<< Предыдущая

стр. 52
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ = i?,µ + 2Sµ? ? ? m?µ ?, µ ? ns,
,?

?
??
приводит к условиям

a1 ? a2 = i, a3 ? a4 = 2, a5 = ?m. (105)

Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 6. Для уравнения (87) векторная функция Лагранжа имеет вид
µ µ µ µ
i ? ? ? ?
Lµ = ?1 ??,µ ? ?2 ?,µ ? + ?3 ?Sµ? ?,? ? ?4 ?,? Sµ? ? ?
2
(106)
µ
?
?m??µ ?, µ ? ns,

где константы ?1 , ?2 , ?3 , ?4 удовлетворяют условиям
?1 + ?2 ?3 + ?4
(107)
= = 1.
2 2

Заметим, что произвол в этих константах влияет на Lµ лишь с точностью до
4-дивергенции, поэтому наблюдаемые величины не зависят от этого произвола.
Для любой пары ?, ? решений уравнения Дирака (т.е. для любого преобра-
зования инвариантности ? > ? = q ? уравнения (89) или эквивалентного ему
?
уравнения (87)) сохраняющиеся токи, вычисляемые по функции Лагранжа (106)
на основе теоремы 3 (формула (39)), имеют вид:
µ µ µ
?Lµ ? ?Lµ = i ? ?
? ?1 ?? ? ?2 ? ? ?µ +
? ?
?µ ? +? µ
??,? 2
?
? ?,? (108)
µ µ
? ?
+ ?3 ?Sµ? ? ? ?4 ? Sµ? ? g ?? .
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 217

Токи (108) сохраняются только при условиях

(109)
?1 = ?3 , ?2 = ?4 ,

при которых функция Лагранжа (106) выглядит как
µ µ µ µ
?1 ? ?2 ? ? ?
Lµ = ? (i?,µ + 2Sµ? ?,? ) ? i?,µ + 2?,? Sµ? ? ? m??µ ?,
2 2 (110)
µ ? ns, (?1 + ?2 )/2 = 1,

а токи (108) приобретают следующую форму:

?µ = ?1 ?1µ ? ?2 ?2µ ,
? ? ?
(111)

где
µ
i?
?
?
?µ + Sµ? g ?? ? , ? ?
(112)
?1µ = ? ?2µ = ?1µ .
2 ?-?

Используя уравнение Дирака в векторной форме (87) и построеную для него
векторную функцию Лагранжа (110), легко выписать функцию Лагранжа для си-
стемы локально взаимодействующих электромагнитного F = (E, H) и спинорного
? полей. Для этого ток j = (j ? ) в функции Лагранжа (61) (описывающей поле F ,
взаимодействующее с электрическим током j) следует понимать как ток спинорно-
µ
?
го поля и записать его через µ-сопряженные спиноры ?, ? с данным (произвольно
фиксированным) µ = 0, 3:
µ
? ?
j ? e?? ? ? = e?? µ g µµ ? ? ?, µ ? ns.
?
(113)

Интересно отметить, что векторная функция Лагранжа для системы взаимо-
действующих полей F и ?, образованная сложением функции (110) и функции
(61) с током j ? (113) при условиях (67), не приводит к уравнению Дирака со
?
взаимодействием с полем F , поскольку в физической области, где F = ?F ,
?LI
µ ?
? q1 Fµ? + q2 Fµ? ? µ g µµ e? ? ? = 0, µ ? ns, (114)
µ
?
??
из-за содержащегося в (67) условия q1 = q2 . Этот результат есть следствие исхо-
дного предположения q1 q2 = 0. Можно, однако, с самого начала положить в Lµ
(61) q2 = 0, в качестве уравнения для электромагнитного поля F с током j = 0
? ?
использовать лишь P -тензорное уравнение (26), а P -псевдотензорное уравнение
(27) считать допустимым лишь при j = 0, когда теория дуально инвариантна и
когда уравнения (26) при замене F > ?F ? Q > R, R > ?Q переходят в урав-
нения (27) (заметим, что при j = 0 указанная замена не связывает уравнения (26)
и (27), что отражает отсутствие дуальной инвариантности теории с j = 0 и оправ-
?
дывает выделение в этом случае P -системы (26), как основной). При указанных
выше условиях векторная функция Лагранжа для системы взаимодействующих
электромагнитного F = (E, H) и спинорного ? полей принимает вид

