<< Предыдущая

стр. 48
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

16. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, Докл. АН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
17. Шульга М.В., Симметрия и некоторые точные решения уравнения Даламбера с нелинейным
условием, в кн: Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1985, 36–38.
18. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 199–222.

О векторных лагранжианах для
электромагнитного и спинорного полей
В.И. ФУЩИЧ, И.Ю. КРИВСКИЙ, В.М. СИМУЛИК


Vector Lagrange functions have been constructed and analyzed for the electromagnetic
fields E, H in terms of field strengths, for spinor fields ? and for system of interacting
fields (E, H) and ?. The Noether’s theorem has been generalized in the case of vector
Lagrangians and the conserved quantities has been found for the electromagnetic and
spinor fields.

Построены и проанализированы векторные функции Лагранжа для электромагни-
тного поля в терминах наряженностей E, H спинорного поля ?, а также для системы
взаимодействующих полей (E, H) и ?. Обобщена теорема Нетер на случай вектор-
ных лагранжианов, и вычислены сохраняющиеся величины для электромагнитного
и спинорного полей.


Введение
Поиск новых симметрии уравнений Максвелла и законов сохранения для эле-
ктромагнитного поля по-прежнему может приводить к обнаружению неизвестных
ранее свойств и закономерностей [1–3], которыми обладют эти замечательные
уравнения. В работах [4–9] эта задача решается в рамках лагранжева подхода
на основе различных функций Лагранжа для электромагнитного поля в терминах
напряженностей с использованием теоремы Нетер [10, 11] и ее обобщения [12, 13]
на случай нелиевских (негеометрических) симметрий, многочисленные примеры
которых приведены в [1–3].
Известны многие попытки [14–18] построения лагранжева подхода для электро-
магнитного поля в терминах напряженностей E, H электрического и магнитного
полей без привлечения потенциалов Aµ в качестве вариационных переменных.
Для поля напряженностей (E, H) вариационный принцип сформулирован в [14]
в форме Гамильтона. В [15] выписана без какого-либо анализа простейшая фун-
кция Лагранжа, дающая часть из уравнений Максвелла. Необходимые уточнения
функции Лагранжа, предложенной в [15], и анализ сохраняющихся величин на
ее основе выполнены в [4, 5]. Такая функция Лагранжа, однако, оказалась ну-
левой компонентой 4-вектора группы Пуанкаре. В [7] этот лагранжиан обобщен
до 4-вектора и на этой основе построен скалярный лагранжиан, однако, явно за-
висящий от координаты x ? Rx . Скалярные лагранжианы подробно обсуждены
в [8, 9].
Анализ преложенных в [6, 16] формулировок L-подхода для уравнений Ма-
ксвелла в форме Майораны–Оппенгеймера (диракоподобной форме) показывает,
что построенным в [6, 16] функциям Лагранжа присущи те же трудности, что и
лагранжианам [4, 5, 15] (заметим, что лагранжиан в [16] неоправданно объявлен
Препринт № 87.54, Киев, Институт математики АН УССР, 1987, 39 с.
200 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

