<< Предыдущая

стр. 50
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ? µ?
метричностью тензоров F иF и уравнениями Максвелла (5) с j = 0, непо-
средственно убеждаемся, что ?µ ? = ?µ ? µ? = 0; это завершает доказательство
µ?

равенств (40).
Теорему 3 можно рассматривать как обобщение теоремы Нетер [10, 11] о за-
конах сохранения на случай векторных лагранжианов, поскольку утверждение
этой теоремы (формулы (39), (40)) оказывается справедливым для произвольного
уравнения, допускающего векторную функцию Лагранжа такую, что Lµ = 0 на
множестве ?0 решений этого уравнения. Такое обобщение оказалось возможным,
поскольку условия стандартной теоремы Нетер [10, 11] (детальную формулировку
этих условий см. в [12, 13]) являются на самом деле только достаточными, но не
необходимыми, как отмечено в [12, 13]. Проиллюстрируем здесь это утверждение
на конкретном примере.
Часть преобразований инвариантности уравнений Максвелла являются однов-
ременно преобразованиями инвариантности множеств экстремалей (т.е. уравнений
ЭЛ) каждой из четырех функций Лагранжа Lµ (33) в отдельности. Для таких
преобразований инвариантности ЗС следуют из стандартной теоремы Нетер [10,
11]. Например, оператор ?? пространственно-временных трансляций является ге-
нератором преобразования инвариантности уравнений ЭЛ для каждой из четырех
функций Lµ (33).
Имеется, однако, множество преобразований инвариантности уравнений Мак-
свелла (5), которые не являются преобразованиями инвариантности уравнений ЭЛ
для некоторых из лагранжианов Lµ (33), но, тем не менее, как следует из тео-
ремы 2, ток ?µ? , вычисленный по формуле (39), сохраняется. Примером такого
преобразования является содержащееся в группе Пуанкаре преобразование про-
странственно временных, т.е. чисто лоренцевых вращений, порождаемое генерато-
ром ?0k , выписанным ниже. Действительно, для нулевой компоненты L0 вектора
j
L (33) (с j = 0) уравнения ЭЛ получаются в виде только части уравнений Ма-
µ

ксвелла:
Qk = Rk = 0 ?? ?0 E = rot H, ?0 H = ?rot E. (50)
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 209

А эти уравнения сами по себе (т.е. без привлечения остальных уравнений в (1))
не инвариантны относительно чисто лоренцевых вращений.
Приведем здесь доказательство этого утверждения, используя следующую фор-
му уравнений Максвелла (1) (см. [2]):
? ? (51)
L1 ? = 0, L2 ? = 0,
где

?S ? div 0
?0 E
? ?
L1 ? L2 ? ?? (52)
, , ,
0 div H
S? ?0
? ? ? ? ? ?
?1 ?1 0
00 0 00 0
S1 ? ? 0 0 ?1 ? , S2 ? ? 0 0 0 ?, S3 ? ? 1 0 0 ? . (53)
01 0 10 0 0 00

Так что в (52) оператор S ? ? rot, а обозначение div в (52) есть следующая 3 ? 3-
матрица:
? ?
?1 ?2 ?3
div ? ? 0 0 0 ? . (54)
000

В этих обозначениях генератор ?0k чисто лоренцевых вращений имеет вид
j
?0k = x0 ?k ? xk ?0 ? S0k , (55)
j
где
?Sk
0
S0k ? (56)
.
Sk 0
Непосредтсвенным вычислением коммутаторов легко убедиться, что
?j ? ?
[L1 , ?0k ]? = L1 ? + L2 ?. (57)
Отсюда видно, что уравнения ЭЛ (50) для функции L0 в (33), которые в тер-
?
минах ? (52) имеют вид L1 ? = 0, действительно не инвариантны относительно
преобразований, порождаемых генератором j0k (55). Тем не менее, как утвержда-
ет теорема 3, ток (39) ?µ? (? = j0k ) ? ?µ? , cooтвeтcтвующий генератору J0k (55),
? ? ?
q 0k
µ?
?
сохраняется, ?µ ?0k = 0.
Сделаем ряд замечаний о сохраняющихся токах (39), окончательно имеющих
вид
µ
? µ? (?) ? ?L?? q F ?? = (a1 ? + a2 ? )µ? ? a1 ?µ? (?) + a1 ?µ? (??),
??
q>? q (58)
? q q
?F ,?
где токи ? и ? даны формулами (45) и (48) соответственно.
В формуле (58) токи ? и ? при a1 и a2 сохраняются в отдельности, и вслед-
ствие (49) совокупность всех независимых ЗС, порождаемая некоторым множе-
ством {?} преобразований инвариантности свободных уравнений Максвелла по
q
формуле (58), совпадает с совокупностью всех независимых ЗС, порождаемой
210 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

