<< Предыдущая

стр. 5
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

J1 0 ?J1 0 J2 0
? ? ? ?
000 00 J4
J3 = ? 0 J3 0 ? , J4 = ? 0 0 ?.
? ? 0
J4 0 J4 ? J4
T T
000
Тогда получаем, что
? ? ? ? (5.2)
J = J1 + J2 + J3 + J4 .

Разложение (5.2) будем называть естественным разложением элемента J. Если L1 ,
(n?2r)
L2 , L3 и L4 — проекции подалгебры L на LO(r), Vr , LO(p?r, q ?r) и gl(r, R)
соответственно, то согласно разложению (5.2) получаем естественное разложение
? ? ? ?
L = L1 + L2 + L3 + L4 (5.3)
? ? ?
подалгебры L в подпрямую сумму подалгебр Li , где Li = {J | J ? Li }. Разложение
(5.3) будем записывать также в виде L = L1 ? L2 ? L3 ? L4 , рассматривая L как
(n?2r)
подмножество подпрямого произведения множеств LO(r), Vr , LO(p ? r, q ? r)
и gl(r, R). Соответственно этому разложение (5.2) будем записывать в виде J =
J1 ? J2 ? J3 ? J4 . Имеет место следующее предложение.
Предложение 5.1. Если подалгебры L и L изотропного ранга r алгебры LO(p, q)
O(p, q)-сопряжены, то подалгебры L3 и L3 O(p ? r, q ? r)-сопряжены, а подал-
гебры L4 и L4 — GL(r, R)-сопряжены.
Доказательство. Будем считать, что максимальные вполне изотропные подпро-
странства N0 и N0 , инвариантные относительно L и L совпадают. Если ? O(p, q)-
автоморфизм, отображающий L на L , то, очевидно, ?(N0 ) = N0 . Следовательно, ?
можно рассматривать как автоморфизм максимальной подалгебры Lr изотропного
ранга r. Автоморфизм ? определяется матрицей
? ?
C11 C12 C13
C = ? C21 C22 C23 ? ? O(p, q), (5.4)
C31 C32 C33
где C11 , C22 , C33 — квадратные матрицы степеней r, n ? 2r, r соответствен-
но. Поскольку CN0 = N0 , то C23 = ?C21 , C11 + C13 = C31 + C33 . Из условия
C T Jp,q C = Jp,q получаем далее, что Jp,q C T Jp,q C = E, и потому C ?1 = Jp,q C T Jp,q .
Поскольку C ?1 N0 = N0 , то C12 = C32 . Из условия C T Jp,q C = Jp,q находим, что
T
C22 Jp?r,q?r C22 = Jp?r,q?r .
Пусть J3 — произвольный элемент подалгебры LO(p ? r, q ? r), тогда
? ? ? ?
? ? ?
000
C ?1 ? 0 J3 0 ? C = ? ? C22 J3 C22 ? ? .
?1
(5.5)
? ? ?
000
20 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Подействуем далее автоморфизмом ? на матрицу
? ?
00 B
T =? 0 0 ?.
0
0 B?B
T T
B
Имеем
? ?
?
t11 t13
?? ? ?,
?1
t22
C TC =
? ? ?
где
t11 = ?C13 B T C11 + C11 BC31 ? C13 B ? B T C31 ,
T T T

t13 = ?C13 B T C13 + C11 BC33 ? C13 B ? B T C33 ,
T T T
(5.6)
t22 = ?Jp1 ,q1 C32 B T C12 + Jp1 ,q1 C12 BC32 ? Jp1 ,q1 C32 B ? B T C32 = 0,
T T T


и Jp1 ,q1 = Jp?r,q?r . Учитывая равенство C11 + C13 = C31 + C33 , находим
t13 ? t11 + C11 ? C31 B(C31 + C33 ).
T T
(5.7)

