<< Предыдущая

стр. 59
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?(?) = v exp{i?2 g(?1 )}?,
?1
?
? ? (??)k ? 1?k + m?1 , k = 1, (8.4)
?
1?k 1
g(?1 ) =
?
?(??) ln ?1 + m?1 , k = 1,
?

i
?(?) = exp i?1 ? ? (?0 + ?3 ) ?2 ?, (8.5)
2

(8.6)
?(?) = (?0 + ?1 ) exp{?i(m?3 ?3 + f (?1 ))}?,
?1/2
(?0 + ?1 ) exp{?im?3 ?3 }?, (8.7)
?(?) = ?3
?1/2
?(?) = ?3 exp{i?3 g(?3 )} exp{i(?0 + ?1 )f (?1 )}?,
?
? ? (??)k ? 1?k + m?3 , k = 1, (8.8)
?
1?k 3
g(?3 ) =
?
?(??) ln ?3 + m?3 , k = 1,
?

i
?(?) = exp i [?2 + ?(?0 + ?1 )] ? ? (?0 + ?1 ) ?2 ?, (8.11)
2
О редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака 247

?(?) = exp{i?2 ??2 }?. (8.12)

Решения (8.1)–(8.12) инвариантны только относительно подгрупп группы P (1, 3).
Исходное же уравнение (1) пуанкаре-инвариантно, поэтому применим к (8.1)–
(8.12) операцию группового размножения решений [3, 4]. В результате получим
следующие многопараметрические семейства решений уравнения (1), имеющие яв-
но ковариантный вид и обладающие свойством P (1, 3)-неразмножаемости (понятие
G-неразмножимых решений введено в работе [10]):

?(x) = exp{i?(?a)ay}?,

?(x) = exp{?i?(?d)dy}?,

?(x) = exp{i?(?b)by} exp{i(?a + ?d)f (ay + dy)}?,

?(x) = (?a + ?d) exp{?i[m(?b)by + f (ay + dy)}?,

1 1 ay
?(x) = v exp ? (?a)(?b) arctg exp{i(?b)g(?)}?,
2 by
?
1/2
? = (ay)2 + (by)2 ,

1 1
?(x) = exp ? (?c)(?d) ln(cy + dy) exp (?a) i? + (?c + ?d)ay ?,
2 2

by
?(x) = exp ? (?b)(?a + ?d) ?
2(ay + dy) (9)
? (?a + ?d) exp {?i[m(?c)cy + f (ay + dy)]} ?,

1 1 by 1
?(x) = v exp ? (?b)(?c) arctg ? (?a)(?d) ln(ay + dy) ?
2 cy 2
?
1/2
? (?a + ?d) exp {?im(?c)?} ?, ? = (by)2 + (cy)2 ,

1 1 by
?(x) = v exp ? (?b)(?c) arctg exp {i(?c)g(?)} ?
2 cy
?
1/2
? exp {i(?a + ?d)f (ay + dy)} ?, ? = (by)2 + (cy)2 ,

1
(?d)(?a) ln(ay + dy) ?
?(x) = exp
2
1
? exp i[?b + ?(?a + ?d)] ? ? i(?a + ?d) (by + ? ln(ay + dy)) ?,
2

1
?(x) = exp ? (?a + ?d)(?b)(ay + dy) ?
4
1
? exp i?(?b) by + (ay + dy)2 ?.
4
248 В.И. Фущич, В.М. Штелень

В формулах (9) ? = ?(??)k +m, yµ = xµ +?µ ; ?µ , aµ , bµ , cµ , dµ — произвольные
?
постоянные, удовлетворяющие условиям

a2 ? aµ aµ = b2 = c2 = ?d2 = ?1, (10)
ab = bc = da = ac = bd = 0,

f (?) — произвольная дифференцируемая функция,
?
? ? (??)k ? 1?k + m?,
? k = 1,
1?k
g(?) =
?
?(??) ln ? + m?,
? k=1
Замечание. Приведенные нами анзацы, вообще говоря, не исчерпывают всех ан-
зацев, при которых нелинейное уравнение Дирака редуцируется к уравнениям с
меньшим числом независимых и зависимых переменных [11].
Так, например, анзац вида (получен совместно с Р.3. Ждановым)
?u
? = const,
?(x) = f (u) + i ?? g(u) ?,
?x?
где u = u(x) — скалярная функция, удовлетворяющая системе уравнений
?u ?u N
2u = N = ?2, ?1, 0, . . . , 3, ? = ±1, (11)
= ?, ,
?x? ?x? u
редуцирует нелинейное уравнение Дирака (1) к системе ОДУ для скалярных фун-
кций f и g:
k
f? = g ? f 2 + ?g 2 +m ,
(12)
N df dg
2k
f? ?
g = ?f ? f + ?g +m ? g
2
? , g=
? .
u du du
Обобщая результат Коллинза [12], выпишем общее решение системы (11)
? 1/2
? = ?1, N = ?2,
? (ay)2 + (by)2 + (cy)2 ,
?
?
?
?
? (ay)2 + (by)2 1/2 , ? = ?1, N = ?1,
?
?
?
?
? ay + F (by + dy), ? = ?1, N = 0,
?
?
dy, ? = 1, N = 0,
u(x) =
?
?
?
? (dy)2 ? (ay)2 1/2 ,
? ? = 1, N = 1,
?
?
?
? (dy)2 ? (ay)2 ? (by)2 1/2 ,
?
? ? = 1, N = 2,
?v
?
y ? y? , ? = 1, N = 3,
где y? = x? + ?? , ?? , a? , b? , c? , d? — произвольные постоянные, удовлетворяющие
условиям (10), F — произвольная дифференцируемая функция.
Решения системы (12) будут опубликованы в другой работе.

