<< Предыдущая стр. 57(из 145 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
L? + im?1 ?1 + 2(im?2 + 3)?2 + 2im?3 + 3 im? ? 2?m|?|4/3 ? = 0,
4) 2
?11 + ?22 + ?33 + im(?1 ?1 + ?2 ?2 + ?3 ?3 ) + 3 im? ? 2?m|?|4/3 ? = 0,
5) 2
L? + 6?2 + 2im?3 ? 2?m|?|4/3 ? = 0,
6)
?11 + 4?2 ?22 + 4?1 ?12 + 6?2 ? 2im?3 ? 2?m|?|4/3 ? = 0,
7)
?3 (1 + ?3 )(?11 + ?22 ) + ?12 ? 2im ?1 ?1 + ?2 ?2 + ?3 ?3 + 1 ? ?
2
8) 2
?2?m?3 |?|4/3 ? = 0,
2im?3 ? ?11 ? ?22 ? 2?m|?|4/3 ? = 0,
9)
Exact solutions of the three-dimensional non-linear Schr?dinger equation
o 239

where
?ab = ? 2 ?/??a ??b ,
?a = ??/??a , a, b = 1, 3.
We did not succeed in finding the exact solutions of all of the reduced equations.
However, some of them had been solved. Let us write the final form of several exact
solutions of (10).
1 3
?3/4 ?1
u(x) = 1 ? x2 imx2 (1 ? x0 ) (13)
exp , ?= i.
0
2 2

1
u(x) = (c0 x0 ? cx)?3/2 exp ? imx2 x?1 , (14)
0
2
8
where c0 , c = (c1 , c2 , c3 ) are arbitrary constants, satisfying the condition c2 = 15 ?m.

1
?3/2
exp ? im x2 ? rx x?1 , r 2 = ?8?/m. (15)
u(x) = x0 0
2
?3/4
82 1
exp ? imx2 x?1 . (16)
u(x) = ?x 0
3 2

1
?3/2
?(?1 ) exp ? imx2 x?1 , (17)
u(x) = x0 ?1 = ?x/x0 ,
0
2

where function ?(?1 ) is defined by the elliptic integral
1/2
? ?1/2 6
10/3
(18)
d? k1 + ? = ?m (?1 + k2 ),
5
0

where k1 , k2 are arbitrary constants.
1
?3/2
exp ? imx2 x?1 ?(?2 ), ?2 = x2 /x0 , (19)
u(x) = x0 0
2
where function ?(?2 ) is the solution of the Emden–Fauler equation
2?2 ?22 + 3?2 ? ?m?7/3 = 0. (20)
?3/4 ?1/2
(21)
u(x) = x0 ?(?1 ), ?1 = (?x)x0 ,

where function ?(?1 ) is defined by elliptic integral (18).
?2 = x2 , (22)
u(x) = ?(?2 ),
where ?(?2 ) is the solution of (20).
1
?1/2 ?1/3
? imcx/x0 ,
u(x) = (c0 /3?)3/4 x0 (23)
exp ic0 x0
2
where c2 = 1 and c0 = const.
u(x) = (c0 /?)3/4 exp(ic0 x0 ), (24)
240 W.I. Fushchych, N.I. Serov

u(x) = (?2 x0 )?3/4 exp ?i?1 ?2 (?2 x0 )?3/4 , (25)

where ? = 3 (?1 + i?2 ) and ?1 , ?2 are arbitrary real constants.
4

8
u(x) = (cx)?3/2 , c2 = (26)
?m.
15
Formulae (13)–(26) give multiparameter families of exact solutions of the non-
linear Schr?dinger equation (10). Some of them are of non-perturbative type due to a
o
singularity with respect to the coupling constant ?. Obtained solutions may be used
in quantum field theory, and in many non-linear problems of solid state and plasma
physics.
In conclusion we adduce the formulae of extension of solutions of (10). If u = u1 (x)
is a given solution of (10) then the new solutions u2 , u3 may be found by formulae
12
u2 = u1 (x0 , x + vx0 ) exp im v x0 + vx ,
2
ax2
x0 x 1
(1 ? ax0 )?3/2 exp
u3 = u1 , im ,
1 ? ax0 1 ? ax0 2 1 ? ax0
where a, v are arbitrary constants. These formulae follow from the fact that (10)
admits both groups G(1, 3) and G2 (1, 3).

