<< Предыдущая

стр. 46
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(pµ u1 )(pµ u2 ) = const,
p µ u 1 p µ u 1 = m1 , pµ u2 pµ u2 = m2 , pµ u1 pµ u2 = m3 .
20. Провести детальный теоретико-алгебраический анализ уравнений
1 1
(?µ wµ + wµ ?µ )? = ??, wµ = ?µ??? P ? J ?? ,
2 2
?
{?µ P + ??µ (?w ?)}? = 0,
µ µ


Проанализировать случай, когда ? матрица 4 ? 4. Обычно ? — столбец из 4
функций.
21. Исследовать симметрию и построить решения дифференциальных нера-
венств:
(p0 u)2 ? (pa u)(pa u) > 0;
1/2
p0 u > (p1 u)2 + (p2 u)2 + (p3 u)2 , p0 u > 0.


1. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
2. Ибрагимов Н.Х., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983, 278 с.
3. Olver P.J., Applications of Lie groups to differential equations, New York, Springer Verlag, 1986.
4. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, Теор. и
мат. физика, 1971, 7, № 1, 3–12.
5. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, Докл. АН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
6. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
7. Фущич В.И., Штелень В.М., О линейных и нелинейных системах диффереяциальных уравне-
ниях, инвариантных относительно группы Шредингера, Теор. и мат. физика, 1983, 56, № 3,
387–394.
8. Olver P.J., Rosenan P., The construction of special solutions to partial differential equations, Phys.
Lett. A, 1986, 114, № 3, 107–112.
9. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
10. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken
symmetry, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, № 2, L45–L48.
11. Шульга M.B., Симметрия и некоторые точные решения уравнения Даламбера с нелинейным
условием, в кн: Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1985, 36–38.
12. Чопик В.И., О групповых свойствах линейных уравнений параболического типа с нелинейными
дополнительными условиями, в кн: Симметрия и решения нелинейных уравнений математиче-
ской физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987, 63–66.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 190–198.

О симметрии и точных решениях
многомерных нелинейных волновых
уравнений
В.И. ФУЩИЧ

Мемуар Н.М. Крылова и Н.Н.Боголюбова [1] открыл широкую перспективу
для конструктивного исследования нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. В 1955 г. вышла в свет основополагающая монография Н.Н. Боголю-
бова и Ю.А. Митропольского [2], в которой развиты и математически обоснованы
асимптотические методы решения нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. Обобщению и применению асимптотических методов к нелинейным
дифференциальным уравнениям в частных производных (ДУЧП) посвящена ра-
бота Ю.А. Митропольского и Б.И. Мосеенкова [3]. Идеи и методы, развитые в
указанных работах, играют первостепенную роль в современной нелинейной ма-
тематической физике.
В настоящей статье приведены некоторые результаты по изучению симметрий-
ных свойств и построению семейств частных решений многомерных нелинейных
волновых уравнений.
В дальнейшем будем следовать такой схеме [4, 5]: выделим из множества вол-
новых ДУЧП такие, которые обладают высокой симметрией, а затем построим
их решения (аналитическими или приближенными методами). Нас будут инте-
ресовать не отдельные решения того или иного уравнения, а семейство (класс,
многообразие) его решений.
Линейные и нелинейные ДУЧП с нетривиальной симметрией обладают важным
свойством: если известно хотя бы одно их частное решение, то с помощью группо-
вых преобразований можно построить целое семейство точных решений. Именно
этим свойством нелинейных уравнений будем пользоваться в дальнейшем.
1. Рассмотрим уравнение

x ? R(1, n), u ? u(x),
u0 = F (x, u, u), x = (x0 , . . . , xn ),
1
(1)
u = (?u/?x1 , . . . , ?u/?xn ).
u0 = ?u/?x0 ,
1

?
где F — произвольная гладкая функция. Обозначим символом P (1, n) расши-
ренную группу Пуанкаре — группу вращений и сдвигов в R(1, n), дополненную
? ?
группой масштабных преобразований; AP (1, n) — алгебра Ли группы P (1, n).
?
Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно алгебры AP (1, n) с бази-
сными элементами
pA = igAB ?/?xB , JAB = xA pB ? xB pA , A, B = 0, n + 1,
(2)
D = xA pA = x0 p0 ? xa pa ? upn+1 , pn+1 = ?i?/?u, xn+1 = u, a = 1, n
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, C. 116–123.
О симметрии и точных решениях волновых уравнений 191