удвоенным набором преобразований инвариантности {?, ??} по формуле (45) или
qq
(48). Таким образом, с точки зрения анализа независимих ЗС формула (58) со-
держит излишнюю информацию. Можно, конечно, положить a1 = 0 в Lµ (33) и,
следовательно, в (58), и, как видно из (34), это не повлияет на уравнения ЭЛ для
Lµ (именно такая “укороченная” функция Лагралжа предложена в [18]). Одна-
ко сопоставление “оператор симметрии — закон сохранения” по формуле (58) с
a1 = 0, т.е. по формуле (48), являются неестественным, если иметь в виду группу
? ?
Пуанкаре P (1, 3). Действительно, P -тензорному генератору q формула (48) ставит
?
? -псевдотензорный ток ? µ? = ?µ? (??) и наоборот. Например, для
в соответствие P q
? -псевдотензор Липкина (Zilch) [22]:
вектора ?? трансляций формула (48) дает P
?? > ? µ? (? = ?? ) = Z? ? (?F µ? ?F??,? + ?F µ? F??,? )g ?? .
µ?
(59)
q
?
Результат (59) — следствие того, что функция Лагранжа Lµ (33) с a1 = 0 есть P -
? ?
псевдотензор. Естественное соответствие “P -ковариант q — P -ковариант ?” можно
?
получить по формуле (58), если положить a2 = 0. Функция Lµ (33) с a2 = 0
?
является P -вектором, но она не дает уравнений Максвелла или им эквивалентных.
?
А соответствие (58) при a1 a2 = 0 вообще не P -ковариантно, поскольку функция
? ?
Lµ (33) с a1 a2 = 0 не является P -ковариантом. Требование же P -векторности
функции Лагранжа Lµ = Lµ (F, F,? ) (эквивалентное требованию a2 = 0 в (33))
превращает в тождества ее уравнения ЭЛ.
Детальный анализ сохраняющихся токов (45), (48) или (58) для генераторов
q различных конкретных алгебр приводится в следующем разделе. Здесь укажем
?
на другие недостатки P -векторной функции Лагранжа Lµ (33). Эта функция нео-
правданно выделяет одну из двух полностью эквивалентных и релятивистски ко-
вариантных систем (26), (27): как видно из теоремы 2 и ее следствия, P -векторная
?
функция Лагранжа Lµ = Lµ (F, F,? ) может привести лишь к P -псевдосистеме (27),
?
причем только P -псевдовекторное слагаемое в Lµ (33) вносит вклад в уравнения
?
ЭЛ, тогда как в выражение (58) для ЗС вносит вклад и P -векторное слагаемое в
?
(31). И, как ясно из доказательства теоремы 2, вообще не существует P -векторной
функции Lµ = Lµ (F, F,? ), которая могла бы привести к уравнениям Максвелла
или им эквивалентным. Наконец, как видно из (33), лагранжиан взаимодействия
?
в этой модели является P -псевдовектором:
LIµ = a2 ?F µ? j? , LI0 = a2 j · H, LIi = a2 (j ? E ? ?H)i . (60)
Физическая неудовлетворительность такого взаимодействия ясна уже из того, что
плотность электрического заряда ? = j 0 в (60) оказывается здесь связанной не с
напряженностью электрического поля E , а с напряженностью магнитного поля
H.

?
5. P -векторная функция Лагранжа
Оказывается возможным устранить все указанные выше недостатки векторного
?
L-подхода и построить L-подход на базе P -векторной функции Лагранжа в тер-
минах напряженностей, если помимо лагранжевых переменных F , F,µ , ввести в
качестве независимых лагранжевых переменных дуально сопряженные к ним пе-
?? ?
ременные F , F,µ . Общий вид P -векторной функции Лагранжа
??
Lµ = Lµ (F, F,? , F , F,? ), Lµ : R60 > R1 ,
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 211