скаляром). Варианты скалярных функций Лагранжа предложены в [17] с помощью
привлечения электрического и магнитного токов в качестве вариационных пере-
менных. Однако уравнения Эйлера–Лагранжа (ЭЛ) для лагранжианов в [17] дают
только уравнения Максвелла с токами, тогда как нетеровские токи в [17] сохраня-
ются только для уравнений Максвелла, свободных от электрических и магнитных
токов, а такие уравнения не получаются как уравнения ЭЛ для лагранжианов
в [17]1 .
Использование векторного лагранжиана в качестве альтернативы к скалярному
предложено в [18], где, однако, построена только псевдовекторная относительно
полной группы Пуанкаре функция Лагранжа, а взаимодействие со спинорным по-
лем, удовлетворяющим уравнению Дирака, ввести не удалось.
Цель настоящей работы — построение и детальный анализ векторных (относи-
тельно собственной и полной группы Пуанкаре) функций Лагранжа для свободных
и системы взаимодействующих электромагнитного (E, H) и спинорного ? полей,
анализ симметрийных свойств этой модели и отыскание сохраняющихся величин
на основе обобщения теоремы Нетер на случай векторных лагранжианов.
В разделе 2 анализируются симметрийные свойства уравнений Максвелла для
электромагнитного поля в терминах напряженностей и уравнений для потенциа-
лов. Проиллюстрировано наличие у уравнений Максвелла таких симметрий, кото-
рыми уравнения для потенциалов, в принципе, обладать не могут. Попутно отме-
чено, что в пространстве ?0 решений уравнений Максвелла реализуются два ра-
зличных представления конформной группы C(1, 3) — кинематическое и динами-
ческое.
В разделе 3 обращается внимание на то, что не существует скалярной функции
Лагранжа (в терминах напряженностей), для которой уравнения ЭЛ совпадали бы
с уравнениями Максвелла. Поэтому уравнения Максвелла переписаны в эквива-
лентной форме, а именно, в виде равенства нулю тензора 3-го ранга. Уравнения
Максвелла в тензорной форме могут бытъ получены в качестве уравнений ЭЛ, но
для векторных функций Лагранжа.
В разделе 4 рассмотрена функция Лaгрaнжa в терминах тензора напряженно-
стей электромагнитного поля, которая является вектором относительно собствен-
ной ортохронной группы Пуанкаре P (1, 3). Обобщена теорема Нетер о законах со-
хранения на случай векторных лагранжианов, найден явный вид сохраняющихся
токов, порождаемых произвольным преобразованием инвариантности свободных
уравнений Максвелла.
В разделе 5 построена вeктopнaя, относительно полной группы Пуанкаре
? (1, 3), функция Лагранжа для поля (E, H). Проанализированы ее преимущества
P
над P (1, 3)-векторной функцией Лагранжа.
В разделе 6 paccмотрены два варианта векторных уравнений для спинорно-
го поля (эквивалентных уравнению Дирака) и предложен векторный подход для
этого поля. Построена векторная функция Лагранжа для системы минимально и
локально взаимодействующих электромагнигного (E, H) и спинорного ? полей.
В разделе 7 приведены выводы и коментарии к основным полученным в насто-
ящей paбoте результатам.

например, в функции Лагранжа (2.6) из [17] j l = 0 получаем лагранжиан L1 =
1 Полагая,

?(1/2)Fµ?,? F µ?,? , для которого лагранжева производная по F ?? дает уравнения 2F ?? = 0, ко-
торые не аквивалеитны свободным уравнениям Максвелла.
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 201

2. Симметрийные свойства уравнений для электромагнитного поля
в терминах напряженностей и потенциалов
Уравнения Максвелла
?0 E = rot H ? j, ?0 H = ?rot E,
div E = ?, div H = 0 (1)
для напряженнстей E = (E i ), H = (H i ) электромагнитного поля (в гауссовой
системе единиц, в которой ?0 = µ0 = c = 1) в терминах тензора напряженностей
F ? (F µ? ) = (E, H) : F ?µ = ?F µ?
F 0i = E i , F ij = ?ijk H k , (2)
в обозначениях
1 µ???
Qµ ? F µ? = ?? F µ? (x), Rµ ? ?F µ? , ?F µ? ? (3)
? F?? ,
,? ,?
2
j ? (j µ ), µ = 0, 1, 2, 3 ? 0, 3,
j 0 = ?, j = (j i ), (4)
i = 1, 3,

принимают вид
Qµ ? j µ = 0, Rµ = 0. (5)
Системы уравнений (1) и (5) эквивалентны, поскольку Q = (Qµ ) и R = (Rµ ):

