<< Предыдущая

стр. 45
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


?2u
aµ? (x, u, u) + F0 (x, u, u) = 0 (29)
?xµ ?x?
1 1

до групп: O(1, 3), P (1, 3), C(1, 3), P (1, 4), C(1, 4). F0 , F1 , aµ? — гладкие функции.
Рассмотреть отдельно случай двумерных уравнений {x = (x0 , x1 )} и описать все
уравнения (28), (29), инвариантные относительно бесконечномерной алгебры с
оператором
? ?
Q = {f (x0 + x1 ) + g(x0 ? x1 )} + {f (x0 + x1 ) ? g(x0 ? x1 )} ,
?x0 ?x1
Как расширить симетрию дифференциальных уравнений? 185

где f и g — произвольные функции.
2. Исследовать групповые свойства и построить решения следующих уравне-
ний:
2u + F0 (x, u, u) = 0, (Kµ u)(K µ u) = ?,
1
(30)
1
Kµ = 2xµ D ? x? x pµ + ?1 ,
?
D = (x? p? + p? x? ) + ?2 ;
2
2u + F0 (x, u, u) = 0,
1 (31)
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
µ?
(Jµ? u)(J u) = ?3 ,

где ?1 , ?2 , ?3 — произвольные константы. Рассмотреть волновое уравнение (30) с
дополнительным условием: D2 u(x) = ?.
3. Описать системы дополнительных условий (уравнений) первого порядка,
расширяющих симметрию уравнений параболического типа
?2u
?u
+ Clk (u, u) + F0 (u, u) = 0. (32)
?x0 1 ?xl ?xk 1

Рассмотреть в качестве дополнительного условия уравнение первого порядка
?u ?u ?u ?u
·
a0 (x, u) + akl (x, u) + bk (x, u) = 0.
?x0 ?xk ?xl ?xk
4. Исследовать групповые свойства и построить семейства частных решений
нелинейного уравненяя Дирака
?
?µ pµ ? = F (??)? (33)
совместно с одним из следующих дополнительных условий:
? ? (34)
a?? + b??4 ? = 0,
? ?
a(??µ ?)2 + b(??4 ?µ ?)2 = 0, (35)
? ? ? ?
?(??) ?(??) ?(??4 ?) ?(??4 ?)
· · (36)
a +b = 0,
?xµ ?xµ
?xµ ?xµ

a, b — произвольные постоянные.
? ?
Рассмотреть случаи: F (??) = m = const, F (??) = 0, ? — четырехкомпонен-
тный спинор.
5. Исследовать симметрию и построить точные решения уравнений
??
?
2? + F (??), (37)
?=0
?xµ
с дополнительными условиями
? ?
?(??µ ?) ?(??4 ?µ ?)
(38)
a +b = 0,
?xµ ?xµ
? ? (39)
a(??) + b(??4 ?) = 0.
186 В.И. Фущич

6. Провести теоретико-алгебраический анализ системы уравнений
?
(?µ wµ + wµ ?µ )? + F (??)? = 0,
wµ = {w0 , w} = {w0 , w1 , w2 , w3 }, w0 = pJ = p1 J1 + p2 J2 + p3 J3 ,
(40)
w = p0 J ? (p ? N ),
Ji = ?ikl Jkl , N = (J01 , J02 , J03 ),
i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (?µ ?? ? ?? ?µ ),
Sµ? =
4
7. Описать пуанкаре-инвариантные и конформно-инвариантные первого и вто-
рого для спинора ?, предполагая, что ток
? ? ? ?
jµ = a(??µ ?) + b(??4 ?µ ?) + c(?pµ ?) + d(?wµ ?)
?j
удовлетворяет уравнению непрерывности ?xµ = 0, a, b, c, d — произвольные кон-
µ
станты.
8. Исследовать групповые свойства и построить частные решения систем че-
тырех дифференциальных уравнений первого порядка
?
?µ ?? J µ? ? + ?(??)k ? = 0,
i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , Sµ? = [?µ , ?? ].
4
9. Построить семейства точных решений уравнений второго порядка
?
? ? ??
?
2? = F ??, , ?
?x? ?x?
с дополнительным условием
? ? ? ?
??µ pµ ? = a(??) + b(??µ ?)2 + c(??4 ?µ ?)2 ,
? ? ?
(?wµ ?)(?wµ ?) = ?(??).
?
Рассмотреть случаи: F = ?m2 , F = (??)r , m, r, b, c — произвольные константы.
10. С помощью следующих потенциалов (Bµ , ?):

Fµ? = Kµ B? ? K? Bµ , Kµ = 2xµ D ? x? x? pµ + ?1 ,
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
Fµ? = Jµ? ?, ui = ?ikl Jkl ?,
построить семейства точных решений уравнений для электромагнитногo поля и
для поля Эйлера–Навье–Стокса
?ui ?ui
+ ul + ??ui = 0, i, k, l = 1, 2, 3.
?t ?xl
11. Описать анзацы вида

u = f (x)?(?) + g(x),

которые редуцируют уравнения второго порядка
?2u
aµ? (x, u, u) + F (x, u, u) = 0 (41)
?xµ ?x?
1 1
Как расширить симетрию дифференциальных уравнений? 187