с точностью до 4-дивергентных слагаемых таков:
? ? ??
Lµ = a1 Fµ? Q? + a2 Fµ? R? + a3 ?Fµ? R? + a4 ?Fµ? Q? + a5 Fµ? Q? +
(61)
? ?? ? ?
+a6 Fµ? R? + a7 ?Fµ? R? + a8 ?Fµ? Q? + (q1 Fµ? + q2 ?Fµ? )j ? .
Здесь, помимо обозначений (3), использованы также обозначения
1 µ??? ? ??
? ? ,? ? ? ,? ?
Qµ ? F µ? , Rµ ? ?F µ? , ?F µ? ? (62)
? F.
2
Лагранжевы производные от функции (61) имеют вид
?Lµ
= (a1 ? a2 ? a3 ? a6 )(gµ? Q? ? gµ? Q? ) + (a4 ? a6 )F??,µ +
?F ?? (63)
+(?a1 + a3 + a4 + a8 )(Fµ?,? + F?µ,? ) + q1 (gµ? j? ? gµ? j? ),

?Lµ
? = (a2 + a5 + a6 ? a7 )(gµ? R? ? gµ? R? ) + (a2 ? a8 )?F??,µ ?
? F ?? (64)
?(a4 + a5 ? a7 + a8 )(?Fµ?,? + ?F?µ,? ) + q2 ?µ??? j ? ,

Из сравнения (63) и (64) с (26) и (27) с учетом тождеств (31) и
?µ??? R? = F(µ?,?) ? Fµ?,? + F??,µ + F?µ,? (65)
видно, что уравнения ЭЛ для Lµ (61) дают обе системы уравнений (26) и (27) при
следующих условиях на коэффициенты:
a1 ? a2 ? a3 ? a6 = ?q1 = a = 0, a4 ? a6 = ?a1 + a3 + a4 + a8 = b = 0,
(66)
a2 + a5 + a6 ? a7 = a = 0, ?a2 + a8 = a4 + a5 ? a7 + a8 = ?q2 = b = 0,
которые эквивалентны условиям
a8 ? a2 = a = ?b = ?q1 ? q = 0, a6 ? a4 = a = ?b = 0,
(67)
a1 ? a3 ? a6 ? a8 = a2 + a4 + a5 ? a7 = 0.
Таким образом, здесь доказано следующее утверждение.
Теорема 4. Пересечение ?0 = ??µ множеств ?µ экстремалей четырех дей-
0 0
µ
ствий
? ? ?
d3 x Lµ (F (x), F (x), ?? F (x), ?? F (x)),
W µ (F, F ) =
(68)
?
F, F ? ?, µ = 0, 3,
задаваемых функцией Лагранжа Lµ (61), коэффициенты которой удовлетворя-
ют условиям (67), совпадает с множеством решений уравнений Максвелла (1).
?
Интересно отметить, что, в отличие от функции Лагранжа Lµ (33), P -век-
торная функция Лагранжа Lµ (61), построение которой стало возможмым лишь
?
благодаря привлечению дуально сопряженной переменной F в качестве независи-
мой лагранжевой переменной, не выделяет какую-либо из эквивалентных систем
(26), (27), в том числе и при наличии взаимодействия с током:
?Lµ ?Lµ
(69)
= Tµ?? = 0, ? = Tµ?? = 0.
?F ?? ? F ??
212 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

Кроме того, как видно из (26), (27) и (69), сформулированный теоремой 4 принцип
наименьшего действия, основанный на Lµ (61), не требует никаких ограничений на
отношения a/b или a /b, и это естественно, поскольку каждая из систем уравнений
ЭЛ (69) эквивалентна системе уравнений Максвелла (1) при любых значениях
отношений a/b = 0, a /b = 0.
Формула для токов ?µ , соответствующих генераторам q , при наличии перемен-
?
?
?
ной F приобретает вид

1 ?L? ?L? ? ??
df
q > ?µ = ??
(70)
? F + ? ,µ F ,
?F ?? ? F ??
?
2 ,µ

?
где F ? q F , F ? q F = ??F . Для Lµ (61) получаем (при j = 0):
? ? q

?L?
?? = (a1 ? a8 )F?? ??? + (a3 + a6 )?F?? E?? ,
?µ ?µ
(71а)
?F ,µ

?L?
? ?? = (a2 ? a7 )F?? E?? + (a4 + a5 )?F?? ??? .
?µ ?µ
(71б)
? F ,µ

<< Предыдущая

стр. 50
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>