое широко применяется в нелинейной акустике, в теории нелинейных волн.
Более подробно эти результаты будут обсуждаться и опубликованы в работе
Н.И. Серова и автора.
7. О некоторых нерешенных задачах. В этом пункте укажем несколько задач,
которые представляются автору важными для развития и применения теоретико-
алгебраических методов.
1. Описать дифференциальные уравнения (дополнительные условия) первого и
второго порядка

F1 (x, u, u, u, aµ? , F0 ), (28)
u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ),
12

которые расширяют симметрию уравнения

<< Предыдущая

стр. 44
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>