Qi = (??0 E + rot H)i ? ??0 E i + ?ijk ?j H k ,
Q0 = div E, (6)

Ri = (??0 H ? rot E)i ? ??0 H i ? ?ijk ?j E k .
R0 = div H, (7)

Уравнения Максвелла в форме (5) имеют ковариантный вид, а именно, два ве-
?
ктора Q = (Qµ ? j µ ), R = (Rµ ) относительно собственной opтохронной группы
Пyaнкapе P (1, 3) равны нулю. Поэтому естественной и логичной является задача
построения релятивистики инвариантного лагранжева подхода (L-подхода) именно
в терминах тензора напряженностей F (2) электромагнитного поля, а не в терми-
нах вектора-потенциала A = (Aµ ). Это актуально хотя бы потому, что описание
электромагнитного поля в терминах тензора напряженностей F (2) и описание
этого поля в терминах вектора-потенциала A = (Aµ ), удовлетворяющего системе
уравнений
?µ ? ? A? ? 2Aµ = jµ , 2 ? ? µ ?µ , (8)
— неэквивалентные описания во многих аспектах. Действительно, стандартная
замена переменных
Fµ? = ?µ A? ? ?? Aµ ? A?,µ ? Aµ,? (9)
переводит уравнения (5) в уравнения (9); однако для функции Лагранжа
1
LA = ? (Aµ,? ? A?,µ )(Aµ,? ? A?,µ ) + Aµ j µ , (10)
4
приводящей к уравнениям (8), преобразование A > F (9) не является преобра-
зованием форм-инвариантности даже для свободного электромагнитного поля, по-
скольку функция (10) (c j = 0) после замены (9), т.е. функция

L = ?Fµ? F µ? /4 = E 2 ? H 2 /2, (11)
202 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

расматриваемая как функция тензора F (2) (а не комбинаций (9) производных
Aµ,? ), приводит к бессодержательным уравнениям ЭЛ:

?L/?F ?? = ?F?? /2 = 0. (12)

Далее, с теоретико-групповой точки зрения F и A — это существенно разные
объекты: F = (F µ? ) (2) есть (антисимметричный) тензор 2-го ранга, тогда как
A = (Aµ ) есть тензор 1-го ранга относительно группы Лоренца. На языке неприво-
димых представлений собственной ортохронной группы Лоренца O(1, 3) это озна-
чает, что поле A = (Aµ ) преобразуется по представлению D 1 , 1 группы O(1, 3),
22
тогда как поле F = (F µ? ) (2) преобразуется по представлению D(1, 0) ? D(0, 1)
этой группы. Более того, множества ?0 = {F } и ?0 = {A} решений уpaвнений
(5) и (6) инвариантно относительно существенно различных представлений груп-
пы симметрии безмассовых уравнений — конформной группы C(1, 3) ? P (1, 3).
В этой связи укажем (см., например, [1, 2, 12]), что через матричные генераторы
Sµ? группы O(1, 3), удовлетворяющие соотношениям

[Sµ? , S?? ] = gµ? S?? ? gµ? S?? ? g?? Sµ? + g?? Sµ? , (13)

и через генераторы C(1, 3) — преобразований в пространстве-времени
?
?µ ? Mµ? = xµ ?? ? x? ?µ , Kµ = 2xµ d ? x2 ?µ ,
d = xµ ?µ ,
, (14)
?xµ
которые удовлетворяют соотношениям

[?µ , M?? ] = gµ? ?? ? gµ? ?? , (15а)
[?µ , ?? ] = 0,

[Mµ? , M?? ] = gµ? M?? ? gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? , (15б)