только в том случае, когда

?u ?u
F (x, u, u) = ±(ui ui + 1)1/2 , (3)
i = 1, n, ui u i = .
?xi ?xi
1

Доказательство этой теоремы [6] сводится к решению сильно переопределен-
ной системы ДУЧП для функции F (x, u, u). Решением этой системы являются
1
функции (3).
Следствие 1. Уравнение Гамильтона
2
?u ?u ?u ?u ?u
? = m2 , m2 = 1, (4)
=
?xµ ?xµ ?x0 ?xi ?xi
?
инвариантно относительно алгебры AP (1, n + 1).
2. Рассмотрим волновое уравнение второго порядка

2u + F (x, u) = 0, 2 = ? 2 /?x2 ? ? 2 /?x2 ? · · · ? ? 2 /?x2 . (5)
0 1 n

?
Теорема 2. Уравнение (5) инвариантно относительно алгебры AP (1, n) только
в таких двух случаях:

F (x, u) = F1 (u) = ?1 ur , (6)
r = 1,

(7)
F (x, u) = F2 (u) = ?2 exp u,

где ?1 , ?2 , r — произвольные константы.
Доказательство теоремы см. в [7]. Приведенные теоремы показывают, что есте-
ственным критерием отбора (выделения) довольно узкого класса нелинейных ДУ-
ЧП из всего множества уравнений является принцип инвариантности (симметрии)
[4–7].
Замечание 1. Уравнение (5) с нелинейностью (7) в двумерном пространстве R(1, 1)
инвариантно относительно бесконечномерной алгебры Ли, содержащей в качестве
?
подалгебры алгебру AP (1, 2). Эта симметрия дала возможность построить общее
решение уравнения (5), (7) [4, 5, 7]

?8f1 (x0 + x1 )f2 (x0 ? x1 )
(8)
u(x0 , x1 ) = ln ,
?2 [f1 (x0 + x1 ) + f2 (x0 ? x1 )]2

где ?1 , f2 — произвольные гладкие функции, f — производная по соответствую-
щему аргументу.
Замечание 2. Все решения двумерного уравнения (5), (7) имеют непертурбаци-
онный характер (решения (8) имеют сингулярность в точке ?2 = 0), поэтому к
уравнению неприменимы методы малого параметра. Для волнового уравнения со
степенной нелинейностью (6) такой результат не обнаружен. Более того, многие
частные решения уравнения (5), (6) аналитичны по ?1 [4, 7].
Замечание 3. При r = (n+3)/(n+1) уравнение (5), (6) инвариантно относительно
?
конформной алгебры AC(1, n) ? AP (1, n) [8].
192 В.И. Фущич

3. Выясним, какие уравнения описывают нелинейную теплопроводность. При-
нято считать, что нелинейные процессы теплопроводности и диффузии описываю-
тся нелинейными ДУЧП вида
?u ? ?u
x0 ? t, (9)
= C(u) + F (u), k = 1, 3.
?x0 ?xk ?xk
В случае, когда F (u) = 0, C(u) = const, уравнение (9), как показал еще С. Ли,
инвариантно относительно группы Галилея. Групповой анализ нелинейного урав-
нения (9) (при F (u) = 0) осуществил Л.В. Овсянников [9]. В [5] обращено вни-
мание на следующее свойство уравнений (9): ни одно нелинейное уравнение из
класса (9) не инвариантно относительно преобразований Галилея, т.е. для урав-
нений (9) (F (u) = 0, C(u) = const) не выполняется принцип относительности
Галилея. Поэтому для построения математической модели нелинейных процессов
теплопроводности и диффузии необходимо решить следующую задачу [5]: описать
эволюционные уравнения
x0 ? t
u0 + F (x, u, u, u) = 0, (10)
u0 = ?u/?x0 ,
12

