<< Предыдущая

стр. 51
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Подстановка (71) в (70) дает

?µ = (a1 ? a2 + a7 ? a8 )F?? F ?µ ?µ
(72)
+ (a3 + a4 + a5 + a6 )?F?? ?F .
?

С учетом предпоследнего равенства в (67) и тождества


= F µ? F?? + ?? F ?? F?? (73)
?F?? ?F
2
для тока (70) окончательно получаем

q > ?µ = A(F µ? F?? + F µ?
F?? + ?? F ?? F?? ), (74)
? ?
2
где

A ? a1 ? a2 + a7 ? a8 = a3 + a4 + a5 + a6 . (75)

Итак, ток (70) для лагранжиана (61) задается формулой (70), т.е. совпадает
со слагаемым при a1 в формуле (44) для тока, порождаемого лагранжианом (33).
?
Это означает, что P -векторный лагранжиан Lµ (61), в отличие от P -векторного
лагранжиана Lµ (33), приводит к правильной тензорной структуре сохраняющи-
хся токов для любых преобразований инвариантности в том смысле, что тензор-
ным (псевдотензорным) генераторам q формула (74) ставит в соответствие тензор-
?
ные (псевдотензорные) сохраняющиеся токи. Заметим, что тензор ?µ? (74) сим-
метричен, поэтому его дивергенция исчезает относительно любого из индексов:
?µ ?µ? = ?? ?µ? = 0.
Функция (61) обладает и тем преимуществом по сравнению с функцией (33),
что все ее слагаемые вносят вклад как в уравнения ЭЛ (69), так и в законы
сохранения (70).
j, ? ?
Приведем анализ сохраняющихся токов (74) для генераторов q = (?, ? d, K)
?
конформной алгебры C(1, 3) инвариантности свободных уравнений Максвелла (1)
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 213

(т.е. c j = 0), напомнив, что генераторы q ? C(1, 3) в терминах тензора напряжен-
?
ностей F (2) имеют вид (16) с ? = ?2 и Sµ? (17). Положив A = 1, находим, что
генераторы ?? по формуле (74) дают тривиальный ток:

?? > ?µ? (? = ?? ) = (?? )µ? ? ?? T µ? . (76)
q

Здесь появляется стандартный тензор энергии-импульса для поля F = (E, H):

Tµ = Pµ ,
T? = F µ? F?? + ?? F ?? F?? ,
µ 0
(77)
4
1
P0 ? Pj ? (E ? H)j .
E2 + H 2 , (78)
2
Для анализа интегральных сохраняющихся величин

? ?0µ (x) = ?0µ (?) ? (?)0µ ,
?µ = d3 x ?0µ (x) = const, (79)
q q

достаточно привести плотности ?0µ , опуская слагаемые с пространственными
?
производными, не вносящие вклад в интеграл ?µ (79). Из формулы (74) получаем
для плотностей ?0µ , соответствующих остальным генераторам алгебры C(1, 3):
?
??? > J?? = ?? P? ? ?? P? , d > D0µ = P µ ,
0µ µ µ
(80)
j

?
K? > K? = 2(?? D + J?? g ?µ ),
0µ µ
(81)

где

D ? xµ Pµ , J?? ? x? P? ? x? P? . (82)

Как видно, C(1, 3)-генераторы (16) приводят в соответствии с формулами (74),
(79) к сохраняющимся величинам, выраженны через хорошо известную серию
основных сохраняющихся величин для электромагнитного поля F = (E, H), по-
лученную еще Бессель–Хагеном [23] на основе L-подхода для векторного поля
A = (Aµ ) потенциалов, а именно следующую серию:

d3 x P? (x), d3 x (x? P? (x) ? x? P? (x)),
P? = J?? =
(83)
d x D(x), d x (2x? D(x) ? x P? (x)).
3 3 2
D= K? =

Интересно отметить, что ввиду тождества

F µ? ?F?? + ?? F ?? ?F?? = 0, (84)
4
преобразование дуальности ? дает по формуле (74) тождественный нуль, ? > 0.
Нетривиальные ЗС дают генераторы установленной в [3, 4] алгебры A32 ? C(1, 3)
инвариантности (свободных) уравнений Максвелла (1), имеющие вид композиции
q = ?? C(1, 3)-генераторов q (16) и генератора ?. Интегральные сохраняющиеся
? q ?
величины, вычисленные по формулам (70), (79) для ?C(1, 3)-генераторов q =
?
214 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

,?j, ? ?
(??, ?? ?d, ?K), выражаются через серию сохраняющихся величин, найденную
Линкиным [22] и другими авторами [24–28], не используя лагранжев подход:

d3 x Z? (x), d3 x (x? Z? ? x? Z? ),
µ µ µ µ µ
Z? = Z?? =
(85)
c
d x x Z? (x), d x (2x? x Z? ? x Z? ),
µ 3 ? µ 3 ? 2 µ
Z= =
Z?

где плотности Z сохранящихся величин (85) выражаются через тензор Линкина
Z? ? Z? , Z? = F ?? ?F?? ? ?F ?? F?? .
µ 0|µ ?|µ ,µ ,µ
(86)
Сохраняющиеся велиины (85) [22, 26, 27] (см. также [4, 6, 7–9]), тождествен-
но равны нулю для линейно поляризованных волн F = (E, H) и отличны от
нуля только для циркулярно поляризованных состояний электромагнитного поля,
причем максимум достигается при круговой поляризации поля F = (E, H). Из-за
отмеченного поляризационного характера ЗС (85), которым они существенно отли-
чавтся от ЗС (83), дополнительные к (83) ЗС (85) можно считать второстепенными
по сравнению с основными ЗС (83).

