<< Предыдущая

стр. 47
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


что некоторые редуцированные уравнения обладают значительно высшей симме-
трией, чем исходное уравнение. Этот факт свидетельствует о новых возможностях
для конструктивного построения широких классов решений.
Приведем два многопараметрических семейства точных решений уравнения Да-
ламбера (5) с нелинейностью (6), полученных по указанной схеме
1/(1?r)
u = (a? x? )2 + b? x? · c? x? (18)
,
где параметры a, b, c удовлетворяют условиям
a? b? = a? c? = b? b? = c? c? = 0, ? = 0, n ? 1,
2a? a? = b? b? = ?1 (r ? 1)2 (r ? 3)?1 , r = 3, r = 1;
2/(1?r)
u = [?(a? x? ) + b? x? ] (19)
,

причем a? a? = a? b? = 0, b? b? = ? 1 ?1 (1 ? r)2 (1 + r)?1 , r = ?1, ? — произвольная
2
гладкая функция.
Формула (19) задает решение уравнения (5), (6) через произвольную фун-
кцию ?, поэтому ее можно использовать для изучения соответствующей начальной
или граничной задачи.
Эффективная реализация анзаца (14) для нелинейных систем ДУЧП типа Ди-
рака и Максвелла–Дирака осуществлена в работах [13, 14].
5. Приведем несколько простых приемов, позволяющих строить семейство ча-
стных решений нелинейных пуанкаре-инвариантных ДУЧП. Ради конкретности
рассмотрим уравнение Даламбера (5) с кубической нелинейностью. Перейдем от
ДУЧП к ОДУ посредством вычеркивания слагаемых ? 2 u/?x2 , ? 2 u/?x2 , ? 2 u/?x2
1 2 3
в уравнении (5). Тогда получим
? 2 u/?x2 + ?F (u) = 0, F (u) = u3 . (20)
0

Уравнение (20) имеет, помимо хорошо известных решений в классе эллиптических
функций, простое частное решение
2 ?1
(21)
u1 (x) = i x, ? = 0.
?0
Воспользовавшись преобразованиями из группы Лоренца xµ = aµ? x? , размножим
решения (21) до решений, зависящих от всех переменных (x0 , x1 , x2 , x3 ):
2
(aµ xµ )?1 , aµ aµ = 1. (22)
u2 = i
?
Использовав конформные преобразования
xµ = ? ?1 xµ + cµ x2 , ? = 1 + 2c? x? + c2 x2 , (23)
u (x ) = ?u(x),
расширим решения (22) до семипараметрического семейства решений u3 = ? ?1 u2
(xµ > xµ ). Очевидно, что уравнению (5) можно сопоставить, например, ОДУ вида
? 2 u/?x2 + ?F (u) = 0, F (u) = u3 . В этом случае получим такие семейства решений
1
конформно-инвариантного уравнения (5):
2
(a? x? )?1 , a? a? = ?1, (24)
u2 =
?
?
О симметрии и точных решениях волновых уравнений 195

u3 = ? ?1 u2 (xµ > xµ ). (25)
? ?

Следует отметить, что размножать решения ДУЧП можно не только с помощью
преобразований, образующих группу Ли. Например, уравнение
2u + ?(x? x? )?1 u = 0 (26)
не инвариантно относительно конформных преобразований (23), но инвариантно
относительно инверсии
xµ > xµ = xµ /x2 , x2 = 0. (27)
Преобразование (27) не образует группу Ли. Если u1 — решение уравнения (26),
то новое решение u2 строится по формуле
1 xµ
u1 xµ > 2 . (28)
u2 =
x2 x
Формулу (28) можно рассматривать как обобщение известной теоремы Кельвина
для уравнения Лапласа на линейные и нелинейные волновые уравнения. Опи-
санный прием пригоден также и для отыскания частных решений галилеево-
инвариантных уравнений (10) [15].
Другой способ построения частных решений ДУЧП состоит в замене много-
мерного уравнения (5) системой двумерных ДУЧП вида
? 2 u/?x2 ? ? 2 u/?x2 + F (u) = 0, (29)
0 1

