<< Предыдущая

стр. 58
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

зом, матрица A(x) имеет вид
1 x1
A(x) = exp ? ?1 ?2 arctg .
2 x2
Совершенно аналогично проводятся вычисления и для других случаев.
Все анзацы, выписанные в табл. 1, представляют собой полный набор P (1, 3)-
неэквивалентных анзацев для спинорного поля. Они не переводимы друг в друга
с помощью операции группового размножения решений. Отметим также, что из
спинорного поля можно легко построить поля для других спинов, например ска-
? ? ?
лярное ? = ??, векторное Aµ = ??µ ?, тензорное Fµ? = ??µ ?? ? и т.д., поэтому
анзацы для спинорного поля представляют особый интерес.

2. Редукция уравнения (1) и точные решения
Подставим анзацы из табл. 1 в уравнение (1). После довольно громоздких вычи-
слений получим следующие уравнения для ?(?) (F ? ?(??)1/3 + m):
?
(6.1)
?1 ??1 + ?2 ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0,

(6.2)
?0 ??1 + ?1 ??2 + ?2 ??3 + iF ? = 0,

(6.3)
(?0 + ?1 )??1 + ?2 ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0,

1
(6.4)
?2 ??1 + ? + ?0 ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0,
2?1
244 В.И. Фущич, В.М. Штелень

Таблица 1
Инвариантные переменные
№ Алгебра Анзацы
? = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}
?(x) = ?(?)
1 x1 , x2 , x3
P0
?(x) = ?(?)
2 x0 , x1 , x2
P3
P0 + P1 x0 + x1 , x2 , x3 ?(x) = ?(?)
3
1/2
x2 + x2 ?(x) = exp{? 1 ?1 ?2 ?
4 , x0 , x3
J12 1 2 2
? arctg x1 }?(?)
x2
1/2
x2 ? x2 ?(x) = exp{ 1 ?0 ?3 ?
5 , x1 , x2
J03 0 3 2
? ln(x0 + x3 )}?(?)
J02 + J12 x0 + x1 , ?(x) = exp{? 2(x0 +x1 ) ?
x2
6
1/2
x2 ? x2 ? x2 ? ?2 (?0 + ?1 )}?(?)
, x3
0 1 2
2 1/2
2
?(x) = exp{ 1 ?0 ?1 ln(x0 + x1 )?
?J23 ? J01 x0 ? x1 , ? ln(x0 + x1 )+
7 2
1/2
+arctg x3 , x2 + x2 1
? 2 arctg x2 }?(?)
x2
2 3 x3
?(x) = exp{? 1 ?2 ?3 ?
J23 ? 2 (P0 + P1 ) x0 + x1 , ?(x0 ? x1 )+
?
8 2
1/2
+arctg x2 , x2 + x3 ? arctg x2 }?(?)
2 3
x3 x3
1/2
x2 + x2 ?(x) = exp{? 1 ?1 ?2 ?
J12 + ?P0
9 ,
1 2 2
x0 + ? arctg x1 , x3 ? arctg x1 }?(?)
x2 x2
1/2
x2 + x2 ?(x) = exp{? 1 ?1 ?2 ?
J12 ? ?P3
10 ,
1 2 2
x3 + ? arctg x1 , x0 ? arctg x1 }?(?)
x2 x2
1/2
x2 ? x2 ?(x) = exp{ 1 ?0 ?1 ?
J01 ? ?P2
11 ,
0 1 2
x2 + ? ln(x0 + x1 ), x3 ? ln(x0 + x1 )}?(?)
?(x) = exp{ 1 (x0 + x1 )?
J02 + J12 + x0 ? x1 + (x0 + x1 )x2 +
12 4
+ 1 (x0 + x1 )3 ,
+P0 ? P1 ? ?2 (?0 + ?1 )}?(?)
6
x2 + 1 (x0 + x1 )3 , x3
4
1,2
x0 + x1 , x2 ? x2 ? x2
J02 + J12 ? ?P3 ?(x) = exp{? 2(x0 +x1 ) ?
x2
13 ,
0 1 2
x2 + ?(x0 + x1 )x3 , ? ?2 (?0 + ?1 )}?(?)