Lµ = LF + L? + LI , (115)
µ µ µ
218 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

где LF дано формулой (61) с j = 0, L? — формулой (110), а
µ µ
µ
?
LI = ?aFµ? e?? µ g µµ ? ? ?, µ ? ns. (116)
µ

С учетом эквивалентности системы (26) исходной системе уравнний Максвелла
(5), т.е. (1), полная система уравнений, на основе функции Лагранжа (115), имеет
вид
Qµ ? e?† ?0 ?µ ? = 0, (117)
Rµ = 0,

[?aeFµ? ? µ g µµ ? ? + ?µ (i? ? ?? ? m)]? = 0, µ ? ns. (118)

Умножив уравнение (118) на ? µ слева и просуммировав по µ, получим следую-
щее уравнение для спинорного поля ?, взаимодействующего с полем F :
ea
? (F0? + F1? + F2? + F3? )? ? + i? ? ?? ? m ? = 0, (119)
4
которое в терминах напряженностей E, H, имеет вид
ea
E? ? ? 0 (E 1 + E 2 + E 3 ) + (H ? ?)1 + (H ? ?)2 + (H ? ?)3 +
4
(120)
+i? ?µ ? m ? = 0.
µ



Построенную теорию легко обобщить на случай вяаимодействия поля (E, H)
с полем произвольной массы и спина. Для этого вместо уравнения (87) следует
использовать другое уравнение Дирака в векторной форме [29], а именно:
?µ (i? ? ?? ? ?4 m)? ? (?µ ? 2iSµ? p? ? 2iSµ4 m)? = 0. (121)
p ?
Это уравнение, как и уравнение (87), есть результат иного способа “извлечения
квадратного корня” из уравнения Клейна–Гордона (ср. замечание 3 в [29]).
Здесь, как и в случае уравнения (87), не существует функции Лагранжа в тер-
?
минах ?, ?, для которой уравнения ЭЛ совпадали бы с уравнением (121) и сопря-
µ
?
женным к нему по Дираку. В терминах же ?, ? функция Лагранжа для уравнения
(121) имеет вид
µ µ µ µ
?1 ? ?2 ? ? ,? Sµ? )? ? 2im?Sµ4 ?,
?
Lµ = ?(i?,µ + 2Sµ? ? ) ?
,?
(i?,µ + 2?
2 2 (122)
?1 + ?2
µ ? ns, = 1.
2
Заметим, что сохраняющийся ток, вычисляемый по формуле (108) с Lµ (122),
совпадает с током (111), а взаимодействие с электромагнитным полем вводится по
аналогии с предыдущим случаем.
Для теории с произвольным спином уравнение, аналогичное (121), имеет вид
(?µ ? 2iSµN pN )? = 0, (123)
p ? µ = 0, 3, N = 0, 4,
где p4 = m, а SM N (M, N = 0, 4) являются генераторами подходящих матричных
?
представлиний однородной группы Де Ситтера O(1, 4). Для этого уравнения фун-
кция Лагранжа и сохраняющиеся токи строятся в полной аналогии с предыдущим
О векторных лагранжианах для электромагнитного и спинорного полей 219

случаем, включая и вопрос о введении взаимодействия поля ? в (123) с полем
F = (E, H).
Наконец, отметим известный еще со времен Дирака факт, что наличие магни-
тных монополей лишь улучшает красоту и симметрию теории электромагнетизма.
Это в полной мере относится и к построенной здесь на основе векторных лагран-
жианов модели, в которую магнитный монополь естественным образом включается
добавлением к функции Лагранжа (115) члена с магнитным током и зарядом. За-
метим, что при этом установленная в [4, 5] 32-мерная алгебра инвариантности
A32 , которая раньше имела место только для свободных уравнений Максвелла,
может быть сохранена и при включении взаимодействия, если потребовать ду-
альной симметрии и для токов, т.е., чтобы при преобразовании F > ?F токи
преобразовывались как
j>? ? > ?j, (124)
j, j
где j = (j µ ) — обычный электрический 4-вектор тока, а ? = (?µ ) — магнитный
j j
ток, создаваемый монополем.

