<< Предыдущая

стр. 49
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

F µ? > F 1 ? a? ?? ? ? ?? j?? ? ? d ? b? K? F µ? (x),
µ?
(24)
(x) =
2
в которой генераторы задаются формулами (16) с Sµ? (17) и со степенью кон-
формности ? = 2. Но оператор (16б) с Sµ? (17) и ? = 2 не является генератором
преобразований инвариантности уравнений Максвелла (5) (c j = 0) для F (2) (он
204 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

является генератором преобразований инвариантности уравнений (5) лишь при
? = ?2).
В этой связи преобразование (23) следует интерпретировать как кинемати-
ческое C(1, 3)-преобразование в том смысле, что оно задает правило пересчета
значений тензора F (2) в одной и той же (произвольно фиксированной) точке
пространства-времени, но в разных системах отсчета, связанных C(1, 3)-преоб-
разованием (19), в то время как преобразование (24) с ? = ?2 (и порождаемое
им конечное C(1, 3)-преобразование) есть динамическое преобразование, т.е. пре-
образование инвариантности уравнений Максвелла (5) j = 0 в одной и той же
(произвольно фиксированной) инерциальной системе отсчета. Аналогично тракту-
ется преобразование (20) (инфинитезимально — преобразование (22) с ? = 1) и
преобразование (22) с ? = ?1. Для подгруппы P (1, 3) ? C(1, 3) кинематические и
динамические преобразования (20) или (23) как не зависящие от ? , совпадают.
3амечание 2. Стандартная квантовая электродинамика формулируется в терминах
потенциалов, на которые налагается также дополнительное условие (калибровка)
в той или иной ковариантной форме, например условие Лоренца, т.е. вектор A =
(Aµ ) считается удовлетворяющим не системе уравнений (8), а системе
2Aµ = jµ , ?A ? ?µ Aµ = 0. (25)
Однако система (25) j = 0, в отличие от системы (8) с j = 0, вообще C(1, 3)-
неинвариантна, хотя условие Лоренца ?A = 0 инвариантно относительно преобра-
зований (22) c ? = ?3, но уравнение Даламбера 2A = 0, вообще говоря, не
инвариантно относительно преобразований (22) ни при каком ? (более точно: опе-
ратор (16б) не является генератором преобразований инвариантности уравнения
2A = 0 ни при каком ? )2 . Кроме того, уравнения (8) или (25) для потенци-
алов но позволяют описать давно установленую [19–21] симметрию свободного
поля, задаваемую преобразованием дуальности (названным в [2] преобразованием
Хевисайда–Ламора–Райнича) и как следсвие — установленную и [4, 5] 32-мерную
aлгебру инвариантности и соответствующую ей группу. В этом смысле можно
говорить о потере симметрийных свойств при переходе от описания електромагни-
тного поля в терминах тензора F (2) к описанию этого поля в терминах потенциала
A = (Aµ ).

3. Тензорная форма уравнений Максвелла
Общепринято требовать, чтобы функция Лагранжа для того или иного по-
ля (или системы полей) была скаляром (псевдоскаляром) относительно группы
Лоренца (или более широкой группы преобразований). И формулировка кванто-
вой электродинамики именно в терминах потенциалов связана, видимо, с тем,
что в терминах тензора напряженностей F (2) не существует скалярной функции
Лагранжа, для кoтоpoй уравнения Эйлера–Лагранжа (ЭЛ) совпадали бы непо-
средственно с уравнениями Максвелла (5). Справедливость зтого утверждения
очевидна уже из того, что лагранжева производная от скаляра по тензору 2-
го ранга есть тензор 2-го ранга, тогда как уравнения (5) имеют вид равенства
?
нулю двух векторов Q = (Qµ ? j µ ) и R = (Rµ ) (3). Поэтому при построении
отметить, что не существует C(1, 3)-инвариантного подмножества решений системы
2 Интересно
?
уравнений (25). Действительно, равенство 2K? Aµ = 0 выполняется вместе с 2Aµ = 0 только при
условиях ?A = 0 и 2?µ A? ? ?? Aµ = 0, а последнее эквивалентно условию A(x) = const.
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 205