инвариантные относительно группы Галилея G(1, n) и ее расширений. Если число
простоанственных переменных n ? 3, то галилеевски-инвариантные уравнения
полностью описывает следующая теорема.
Теорема 3. Уравнение (10) инвариантно относительно группы Галилея только
в таких случаях:
1) при n = 1
(11)
F = ?ui ui + ?1 (v1 ), v1 = ?u = u11 ;
2) при n = 2
u11 u12
= u11 u22 ? u12 u12 ,
F = ?ui ui + ?2 (v1 , v2 ), v2 =
u12 u22 (12)
v1 = ?u = u11 + u22 ;
3) при n = 3
F = ?ui ui + ?3 (v1 , v2 , v3 ), v1 = ?u,
(13)
u11 u12 u11 u13 u22 u23
v2 = + + , v3 = det uij ,
u12 u22 u13 u33 u23 u33
где ?1 , ?2 , ?3 — произвольные гладкие функции.
Доказательство теоремы 3 получено Серовой М.М. и автором [5]. Если алгебру
AG(1, n) дополнить операторами, которые порождают масштабные и проективные
преобразования, то функции ?1 , ?2 , ?3 конкретизируются, т.е. класс допустимых
галилеевски-инвариантных уравнений (10) сильно сужается. Например, в двумер-
ном случае [5] F = ?ui ui + ?1 (v1 ? 4v2 )1/2 , i = 1, 2.
Таким образом, ДУЧП второго порядка, описывающие нелинейные пространс-
твенные процессы теплопроводности и диффузии, имеют вид (10), (13). Далее,
на примере волнового уравнения (5), (6) покажем, как строить некоторые классы
точных решений нелинейных ДУЧП.
О симметрии и точных решениях волновых уравнений 193

4. Для построения частных решений ДУЧП используем анзац
(14)
u(x) = f (x)?(?) + g(x),
предложенный в [4]. С помощью этого анзаца построены широкие классы то-
чных решений многих нелинейных уравнений математической физики. В (14)
?(?) — функция, подлежащая определению, зависит от инвариантных перемен-
ных ?(x) = {?1 , . . . , ?n }. Явный вид функций f (x), g(x) определяется из усло-
вия “разделения” переменных, т.е. из требования, чтобы в уравнение для ?(?)
не входили явно переменные (x0 , . . . , xn ). Инвариантные переменные {?1 , . . . , ?n }
являются первыми интегралами соответствующего уравнения Эйлера–Лагранжа
[4, 7]. По алгебре инвариантности ДУЧП строится уравнение Эйлера–Лагранжа.
Число неэквивалентных анзацев зависит от размерности алгебры инвариантности
уравнения.
Формула (14), конечно, не исчерпывает все возможные анзацы для данно-
го уравнения. Так, широкий класс частных решений уравнений Гамильтона (4),
Монжа–Ампера [10, 11] можно найти в неявном виде, используя анзац [4, 5]
(15)
W (u) = f (x)?(?) + g(x),
где W (u) — произвольная гладкая функция от u, ? = ?(x, u).
Рассмотрим волновое уравнение (5) с нелинейностью (6) в пространстве
R(1, 3). Если реализовать приведенный алгоритм для уравнения (5), (6), то один
из возможных анзацев (14) имеет следующий явный вид:
ax
2/(1?r)
u(x) = (cx)2 + (dx)2 ?(?1 , ?2 , ?3 ), r = 1, ?1 = ,
bx
cx
?3 = (cx)2 + (dx)2 ((ax) · (bx))?1 , ?2 = ln (cx)2 + (dx)2 + 2? arctg ,
dx
(16)
a2 = ?b2 = ?c2 = ?d2 = 1, ab = ac = ad = bc = bd = cd = 0,
a2 = a2 ? a2 ? a2 ? a2 , ab = a0 b0 ? a1 b1 ? a2 b2 ? a3 b3 ,
0 1 2 3
ax = 0, bx = 0, dx = 0.
Анзац (16) редуцирует уравнение (5), (6) к ДУЧП с переменными коэффици-
ентами
?2? 2
?2?
2 ?? ?1
2 ?4 1+? 2 + ?3 ?3 ?1 ? ?1 ? 4 ?? 2 ?
2 2
1+ ?1
??1 ??2 3
?2? ?2? (17)
2 ?? ??
?2?3 1 + ?1 ? ?3 ? 2?3 ?1 ?
2 2
+ 4k
??1 ??3 ??2 ??3 ??1 ??2
?k 2 ? + ?1 ?2 = 0, k = 2/(r ? 1).
Найти частные решения уравнения (17) трудно, поэтому нужно редуцировать
его к уравнению с двумя независимыми переменными, а затем полученное ДУЧП
редуцировать к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Переход
к ОДУ можно осуществить и непосредственно из уравнения (17), если предполо-
жить, например, что ? зависит только от одной переменной ?1 . В ряде случаев не-
линейные ОДУ удается решить аналитически [4–7] или построить приближенные
решения с помощью метода Крылова–Боголюбова–Митропольского [12]. Заметим,
194 В.И. Фущич

<< Предыдущая

стр. 46
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>