6. Векторный L-подход для спинорного поля
и взаимодействующих полей
Для введения взаимодействия тензорного электромагнитного поля F = (E, H)
и спинорного поля ? прежде всего необходимо переписать стандартное уравнение
Дирака в следующей эквивалентной форме [29] (которую назовем уравнением
Дирака в векторной форме):
?
?µ (i? ? ?? ? m)?(x) ? (?µ ? 2iSµ? p? ? m?µ )?(x) = 0, (87)
p
где
i i
?
pµ ? i?µ , Sµ? ? [?µ , ?? ] = (?µ ?? ? gµ? ), ? = (?? ). (88)
? µ = 0, 3,
4 2
Разумеется, система 16 уравнений (87) эквивалентна стандартному уравнению
Дирака
(i?µ ?µ ? m)?(x) = 0 ?? (i?µ ?µ ? m)? ?? (x) = 0 (89)
?

(т.е. системе четырех уравнений для ?? ). Более того, уравнение (87) с любым
фиксированным µ ? 0, 4 эквивалентно уравнению (89).
С учетом равенств
† ? ?
?µ ? ?0 ?µ ?0 = ?µ , pµ = ??µ , (90)
? Sµ? = Sµ? , ? p

из (87) следует, что уравнение для спинора ? = ?† ? 0 (сопряженного по Дираку
?
?
спинора ?) имеет вид
< < <
? ? ? ?
?(? p µ ? 2iSµ? p ? ? m?µ ) = 0, ? p µ ? i?µ ? = i?,µ . (91)

Теорема 5. Не существует функции Лагранжа в терминах независимых ла-
?
гранжевых переменных ?, ?, для которой уравнения ЭЛ совпадали бы с урав-
нениями (87), (91).
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 215

? ?
Доказательство. Общий вид вектор-функции в переменных ?, ?, ?,µ , ?,µ , для
которой уравнения ЭЛ являются уравнениями 1-го порядки по переменной x, та-
ков:
? ? ? ? ?
Lµ = a1 ??,µ + a2 ?,µ ? + a3 ?Sµ? ?,? + a4 ?,? Sµ? ? + a5 ??µ ?. (92)

Лагранжевы производные от функции (92) имеют вид
?Lµ ? ? ?
= (a2 ? a1 )?,µ + (a4 ? a3 )?,? Sµ? + a5 ??µ , (93)
??
?Lµ
? = (a1 ? a2 )?,µ + (a3 ? a4 )Sµ? ? + a5 ?µ ?.
,?
(94)
??
Как видно, требование одновременного выполнания равенств
?L ?L
? ? ?
= ?i?,µ + 2?,? Sµ? ? m??µ , ? = i?,µ + 2Sµ? ? ? m?µ ?
,?
(95)
?? ??
противоречиво: a4 ? a3 = 2 = a3 ? a4 . Теорема доказана.
Замечание 3. Уравнение (87) с µ = 0 есть хорошо известное уравнение Дирака
в форме Шредингера, которое выпишем вместе с эрмитово сопряженным и сопря-
женным по Дираку уравнением:

i?,0 = (?i? 0 ? k ?,k + ? 0 m?), (96)

?i?† = i?† ? 0 ? k + m?† , (97)
,0 ,k

? ? ?
?i?,0 = ?i?,k ? 0 ? k + m?. (98)

Теорема 4 утверждает, в частности, что не существует функции Лагранжа в пере-
?
менных ?, ?, для которой уравнения ЭЛ совпадали бы с уравнениями (96), (98).
В то же время, существует функция Лагранжа в терминах ?, ?† , для которой
уравнения ЭЛ совпадают с уравнениями (96), (97).
Этот пример убеждает, что для построения L-подхода, ассоциированного с
уравнением (87) с произвольно фиксированным µ, необходимо использовать сопря-
жение, отличное от сопряжения по Дираку. Подходящим оказывается следующее
сопряжение:
µ
? > ? ? ?† ? 0 ? µ = ?? µ , (? 0 ? µ )?1 = (? 0 ? µ )† = ? 0 ? µ ,
? ? (99)

которое назовем µ-сопряжением. Учитывай, что
µ
µ µ
† ? ?
? µ ? ? 0 ? µ ?µ ? 0 ? µ = ?µ , S µ? = ?Sµ? , p? = ??? , µ ? ns (100)
? ? p

(символ µ ? ns означает, что в (100) и всюду ниже µ фисировано, по нему сумми-
рование не подразумевается), из (87) находим, что уравнение для µ-сопряженного
спинора в (99) имеет вид
µ < <
?
?(? p µ + 2iSµ? p ? ? m?µ ) = 0, µ ? ns. (101)
216 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

Важно отметить, что не только при сопряжении по Дираку, но и при µ-сопряжении
(99) уравнение (87) переходит в явно коварианткое уравнение.
µ
?
Общий вид вектор-функции Лагранжа (101) в терминах ?, ?, для которой
уравнения ЭЛ могут совпадать с уравнениями (87), таков:
µ µ µ µ µ
? ? ? ? ?
Lµ = a1 ??,µ + a2 ?,µ ? + a3 ?Sµ? ?,? + a4 ?,µ Sµ? ? + a5 ??µ ?, µ ? ns. (102)

Для этой функции лагранжевы производные имеют вид
µ µ µ
?Lµ ? ? ?
= (a2 ? a1 )?,µ + (a4 ? a3 )?,? Sµ? + a5 ??µ , µ ? ns, (103)
??
µ
?
a ?Lµ /? ? совпадает с правой частью (94). Теперь требование одновременного
выполнения равенств
µ µ µ
?Lµ ? ,µ ? 2?,? Sµ? ? m??µ ,
? ?
= ?i?
??
(104)
?Lµ

<< Предыдущая

стр. 51
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>