? 2 u/?x2 + ? 2 u/?x2 = 0. (30)
2 3

Двумерную систему (29), (30) легче решить, чем исходное многомерное уравне-
ние (5). Построив частные решения системы, размножим их до неразмножаемых
?
относительно групп P (1, 3) или C(1, 3). В случае, когда F (u) = ? exp u, все реше-
ния уравнения (29) имеют вид (8). Подставив (8) в (30), получим уравнение для
определения двух произвольных функций f1 и f2 . Если F (u) = sin u, уравнение
(29) имеет, как хорошо известно, солитонные решения.
Замечание 4. Неразмножаемые решения уравнений (5)–(7) относительно групп
G(1, 3), P (1, 3) и C(1, 3) можно использовать для квантования нелинейных вол-
новых уравнений. Один из возможных путей состоит в следующем: разложить
пуанкаре-инвариантное семейство решений уравнения (5) в интеграл Фурье, а за-
тем, как и в случае линейных уравнений, воспользоваться хорошо известными
приемами.
6. В предыдущих пунктах для отыскания частных решений существенно ис-
пользована симметрия ДУЧП. Естественно поставить следующий вопрос: возмо-
жна ли редукция многомерного ДУЧП в случае, когда уравнение не обладает
симметрией? Для положительного ответа на этот вопрос нужно построить уравне-
ние, которое, например, не инвариантно относительно группы Лоренца O(1, 3), но
допускает редукцию относительно лоренц-инвариантного анзаца. Такие уравнения
построены И.М. Цифрой и автором. Одно из них имеет вид
2u = (?0 /x0 )2 (?u/?x0 )2 + (?1 /x1 )2 (?u/?x1 )2 +
(31)
+(?2 /x2 )2 (?u/?x2 )2 + (?3 /x3 )2 (?u/?x3 )2 ,
196 В.И. Фущич

где ?0 , . . . , ?3 — произвольные параметры, xµ = 0. Уравнение (31) не инвариантно
относительно преобразований из группы O(1, 3), но имеет лоренц-инвариантные
решения. Решения (31) ищем с помощью лоренц-инвариантного анзаца
? = xµ xµ . (32)
u = ?(?),
Уравнение (31) после подстановки (32) редуцируется к ОДУ
4?d2 ?/d? 2 + 8d?/d? = 4?2 (d?/d?)2 . (33)
Частное решение уравнения (33) имеет вид
2 ?
? = ? v arctg v при ?2 = ?a2 < 0,
a2 a2
v
a2 + ?
1
v ln v
?=? при ?2 = ?a2 > 0.
a2 ? ?
a2
Таким образом, уравнение (31), не обладающее лоренц-симметрией, имеет ло-
ренц-инвариантные решения. Этот факт обусловлен тем, что некоторые подмноже-
ства в множестве всех решений уравнения (31) имеют более широкую симметрию,
чем множество всех решений уравнения (31). В рассматриваемом примере допол-
нительное условие, выделяющее лоренц-инвариантные решения, имеет вид
Jµ? = xµ ?/?x? ? x? ?/?xµ , (34)
Jµ? u(x) = 0, µ = 0, 3,
Jµ? — генератор группы O(1, 3). Вместо (34) можно использовать и менее жесткие
условия, например (Jµ? u)(Jµ? u) = 0 или Jµ? J µ? = 0.
Уравнение (31) совместно с дополнительными условиями (34) инвариантно
относительно O(1, 3), т.е. уравнение (31) на множестве решений линейных урав-
нений (34) лоренц-инвариантно.
Все изложенное выше относительно конкретного уравнения (31) обобщается и
на случай произвольного ДУЧП
L(x, u, u, u) = 0. (35)
12

?
Пусть {QA } — совокупность операторов из алгебры инвариантности уравнения
?
(35) [16], т.е. операторы {QA }, A = 1, N , переводят решение в решение. В рас-
?
смотренном примере {QA } = {Jµ? } — набор шести операторов, задающих группу
Лоренца. Для построения алгебры инвариантности необходимо использовать обоб-
щенное условие инвариантности
?
QA L(x, u, u, u) (36)
= 0,
L=0
12 ?
{QA u} = 0

?
где {QA u} = 0 — совокупность следующих уравнений:
? ? ?
Dn QA u = 0, (37)
QA u = 0, DQA u = 0, ...,
D — оператор полного дифференцирования. Если в уравнении (36) не учитывать
дополнительные уравнения (37), то обобщенное условие инвариантности совпадает
с классическим условием инвариантности С. Ли. Уравнения
? ?
D2 QA u = 0 (38)
DQA u = 0,
О симметрии и точных решениях волновых уравнений 197