к обыкновенным ДУ. Важно рассмотреть случаи, когда уравнение (41) не инва-
риантно ни относительно групп P (1, 3), C(1, 3), ни относительно подгрупп этих
групп. Нетривиальные примеры таких уравнений приведены в [9, 10].
12. Исследовать симметрию и построить классы точных решений следующих
систем уравнений:
Dt H = ?rot E,
Dt E = rot H,
? ? ?
Dt ? + ? 1 Ek + ? 2 Hk ;
?t ?xk ?xk
? ?
D? Fµ? = 0, D? = + F?? , µ = 0, 3;
?x? ?x?
D? Fµ? + Dµ F?? + D? F?µ = 0.
Рассмотреть случаи, когда ?1 = ?2 = 1; ?1 = 1, ?2 = 0; ?2 = 1, ?1 = 0. При-
веденные уравнения можно рассматривать как нелинейное обобщение уравнений
Максвелла. При этом, конечно, следует добавить к первой системе уравнений
условие неразрывности: div E = 0, div H = 0.
13. Провести подробно теоретико-алгебраический анализ переопределенных
уравнений
2u + F1 (x, u, u) = 0, (42)
1

{bµ? (x, u)Jµ? + cµ (x, u)Pµ + dµ (x, u)Kµ + e(x, u)D}F2 (x, u) = 0, (43)
2u + F3 (x, u, u) = 0, (44)
1

?u ?u
(45)
aµ? (x, u) = F4 (x, u),
?xµ ?x?
?
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ , Pµ = igµ? ,
?x?
1
Kµ = 2xµ ? x? x? Pµ , (xµ P µ + Pµ xµ ).
D=
2
Описать функции F1 , F2 , F3 , F4 , aµ? , bµ? , cµ , dµ , e, при которих уравнения (42)–
(45) инвариантны относительньно групп C(1, 3), C(1, 4), P (1, 3), P (1, 4) и их по-
дгрупп. Если удастся при некоторых конкретных функциях F2 , bµ? , . . . решить
уравнение (43), то это даст нам анзацы для решения нелинейного волнового урав-
нения (42), которые не могут быть получены с помощью метода С. Ли. В том
случае, когда уравнение (42) инвариантно относительно операторов Pµ , Jµ? , Kµ ,
D, а функции bµ? , cµ , dµ , e являются постоянными, уравнение (43) дает нам ли-
евские анзацы для нахождения инвариантных решений уравнения (42). Решения
уравнения (43) приводят к нелиевским анзацам для волнового уравнения (42).
При этом, конечно, необходимо, чтобы система (42), (43) была совместной.
14. Исследовать симметрию и построить первые интегралы для обыкновенной
системы дифференциальных уравнений
dxµ ? ?
= xµ F1 (x, ??) + (??µ ?)F2 (x, x),
?
d?
?
?µ P µ ? = F3 (??)?.
188 В.И. Фущич

Приведенная система ОДУ описывает движение классической частицы в спинор-
?
ном поле ? . Рассмотреть случай, когда F3 (??) = m = const.
15. Описать все системы ОДУ вида
dv
m(v, E, H) = xF1 (x, v, E, H) + vF2 (x, v, vecE, H)+
dt (46)
+EF3 (x, v, E, H) + HF4 (x, v, vecE, H),
инвариантные относительно групп P (1, 3), G(1, 3) и их расширений (C(1, 3),
P (1, 4), C(1, 4), G(1, 4)). В (46) v = dx , x = (t, x1 , x2 , x3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), E,
dt
H — векторы электромагнитного поля.
16. Существуют ли нетривиальные решения для спинорного поля
? ?
pµ pµ ? + F (??, ??µ pµ ?)? = 0,
для которых
?Fµ? ? ?
= ???µ ?, Fµ? = ?1 ?[?µ , ?? ]?,
?x?
?Fµ? ?F?? ?F?µ
+ + =0
?x? ?xµ ?x?
или
? ?
p? p? Aµ + pµ (p? A? ) = m2 Aµ + Aµ F (??), Aµ = ???µ ?,
или
?
p? p? u = m2 u + F (u), u = ?(??),
?, ?1 — произвольные параметры.
17. Иссследовать симметрийные свойства и построить решения интегро-диффе-
ренциального уравнения для спинора
1/2
?
p 0 ? = p 2 + p 2 + p 2 + m2 (47)
? + F (??)?
1 2 3

с дополнительными нелинейными условиями:
? ? ?
?(1 ? ?4 )? = 0.
??µ pµ ? = ???; (48)
Рассмотреть отдельно случай: F = 0, ? = m. В этом случае решения линейного
уравнения Дирака (с положительной энергией) удовлетворяют уравнению (47) и
первому нелинейному условию (48).
18. Исследовать пространства с такими метриками:
?2u ?2u
?u ?u
µ
xµ + ?1 + ?2 x? x + ?1 µ + ?2 x? = F1 (x, u),
?x? ?xµ
?xµ ?x? ?xµ ?x
u — скалярная функция,
? ?
?(??) ?(??)
? ?
xµ + ?1 ?? µ ? + ?2
xµ + ?1 ??µ ? + ?2 = F2 (x, ?),
?xµ
?xµ
?
(xµ + ?1 ?µ ? + ?2 pµ ?)(xµ + ?1 ? µ ? + ?2 pµ ?) = F3 (x, ??).
Как расширить симетрию дифференциальных уравнений? 189

?
Рассмотреть случаи: F1 = const, F2 = const; F1 = x2 ± u2 , F2 = x2 ± (??),
?
F3 = x2 ± (??).
19. Исследовать симметрию и построить классы точных решений систем:
pµ pµ u1 = F1 (u1 , u2 ),
pµ pµ u2 = F2 (u1 , u2 ),

<< Предыдущая

стр. 45
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>