Докажем, что C11 ? C31 (C31 +C33 ) = E. Действительно, используя соотношение
T T

C T Jp,q C = Jp,q , получаем, что
C11 C11 + C21 Jp1 ,q1 C21 ? C31 C31 = E,
T T T
(5.8)

C11 C13 + C21 Jp1 ,q1 C23 ? C31 C33 = 0.
T T T
(5.9)

Сложим почленно равенства (5.8) и (5.9). Тогда ввиду равенств C21 = ?C23 и
C11 + C13 = C31 + C33 имеем
C11 ? C31 (C31 + C33 ) = E,
T T
(5.10)
что и требовалось доказать. Таким образом, ввиду разложения (5.2) и равенств
(5.5)–(5.7) и (5.10) автоморфизм ? индуцирует GL(r, R)-автоморфизм ?4 алгебры
gl(r, R), действующий по формуле
?4 (B) = (C33 + C31 )?1 B(C33 + C31 ), B ? gl(r, R),
и автоморфизм ?3 алгебры LO(p ? r, q ? r), действующий по формуле
?1
?3 (J3 ) = C22 J3 C22 .
Поскольку ?(L) = L , то ?4 (L4 ) = L4 и ?3 (L3 ) = L3 . Следовательно, подалгебры
L4 и L4 — GL(r, R)-сопряжены, а подалгебры L3 и L3 O(p ? r, q ? r)-сопряжены.
Предложение доказано.
Отметим в связи с предложением 5.1, что при доказательстве предложения 2.3
мы установили, что для любого O(p?r, q?r)-автоморфизма ?1 подалгебры LO(p, q)
и любого GL(r, R)-автоморфизма ?2 подалгебры gl(r, R) существует такой O(p, q)-
автоморфизм ? подалгебры Lr , для которого ?3 = ?1 , ?4 = ?2 . Поэтому из
предложения 5.1 вытекает, что группа O(p, q)-автоморфизмов максимальной по-
далгебры Lr изотропного ранга r алгебры LO(p, q) индуцирует на подалгебре
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 21

LO(p ? r, q ? r) ? gl(r, R) группу автоморфизмов, разлагающуюся в прямое прои-
зведение группы G1 O(p ? r, q ? r) — автоморфизмов алгебры LO(p ? r, q ? r) и
группы G2 GL(r, R) — автоморфизмов алгебры gl(r, R).
Нетрудно убедиться далее в справедливости следующих утверждений.
? (n?2r) , O(p, q)-сопря-
? ?
Предложение 5.2. Подалгебры L2 и L2 , содержащиеся в Vr
жены тогда и только тогда, когда L2 и L2 сопряжены относительно группы
G1 ? G2 .
? ? ? ?
Предложение 5.3. Если L1 и L1 O(r)-сопряжены, то подалгебры L1 и L1 , со-
?
держащиеся в LO(r), O(p, q)-сопряжены.
В дальнейшем нам необходимы результаты, относящиеся к одномерным подал-
гебрам алгебры gl(r, R), и изложенные в [11]. Произвольная квадратная матрица
порядка r над полем вещественных чисел подобна матрице
? ?
A1 0
? ?
A1
? ?
A=? ?, (5.11)
..
? ?
.
0 At

где
? ?
(i)
0 ··· ??mi
0 0
? ?
(i)
0 ··· ??mi ?1
? ?
1 0
? ?
1 ··· · ·
? ?
0
Ai = ? ?. (5.12)
? ?
..
?· · · · ?
.
? ?
?· ?
(i)
· ··· ??2
0
(i)
· ··· ??1
0 1

Характеристический многочлен матрицы Ai совпадает с многочленом

?i (?) = ?mi + ?1 ?mi ?1 + · · · + ?mi .
(i) (i)