?
представляют собой дифференциальные следствия из уравнения QA u = 0. Уравне-
ния (38) можно интерпретировать как дифференциальные связи, наложенные на
исходное уравнение (35). Примером ДУЧП со связями может быть система

2u = 0, (39)

?u ?u
(40)
= 0.
?xµ ?xµ

В [17] с учетом обобщенного условия инвариантности (36) найдена бесконечно-
мерная алгебра инвариантности системы (39), (40). Использование классического
определения инвариантности к системе (39), (40) дает конечномерную алгебру ин-
вариантности. Многочисленные применения обобщенного условия инвариантности
к линейным уравнениям математической физики рассмотрены в [18].
?
В случае, когда операторы {QA } являются дифференциальными операторами
µ
? ?
первого порядка QA = ?A (x, u) ?xµ + ? A (x, u), µ = 0, n, первое уравнение из (37)
можно использовать для нахождения функций f (x), g(x) в анзаце (14) при реду-
кции ДУЧП к ОДУ, т.е.
µ?
? {f (x)?(?) + g(x)} + ?{f (x)?(?) + g(x)} = 0.
QA u = ?A
?xµ
Замечание 5. Приведем системы дифференциальных уравнений с нелинейными
связями, которые могут иметь физические приложения:
1/2
?? ?? ??
2? = ?m ?, ± m2
2
= ,
?t ?xa ?xa
?? ??†
? = ?1 ?† ? + ?2 ?† ?;
?
?t ?t

?jµ ?? ??
2? = ?m2 ?, = 0, jµ = F1 (??)??µ ? + F2 (??)??4 ?µ ?,
?xµ

где ? — четырехксмпонентный спинор, ?† — сопряженный спинор, F1 и F2 —
произвольные гладкие функции.
Замечание 6. Укажем еще один способ решения нелинейных систем уравнений,
например, вида
?uµ ??
?
u? = 0, µ, ? = 0, 1, 2, 3; ??µ ? = 0.
?x? ?xµ
Дополним эти уравнения линейными волновыми уравнениями

2uµ = 0, 2? = 0.

Построив широкие классы частных решений линейных уравнений и подставив
их в нелинейные, можно найти семейства точных решений исходной нелинейной
системы. При этом желательно, чтобы система нелинейного и линейного уравне-
ний имела нетривиальную симметрию и, конечно, была совместна.
198 В.И. Фущич

1. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н., Введение в нелинейную механику, Киев, Изд-во АН УССР,
1937, 220 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний, М., Наука, 1955, 450 с.
3. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И., Асимптотические решения уравнений в частных прои-
зводных, Киев, Вища шк., 1976, 589 с.
4. Фущич В.И. Симметрия в задачах математической физики, в кн: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
5. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, в кн: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
6. Фущич В.И., Серов Н.И., О некоторых точных решениях многомерного нелинейного уравнения
Эйлера–Лагранжа, Докл. АН СССР, 1984, 278, № 4, 847–851.
7. Fushchych W.I., Sеrоv N.I. The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alemdert and eikonal equations, J. Phys. А: Маth. Gеn., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
8. Ибрагимов Н.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983, 280 с.
9. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
10. Fushchych W.I., Shtelen W.М., Тhе symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal
equation, Let. Nuovo Cim., 1982, 34, № 16, 498–502.
11. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения
Монжа–Ампера, Докл. АН СССР, 1983, 273, № 3, 543–546.
12. Шульга М.В., О точных и приближенных решениях одного нелинейного волнового уравнения,
в кн: Методы нелинейной механики и их приложения, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982,
149–155.
13. Fushchych W.I., Shtelen W.М., Оn some ехасt solutions of the nonlinear еquаtions оf quantum
elесtrobynamics, Рhуs. Lеtt. В, 1983, 128, 215–217.
14. Фущич В.И., Жданов Р.З., Точные решения систем нелинейных дифференциальных уравне-
ний для спинорного и векторного полей, в кн: Теоретико-групповые исследования уравнений
математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 20–30.
15. Fushchych W.I., Cherniha R.М., Тhе Gаlileаn relativistic principle аnd nonlinear раrtial differential
equations, J. Рhуs. А: Маth. Gеn., 1985, 18, № 18, 3491–3503.

<< Предыдущая

стр. 47
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>