[?µ , K? ] = 2(gµ? d ? Mµ? ), (15в)
[?µ , d] = ?µ , [Mµ? , d] = 0,

[Kµ , M?? ] = gµ? K? ? gµ? K? , (15г)
[d, Kµ ] = Kµ , [Kµ , K? ] = 0,

генераторы произвольного представления группы C(1, 3) (т.е. в любом множе-
cтвe ? многокомпонентных функций над Rx ) выражаются как
? ?
jµ? = Mµ? ? Sµ? , d = d ? ? = xµ ?µ ? ?, (16а)
?µ = ,
?xµ
?
?
Kµ = 2xµ d ? x2 ?µ ? 2Sµ? x? = Kµ ? 2Sµ? x? ? 2? xµ , (16б)

где ? — любая матрица, коммутирующая с Sµ? (степенью конформности мы на-
зываем матрицу ? ).
Принципиальное различие описания электромагнитного поля в терминах тен-
зора F (2) или вектора A с теоретико-групповой точки зрения состоит в том, что
множество ?0 = {F } решений уравнений Максвелла (5) инвариантно относитель-
но алгебры AC(1, 3) (16) со степенью конформности ? = ?2 и с матрицами Sµ? ,
задаваемыми равенствами

(Sµ? F )?? ? Sµ? F?? = gµ? F?? ? gµ? F?? + g?? Fµ? ? g?? Fµ? , (17)
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 203

тогда как множество ?0 = {A} решений уравнения (8) инвариантно относительно
алгебры AC(1, 3) (16) со степенью конформности ? = ?1 и с матрицами Sµ? ,
задаваемыми равенствами
(Sµ? A)? ? Sµ? A? = Aµ g?? ? A? gµ? . (18)
Кстати, утверждение о том, что F (2) преобразуется по представлению D(1, 0)
?D(0, 1) группы O(1, 3), а A = (Aµ ) — по представлению D 1 , 1 этой группы,
22
следует именно из явного вида (17) и (18) генераторов Sµ? представлений группы
O(1, 3) в множествах ?0 = {F } и ?0 = {A}.
Замечание 1. Пусть A = (Aµ ) трактуется как вектор не только относительно
группы Пуанкаре P (1, 3) ? O(1, 3), но и относительно группы C(1, 3) ? P (1, 3),
т.е. постулируется, что при C(1, 3)-преобразованиях
1
i
x > x = ?(x, ?) = 1 + aµ pµ + ? µ? Mµ? + ?d + bµ Kµ x (19)
2
в пространстве-времени Rx набор A = (Aµ ) четырех функций над Rx преобразуе-
тся по правилу
??µ (x, ?) ?
Aµ (x) > A µ (x ) = (20)
A (x)
?x? x>??1 (x ,?)

(символ “i” в (19) обозначает “инфинитезимально”, а ??1 (x, ?) в (20) есть пре-
образование в Rx , обратное к ?(x, ?);
? ? (a, ?, ?, b), a ? (aµ ), ? ? (? µ? ), b ? (bµ ), (21)
суть весщественные параметры C(1, 3)-преобразований в Rx ). Тогда инфинитези-
мально преобразование (20) имеет вид
1
i ? ?
Aµ (x) > A µ (x) = 1 ? a? ?? ? ? ?? j?? ? ? d ? b? K? Aµ (x), (22)
2
в котором генераторы задаются формулами (16) с Sµ? (18) со степенью конформно-
сти ? = 1. Но оператор (16б) с Sµ? (18) и ? = 1 не является генератором преобра-
зований инвариантности уравнений (8) (c j = 0) для A = (Aµ ) (он является гене-
ратором преобразований инвариантности уравнений (8) лишь при ? = ?1). Анало-
гично этому, если F = (F µ? ) трактовать как (антисимметричный) тензор группы
C(1, 3), т.е. постулировать, что при C(1, 3)-преобразованиях (19) тензор F (2) пре-
образуется по закону
??µ (x, ?) ??? (x, ?) ??
(x) > F
µ? µ?
(23)
F (x ) = F ,
?x? ?x? x=??1 (x ,?)

то для (23) инфинитезимально получаем формулу
1
i ? ?

<< Предыдущая

стр. 48
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>