Про матрицу A, говорят, что она имеет вторую нормальную форму, характеризуе-
мую:
1) квазидиагональным видом (5.11);
2) специфической структурой диагональных клеток (5.12);
3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой клетки
является степенью неприводимого в поле R многочлена.
В классе подобных матриц существует только одна матрица, имеющая вторую
нормальную форму. Если квадратная матрица A имеет вид (5.11), то говорят, что
A есть прямая сумма матриц A1 , . . . , At . Символически это будем записывать так:
A = A1 + · · · + At .
(n?2r)
Пусть J2 — произвольная матрица, содержащаяся в Vr . Произвольный
O(p, q)-автоморфизм ? максимальной подалгебры Lr изотропного ранга r, который
определяется матрицей (5.4), действует на матрицу J2 по формуле: ?(J2 ) = (C11 ?T
22 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

C31 )J2 C22 . Здесь C11 ? C31 ? GL(r, 2), C22 ? O(p ? r, q ? r). Следовательно, если
T T T

r — ранг матрицы J2 , то существует такой O(p, q)-автоморфизм ?, что
? ?
?1
? ?
?2 0
? ?
? ?
..
? ?
.
? ?
?(J2 ) = ? ?, (5.13)
?r
? ?
? ?
0
? ?
? ?
..
? ?
.
0
0
где r ? r, ?i = 1 (i = 1, . . . , r ). Про матрицу ?(J2 ) мы будем говорить, что она
имеет нормальную форму (5.13).
Если J1 ? LO(r), то она ортогонально-подобна над полем вещественных чисел
матрице
0 ?1 0 ?s
+ ··· + (5.14)
+ Ok ,
??1 ??s
0 0
где Ok — нулевая матрица порядка k ? 0.
Пусть J — одномерная подалгебра изотропного ранга r > 0 алгебры LO(p, q).
Согласно (5.3) ока разлагается в подпрямое произведение J = J1 ? J2 ? J3 ?
(n?2r)
J4 одномерных подалгебр Ji , где J1 ? LO(r), J2 ? Vr , J3 ? LO(p?r, q ?r),
J4 ? gl(r, R). Если J = J1 ? J2 ? J3 ? J4 — какая-нибудь другая одномерная
подалгебра изотропного ранга r алгебры LO(p, q) и подалгебры J и J O(p, q)-
сопряжены, то в силу предложения 5.1 J3 и J3 O(p ? r, q ? r)-сопряжены; а J4 и J4
— GL(r, R)-сопряжены. Таким образом, для классификации одномерных подалгебр
изотропного ранга r > 0 алгебры LO(p, q) необходимо вначале провести полную
классификацию одномерных подалгебр J изотропного ранга r, удовлетворяющих
условию J1 = 0, J2 = 0. Предположим, что эта задача решена. На следующем эта-
(n?2r)
пе необходимо выяснить структуру проекций J1 ? LO(r) и J2 ? Vr алгебры
J , если известна структура ее проекций J3 ? LO(p ? r, q ? r) и J4 ? gl(r, R). Эта
задача решается на основе результатов § 4 о расщепляемых расширениях алгебр
и предложений 5.1–5.3. Справедливо следующее утверждение.
Предложение 5.4. Ненулевые одномерные подалгебры J изотропного ранга
r > 0 алгебры LO(p, q), удовлетворяющие условию J1 = 0, J2 = 0, исчерпываю-
тся относительно O(p, q)-сопряженности такими подалгебрами:
1) если p ? r — четное, q ? r — нечетное, то
0 ?1 0 ?s 0 ?1 0 ?t
+· · ·+ +· · ·+
J3 = + +Ok ,(5.15)
??1 ??s ??1 ??t
0 0 0 0

где s = p?r , t ? q?r ; J4 = 0;
2 2
2) если p ? r — нечетное, q ? r — четное, то
0 ?1 0 ?s 0 ?1 0 ?t
+· · ·+ +· · ·+
J3 = +Ok + ,(5.16)
??1 ??s ??1 ??t
0 0 0 0

<< Предыдущая

стр. 5
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>