1. Bluman G.W., Cole J.D., Similarity methods for differential equations, Berlin, Springer, 1974.
2. Fushchych W.I., in Algebraic-Theoretical Studies in Mathematical Physics, Kiev, Mathematical
Institute, 1981, 6.
3. Fushchych W.I., Moskaliuk S.S., Lett. Nuovo Cimento, 1981, 31, 571.
4. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Fiz. Elem. Chast. Atom. Jadra, 1981, 12, 1158 (in Russian).
5. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetry of Maxwell’s equations, Kiev, Naukova Dumka, 1983
(Engl. transl., Dordrecht, Reidel, 1987).
6. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 3645.
7. Hagen C.R., Phys. Rev. D, 1972, 5, 377.
8. Lie S., Arch. Math., 1881, 6, 328.
9. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 808.
10. Ovsyannikov L.V., Group analysis of differential equations, Moscow, Nauka, 1978 (Engl. transl.,
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 241–250.

О редукции и точных решениях
нелинейного уравнения Дирака
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ
Ans?tze are constructed which reduce the Poincar?-invariant equation for the spinor fi-
a e
eld ?(x0 , x1 , x2 , x3 ) to a system of partial differential equations for the four-component
function ?(?) depending on three invariant variables ? = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}. Multi-
parameter families of exact solutions of the nonlinear Dirac equation with the mass
term are found. The P (1, 3)-nonequivalent Ans?tze for a vector field are constructed.
a

Построены анзацы, с помощью которых пуанкаре-инвариантные уравнения для спи-
норного поля ?(x0 , x1 , x2 , x3 ) сводятся к системе дифференциальных уравнений для
четырехкомпонентной функции ?(?1 , ?2 , ?3 ) зависящей от трех инвариантных пе-
ременных. Найдены многопараметрические семейства точных решений нелинейного
уравнения Дирака. Построены P (1, 3)-неэквивалентные анзацы для векторного поля.

Введение
Рассмотрим нелинейное уравнение Дирака для массивного поля
?
i?? ? m ? ?(??)k ? = 0, (1)

где ? = ?(x0 , x1 , x2 , x3 ) — 4-компонентный спинор; ?? ? ? ? ?? = ?0 ?0 + ?1 ?1 +
?2 ?2 + ?3 ?3 , ?? ? ?/?x? , ? = 0, . . . , 3; ?? — матрицы Дирака 4 ? 4; m, k, ? —
произвольные действительные параметры.
О применении уравнений типа (1) к проблемам квантовой теории поля см. [1].
Максимальной локальной группой инвариантности уравнения (1) является груп-
па Пуанкаре P (1, 3), генераторы которой имеют вид

Pa = ??a , a = 1, 2, 3,
P0 = ? 0 , Jµ? = Mµ? + Sµ? ,
(2)
Mµ? ? xµ P? ? x? Pµ , Sµ? ? ? 4 (?µ ?? ? ?? ?µ ).
1

Операторы (2), как известно (см., например, [2]), образуют алгебру Пуанкаре
AP (1, 3):

[P? , Jµ? ] = g?µ P? ? g?? Pµ ,
[Pµ , P? ] = 0,
[Jµ? , J?? ] = g?? Jµ? + gµ? J?? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? .
?
В случае, когда m = 0, k = 1 ((??)1/3 — нелинейность Гюрши), уравнение (1)
3
инвариантно относительно конформной группы C(1, 3) ? P (1, 3). С помощью кон-
формной симметрии уравнения (1) (при m = 0, k = 1 ) в [3, 4] построен широкий
3
класс точных решений нелинейного уравнения Дирака. Более сложные нелиней-
ные конформно-инвариантные уравнения Дирака рассмотрены в [5]. Исследова-
нию пуанкаре-инвариантных и масштабно-инвариантных решений уравнения (1)
(при m = 0 и произвольном k) посвящены работы [4, 6].
Теор. и матем. физика, 1987, 72, № 1, С. 35–44.
242 В.И. Фущич, В.М. Штелень