7. Некоторые комментарии и выводы
Перечислим основные свойства построенной здесь лагранжевой модели для
электромагнитного поля в терминах напряженностей и системы взаимодействую-
щих электромагнитного и спинорного полей.
Хотя уравнения Максвелла (1) в терминах тензора напряженностей F = (F µ? )
= (E, H) (2) имеют явно ковариантный вид (5) и в этом смысле ничем не отлича-
ется от релятивистских уравнений для любых других ковариантных полей, урав-
нения (5) не позволяют построить стандартный L-подход, который основывается
на скалярной (псевдоскалярной) функции Лагранжа. Более того, не существует
функции Лагранжа в форме какого-либо коварианта, для которой уравнения ЭЛ
совпадали бы непосредственно с уравнениями (5), т.е. с исходными уравнениями
Максвелла (1).
Можно перейти от уравнений (5) к эквивалентным им тоже явно ковариан-
тным уравнениям — в тензорной форме (26) или псевдотензорной форме (27) —
и построить L-подход, основанный на концепции векторной функции Лагранжа.
Причем векторный L-подход требует соответствующей переформулировки стан-
дартного принципа наименьшего действия. Такая переформулировка, содержится
в теореме 2. Однако система уравнений ЭЛ для P -векторной функции Лагран-
жа в терминах напряженностей F (и тензора полевых скоростей F,? ? (F µ? )) ,?
? ?
совпадает лишь с P -псевдотензорной системой (27) и не может приводить к P -
?
тензорной системе (26), что связано с P -псевдотензорностью слагаемого при a2 в
?
Lµ (33) (полная функция (33), являясь P -вектором, не является P -ковариантом).
Обе системы (26) и (27) в векторном L-подходе можно получить, если в качестве
независимых лагранжевых переменных привлечь также дуально сопряженные пе-
?? ?
ременные F , F,? — в этом случае не существует P -векторная функция Лагранжа
(61), для которой уравнения ЭЛ (63), (64) совпадают с уравнениями (26), (27).
?
P -векторный лагранжиан (61) имеет еще два преимущества. Во-первых, по
формуле (39) (обобщающей стандартную теорему Нетер о ЗС на случай векторного
L-подхода) лагранжиан (61) дает естестесвенное соответствие “тензорный (псевдо-
тензорный) генератор q преобразования инвариантности уравнений Максвелла —
?
220 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

?
тензорный (псевдотензорный) ток ?? (70)”. Во-вторых, в P -векторном L-подходе
µ
?
удается ввести минимальное и локальное P -векторное взаимодействие электрома-
гнитного поля F = (E, H) со спинорным полем. Для этого оказалось необходимым
построить нестандартный, а именно, векторный L-подход и для спинорного поля
?, причем один из вариантнов последнего, основанный на уравнении Дирака в
векторной форме (121), обобщается на случай полей произвольного спина.
В заключение отметим, что векторный L-подход обладает рядом недостатков.
Во-первых, соответствие “оператор симметрии — закон сохранения”, требующее,
чтобы генераторам ?µ трансляций в пространстве-времени Rx сопоставлялись
именно энергия–импульс Pµ электромагнитного поля, а не что-либо другое, т.е.
чтобы сохранение энергии P0 в (80) было следствием однородности времени, а
сохранение импульса P в (80) — однородности пространства, оказывается не-
устранимо нарушенным в рассмотренных выше моделях с (псевдо)векторными ла-
гранжианами. Более того, в L-подходе с (псевдо)векторной функцией Лагранжа
“оператор симметрии — закон сохранения” оказывается неоднозначным: одному
генератору q алгебры инвариантности соответствуют четыре сохраняющиеся ве-
?
личины. В рамках концепции векторного лагранжиана вопрос об однозначности
соответствия “оператор симметрии — закон сохранения” нельзя решить на основе
теоремы Нетер.
Правда, можно по другому обобщать теорему Нетер на случай векторных ла-
гранжианов, поставив в соответствие генератору q не ток ?µ? (70), (74), а свертку
?
? ?
q > ?µ = x? ?µ , ?µ ?µ = 0, (125)
? ?

<< Предыдущая

стр. 52
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>