L-подхода для электромагнитного поля напряженностей F (2) естественно отказа-
ться от стандартного требования (псевдо)скалярности функции Лагранжа и рас-
смотреть возможность построения L-подхода, использующего в качестве функции
Лагранжа нескалярные коварианты. Ковариантом минимальной размерности, для
которого уравнения ЭЛ эквивалентны уравнениям Максвелла (5), оказывается
(см. раздел 4) вектор Lµ относительно собственной ортохронной группы Пуанкаре
P (1, 3) (псевдовектор относительно полной группы Пуанкаре P (1, 3), включаю-
?
щей отражения); при использовании переменной F , дуально сопряженной к F (2),
в качестве независимой лагранжевой переменной таким ковариантом оказывае-
?
тся (см. раздел 5) вектор Lµ? относительно полной группы Пуанкаре P (1, 3), и
эта возможность является предпочтительной (в дальнейшем краткими термина-
?
ми P -ковариант или P -ковариант будем при необходимости различать коварианты
?
относительно групп P (1, 3) или P (1, 3)).
Лагранжева производная от вектора Lµ по тензору 2-го ранга F (2) есть тензор
3-го ранга. Поэтому для построения L-подхода, основанного на концепции ве-
кторной функции Лагранжа, необходимо пореписать уравнения Максвелла в виде
равенства нулю тензора 3-го ранга.
Теорема 1. При любых ab = 0 = a b система уравнений
Tµ?? ? a[gµ? (Q? ? j? ) ? gµ? (Q? ? j? )] + b?µ??? R? = 0, µ, ?, ?, ? = 0, 3, (26)
а также система уравнений
Tµ?? ? a (gµ? R? ? gµ? R? ) + b ?µ??? (Q? ? j ? ) = 0, (27)
эквивалентна исходной системе уравнений Максвелла (5).
Доказательство. Если расписать тензора Tµ?? и Tµ?? по компонентам, то легко
убедиться, что из всех уравнений (26) или (27) независимы только 8 уравнений,
причем уравнения T0?? = 0 (или T0?? = 0) дают лишь первое и третье уравне-
ния в системе (1), а уравнения Ti?? = 0 (или Ti?? = 0) содержат всю систему
уравнений (1) (т.е. все уравнения (5)).
Система уравнений (26) имеет вид равенства нулю тензора 3-го ранга отно-
?
сительно группы P (1, 3), тогда как система уравнений (27) имеет вид равенства
нулю псевдотензора 3-го ранга этой группы. В этом смысле система (26) имеет
преимущество над системой (27). При необходимости подчеркнуть указанное ра-
?
зличие систем (26) и (27), систему (26) кратко называем P -системой, а систему
?
(27) — P –псевдосистемой.

4. P -векторная функция Лагранжа
Наиболее общий вид P -векторной функции Лагранжа L = (Lµ ), которая может
быть построена из тензоров F (2), Q, R, E(3) и j(4) и для которой уравнения
ЭЛ могут привести к уравнениям первого порядка для F (2), с точностью до 4-
дивергентных слагаемых таков:
Lµ = Fµ? (a1 Q? + a2 R? + q1 j ? ) + ?Fµ? (a3 Q? + a4 R? + q2 j ? ). (28)
Производные Эйлера–Лагранжа
?Lµ ?Lµ ?Lµ
? ? ?? (29)
, µ = 0, 3,
?F ??
?F ?? ?F ?? ,?
206 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

от функций (28) имеют вид
?Lµ
= (a1 ? a4 )(gµ? Q? ? gµ? Q? ? Fµ?,? ? F?µ,? )+
?F ??
(30)
+a2 [2(gµ? R? ? gµ? R? ) + ?F??,µ ] ? a3 [2(?Fµ?,? + ?F?µ,? + ?F??,µ ]?
?q1 (gµ? j? ? gµ? j? ) ? q2 ?µ??? j ? .

Из сравнения (30) с (26) и (27) с учетом тождества

??µ??? Q? = ?Fµ?,? + ?F??,µ + ?F?µ,? (31)

видно, что лагранжева производная (30) может совпадать только с тензором Tµ??
в (27) и требование такого совпадения с необходимостью приводит к следующим
условиям на коэффициенты в T (27) и Lµ (28):

a = ?b = 2a2 = ?2a3 = ?q2 , a1 ? a4 = q1 = 0. (32)

При этих условиях функция Лагранжа (28) принимает вид

Lµ = Lµ (F, F,? ) ? a1 (F µ? Q? + ?F µ? R? ) + a2 [F µ? R? ? ?F µ? (Q? ? j? )], (33)

а ее уравнения ЭЛ —
?Lµ
= Tµ?? ? 2a2 [gµ? R? ? gµ? R? ? ?µ??? (Q? ? j ? )] = 0. (34)
??
?F
Воспользовавшись обозначениями (3) и тождеством
1
,?
F?? F ??,µ ? F?? F µ?,? ,
?F µ? ?F?? = (35)
2
распишем функцию (33) в более наглядном виде
1
,?
Lµ = Lµ (F ?? , F ?? ) ? a1 F µ? F?? + F?? F ??,µ ? F?? F µ?,? +
,?
2 (36)
,? ,?
? ?F
µ? µ? µ?
+a2 (F ?F?? F?? + ?F j? ).