1 1 1
(?0 ? ?3 ) ??1 +?1 ??2 +?2 ??3 +iF ? = 0,(6.5)
(?0 +?3 )?+ (?0 + ?3 )?1 +
2 2 ?1

1
(?0 + ?1 ) ??1 + ?+
2?1
(6.6)
2 2
?1 + ?2 ?1
? ?1
+ (?0 + ?1 ) ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0,
2?1 ?2 ?2

1 1 1
(?0 ? ?1 ) ??1 +
(?0 + ?1 )? + (?0 + ?1 )?1 +
2 2 ?1
(6.7)
1 1
+ ?(?0 + ?1 ) + ?2 ??2 + ?3 ? + ?? 3 + iF ? = 0,
?3 2?3

1 1
(?0 + ?1 )??1 + ?(?0 ? ?1 ) + + iF ? = 0, (6.8)
?2 ??2 + ?3 ? + ?? 3
?3 2?3

1 ?
(6.9)
?2 ??1 + ?+ ?1 + ?0 ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0,
2?1 ?1
О редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака 245

1 ?
(6.10)
?2 ??1 + ?+ ?1 + ?3 ??2 + ?0 ??3 + iF ? = 0,
2?1 ?1

1 1 1
(?0 + ?1 )?1 + (?0 ? ?1 )
(?0 + ?1 )? + ?? 1 +
2 2 ?1 (6.11)
+ [?2 + ?(?0 + ?1 )] ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0,

[?0 ? ?1 + (?0 + ?1 )?2 ]??1 + ?2 ??2 + ?3 ??3 + iF ? = 0, (6.12)

? 2 + ?2
2
1 ?1
? ?1
? + (?0 + ?1 ) 1
(?0 + ?1 ) ??1 + ?? 2 +
2?1 2?1 ?2 ?2
(6.13)
?3
+ (?0 + ?1 ) + ?2 + ??1 ?3 ??3 + iF ? = 0.
?1

Здесь ??a ? ??/??a , a = 1, 2, 3; каждое из уравнений (6.1)–(6.13) получено с
помощью анзаца соответствующего номера из табл. 1.
Для того чтобы найти некоторые частные решения систем (6.1)–(6.13), совер-
шим в них (там, где это возможно) прямую редукцию к системам ОДУ или к си-
стемам ДУЧП с двумя независимыми переменными. Соответственно будем иметь
(F ? ?(??)k + m)
?
(7.1)
?1 ??1 + iF ? = 0,

(7.2)
?0 ??1 + iF ? = 0,

(7.3)
(?0 + ?1 )??1 + ?2 ??2 + iF ? = 0,

1
(7.4)
?2 ??1 + ? + iF ? = 0,
2?1
1
(7.5)
(?0 + ?3 )? + ?1 ??2 + iF ? = 0,
2
1 1 1
(?0 ? ?3 ) ??1 + iF ? = 0, (7.5a)
(?0 + ?3 )? + (?0 + ?3 )?1 +
2 2 ?1

1
(7.6)
(?0 + ?1 ) ??1 + ? + ?3 ??3 + iF ? = 0,
2?1
2 2
1 ?1 + ?2 ?1
? ?1 ??2 + iF ? = 0, (7.6a)
(?0 + ?1 ) ??1 + ? + (?0 + ?1 )
2?1 2?1 ?2 ?2

1 1
(7.7)
(?0 + ?1 )? + ?3 ? + ?? 3 + iF ? = 0,
2 2?3

1 1
?(?0 ? ?1 ) + (7.8)
?2 ??2 + ?3 ? + ?? 3 + iF ? = 0,
?3 2?3

1
(7.8a)
(?0 + ?1 )??1 + ?3 ? + ?? 3 + iF ? = 0,
2?3
246 В.И. Фущич, В.М. Штелень

1 ?
(7.9)
?2 ??1 + ?+ ?1 + ?0 ??2 + iF ? = 0,
2?1 ?1

1 ?
(7.10)
?2 ??1 + ?+ ?1 + ?3 ??2 + iF ? = 0,
2?1 ?1

1
(7.11)
(?0 + ?1 )? + [?2 + ?(?0 + ?1 )] ??2 + iF ? = 0,
2
(7.12)
?3 ??3 + iF ? = 0,

1 ?3
+ ?2 + ??1 ?3 ??3 + iF ? = 0. (7.13)
(?0 + ?1 ) ??1 + ? + (?0 + ?1 )
2?1 ?1

(каждому уравнению (7.1)–(7.13) отвечает анзац соответствующего номера табл. 1
с ?(?), зависящей от одной или двух инвариантных перемениых ?).
Выпишем некоторые решения систем (7.1)–(7.13) (? — постоянный спинор),
f (?) — произвольная дифференцируемая действительная функция, ? = ?(??)k +
?
m:

?(?) = exp{i??1 ?1 }?, (8.1)

?(?) = exp{?i??0 ?1 }?, (8.2)

?(?) = exp{i??2 ?2 } exp{i(?0 + ?1 )f (?1 )}?, (8.3)

(8.3a)
?(?) = (?0 + ?1 ) exp{?i(m?2 ?2 + f (?1 ))}?,

1

<< Предыдущая

стр. 58
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>