В настоящей работе на основе идей и методов Ли в явном виде построены
анзацы для отыскания решений произвольного пуанкаре-инвариантного уравнения
для поля со спином 1 . Найдены пуанкаре-инвариантные многопараметрические
2
семейства решений уравнения (1) для m = 0 и произвольного k.
Решения уравнения (1), следуя [7] , ищем в виде
(3)
?(x) = A(x)?(?),
где ?(?) — 4-компонентная функция, зависящая от трех новых переменных ? =
{?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}. Спинор ?(x) в исходном уравнении (1) зависит от четырех
переменных x = {x0 , x1 , x2 , x3 }, следовательно, анзац (3) редуцирует (сводит) си-
стему (1) к системе с меньшим числом независимых переменных. Матрица A(x) и
новые переменные ?(x) находятся из условий [3, 4]
Q1 ? aµ Pµ + C µ? Jµ? , (4)
Q1 A(x) = 0,
Q2 ? aµ Pµ + C µ? Mµ? , (5)
Q2 ?(x) = 0,
где aµ , C µ? = ?C ?µ — произвольные параметры.
В том частном случае, когда ?(?) зависит только от одной переменной, уравне-
ние (1) с помощью анзаца (3) редуцируется к нелинейной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ). Решая систему ОДУ, найдем семейства ча-
стных решений уравнения (1). Для реализации этого алгоритма необходимо по-
строить в явном виде матрицы A(x) и переменные ?(x).
В разделе 1, воспользовавшись результатами Патеры, Винтернитца, Цассенха-
уза [8] по классификации P (1, 3)-неэквивалентных подалгебр алгебры Пуанкаре
AP (1, 3), в явном виде мы получили P (1, 3)-неэквивалентные анзацы (3). В разде-
ле 2 приведены редуцированные системы нелинейных дифференциальных уравне-
ний в частных производных (ДУЧП) для функции ?(?), полученные в результате
подстановки анзацев из раздела 1. Для этих редуцированных систем ДУЧП или
ОДУ найдены некоторые точные решения, из которых затем построены P (1, 3)-
неразмножаемые семейства решений уравнения (1). В разделе 3 построены явно
ковариантные P (1, 3)-неэквивалентные анзацы для векторного поля.

1. P (1, 3)-неэквивалентные анзацы для спинорного поля
Описание анзацев (3) для спинорного поля с алгеброй инвариантности (2) сво-
дится к решению системы (4), которая представляет собой систему шестнадцати
ДУЧП первого порядка для матричных элементов матрицы A(x). Не вдаваясь в
подробности этих довольно громоздких вычислений, приведем здесь ее решение
в виде табл. 1, где приведены P (1, 3)-неэквивалентные анзацы для спинорного
поля (? = 0, ? = ±1). При составлении этой таблицы мы воспользовались ре-
зультатом [8] о том, что алгебра Пуанкаре AP (1, 3) имеет только 13 одномер-
ных неэквивалентных подалгебр. В соответствии с этим существуют 13 пуанкаре-
неэквивалентных анзацев вида (3). Инвариантные переменные ?(x) для этих ан-
зацев построены в [9].
На одном конкретном примере продемонстрируем, как находить явный вид ан-
зацев (3). Возьмем в качестве Q1 оператор № 4 из табл. 1, т.е. Q1 = J12 =
x1 ?2 ? x2 ?1 ? 1 ?1 ?2 . Уравнения (4), (5) в этом случае принимают вид
2

1
x1 ?2 ? x2 ?1 ? ?1 ?2 A(x) = 0, (x1 ?2 ? x2 ?1 )?(x) = 0.
2
О редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака 243

Последнее уравнение эквивалентно системе Лагранжа–Эйлера
dx0 dx1 dx2 dx2
= = = ,
?x2
0 x1 0
для которой легко выписать первые интегралы x2 + x2 , x0 , x3 . Следовательно, в
1 2
качестве инвариантных переменных ?(x) можно выбрать x2 + x2 = ?1 , x0 = ?2 ,
1 2
x3 = ?3 .
Матрицу A(x) ищем в виде A(x) = exp 1 ?1 ?2 f (x) , f (x) — некоторая скаляр-
2
ная функция; тогда
1 1
x1 ?2 ? x1 ?1 ? ?1 ?2 exp ?1 ?2 f (x) =
2 2
1 1
?1 ?2 [(x1 ?2 ? x2 ?1 ? 1)f (x)] exp
= ?1 ?2 f (x) = 0,
2 2
т.е.
?f ?f
? x2
x1 = f.
?x2 ?x1
Интегрируя это последнее уравнение, получаем f (x) = ?arctg x1 , и таким обра-
x2
 << Предыдущая стр. 57(из 145 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>