Приведенное рассмотрение убеждает, что в L-подходе, базирующемся на кон-
цепции векторной функции Лагранжа (в векторном L-подходе), используются че-
тыре функции Lµ : R30 > R1 (33), порождающие четыре действия W µ : ? > R1 ,
задаваемые формулами

W µ (F ) ? d4 x Lµ (F (x), ?? F (x)), F ? ?, (37)
µ = 0, 3

(в качестве области ? определения действия (37) без ограничения общности рас-
смотрения можно выбрать, например, множество шестерок F (2) дважды непре-
рывно-диффереацируемых функций F µ? над Rx ). Следовательно, принцип наи-
меньшего действия в векторном L-подходе формулируется иначе, чем в L-подходе,
базирующемся на скалярной функции Лагранжа. А именно, в применении к эле-
ктромагнитному полю F (2) принцип наименьшего действия в векторном L-подходе
переформулируется в виде следующего утверждения.
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 207

Теорема 2. Пересечение ? = ??µ множеств ?µ экстремалей четырех дей-
0 0
ствий (37), задаваемых P -векторной функцией Лагранжа (33), совпадает с
множеством решений уравнений Максвелла (1).
Доказательство. Справедливость этой теоремы следует из вычисленного выше
явного вида (34) уравнений ЭЛ для (33) и из теорамы 1 эквивалентности системы
T -уравнений (27) уравнениям Максвелла (5), т.е. (1). Теорема доказана.
Итак, принцип наименьшего действия, сформулированный в форме теоремы 2
на основе P -векторной функции Лагранжа Lµ (33) в терминах тензора напряжен-
ностей F (2) и тензора скоростей F,µ как вариационных переменных, может дать
только одну из двух систем (26), (27), эквивалентных исходной системе уравнений
?
Максвелла (5), а именно, P -псевдосистему (27). Причем этот принцип устраняет
произвол в константах a , b в системе (27), после чего без ограничения общности
можно положить a = ?b = 1. Из доказательства теоремы 2 видно, что справе-
дливо также утверждение.
Следствие. Из тензоров F µ? (2), F µ? и ?µ??? нельзя построить P -векторной
,?
?
функции Лагранжа, для которой уравнения ЭЛ совпадали бы с P -системой
(26).
Рассмотрим теперь вопрос о том, как вычисляются законы сохранения в ве-
кторном L-подходе.
Теорема 3. Пусть

q : F (x) > F (x) = q F (x) (38)
? ?

— произвольное преобразование инвариантности уравнений Максвелла (5) с
?
j = 0. Тогда тензор тока ?µ , построенный на основе Lµ (31) по формуле
?

1 ?Lµ
?
q > ?µ? ? ? ?? , (39)
? ?? q F
2 ?F ,?
симметричен и его дивергенция исчезает для любого решения уравнений (5) с
j = 0:
? ? ? ?
?µ? = ?µ? , ?µ ?µ? = ?? ?µ? = 0. (40)

Доказательство. Для функции Лагранжа Lµ (33) находим
?Lµ µ?
(a1 F?? + a2 ?F?? )??? + (a2 F µ? + a1 ?F µ? )????? g ?? , (41)
?? = g ??
?F ,?
где

?µ? ? ?? ?? ? ?? ?? .
µ? µ?
(42)
??

С учетом тождеств

??? F ?? ??
?F µ? ?F?? = F?? F ?µ
+ ?? F ?? F?? (43)
= 2F ,
??
2
для тока (39) получаем формулу
?
?µ? = a1 ?µ? + a2 ? µ? , (44)
208 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

где
1
?µ? = g µ? (F?? F ??
+ F?? F ?? ) + g µ? F ?? F?? , (45)
2
? ?F?? F
? µ? = (F?? ?F ?µ ?µ
)g ?? . (46)

С учетом тождества

??F?? F ?µ
= F µ? ?F?? + ?? F ?? ?F?? (47)
2
для (46) получаем также представление
1
? µ? = g µ? (F?? ?F ??
+ ?F?? F ?? ) + g µ? F ?? ?F?? . (48)
2
Отсюда видно, что
? µ? = ?µ? (? > ??), ?µ? = ? µ? (? > ???). (49)
q q q q
Из представлений (45), (48) наглядно видна симметричность тензоров ?, ? , а
?
вследствие (44) — симметричность тензора ? (39). Воспользовавшись антисим-

<< Предыдущая

стр. 49
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>