3. Неэквивалентные анзацы для векторного поля
Как уже упоминалось, зная анзацы для спинорного поля, можно построить по
?
формуле Aµ = ??µ ? анзацы для векторного поля Aµ .
О редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака 249

Таблица 2
Инвариантные переменные
№ Анзацы
? = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}
Aµ (x) = Bµ (?)
1 ax, bx, cx
Aµ (x) = Bµ (?)
2 dx, ax, bx
ax + dx, bx, cx Aµ (x) = Bµ (?)
3
[(ax)2 + (bx)2 ]1/2 , dx, cx Aµ (x) = [gµ? + (1 ? ?1 )(bµ b? + aµ a? )+
bx
4
+ ?1 (bµ b? ? b? aµ ]B ? (?)
ax

(dx+cx)2 ?1
[(dx)2 ? (cx)2 ]1/2 , ax, bx Aµ (x) = [gµ? + (dµ c? ? cµ d? )?
5 2(dx+cx)
2
? (dx+cx?1) (cµ c? ? dµ d? )]B ? (?)
2(dx+cx)
dx + cx, Aµ (x) = [gµ? + ax+dx (dµ + aµ )b? ? bµ (a? + d? )+
bx
6
[(dx)2 ? (ax)2 ? (bx)2 ]1/2 , cx + 1 ( ax+dx )2 (bµ b? + (aµ + dµ )?
bx
2
? (a? + d? ))]B ? (?)
2
{gµ? ? (dx+ax?1) (aµ a? + dµ d? )+
[(dx)2 ? (ax)2 ]1/2 , Aµ (x) =
7 2(dx+ax)
2
+ (dx+ax) ?1 (dµ a? ? d? aµ ) + (1 ? ?3 )?
? ln(dx + ax) + arctg cx ,
bx cx
2(dx+ax)
[(bx)2 + (cx)2 ]1/2 ? (bµ b? + cµ c? ) + ?3 (cµ b? ? bµ c? )}B ? (?)
bx

dx + ax, ?(dx ? ax)+ Aµ (x) = [gµ? + (1 ? ?3 )(bµ b? + cµ c? )+
cx
8
+arctg cx , [(bx)2 + (cx)2 ]1/2 + ?3 (cµ b? ? bµ c? )]B ? (?)
bx bx

[(ax)2 + (bx)2 ]1/2 , Aµ (x) = [gµ? + (1 ? ?1 )(bµ b? + aµ a? )+
bx
9
dx + ? arctg ax , cx + ?1 (bµ a? ? b? aµ )]B ? (?)
ax
bx
[(ax)2 + (bx)2 ]1/2 , Aµ (x) = [gµ? + (1 ? ?1 )(bµ b? + aµ a? )+
bx
10
cx + ? arctg ax , dx + ?1 (bµ a? ? b? aµ )]B ? (?)
ax
bx
(dx+ax)2 ?1
[(dx)2 ? (ax)2 ]1/2 , Aµ (x) = [gµ? + (dµ a? ? d? aµ )?
11 2(dx+ax)
2
? (dx+ax?1) (aµ a? + dµ d? )]B ? (?)
bx + ? ln(dx + ax), cx 2(dxa x)
[gµ? + 1 (dx + ax)(bµ (a? + d? )?
dx ? ax + (dx + ax)bx+ Aµ (x) =
12 2
+ 1 (dx + ax)3 , ? (aµ + dµ )b? ) + 1 (dx + ax)2 ?
6 8
bx + 1 (dx + ax)2 , cx ? ((aµ + dµ )(a? + d? ) + bµ b? ]B ? (?)
4
dx + ax, Aµ (x) = [gµ? + ax+dx ((aµ + d + µ)b? ?
bx
13
[(dx)2 ? (ax)2 ? (bx)2 ]1/2 , ? bµ (a? + b? )) + 1 ( dx+ax )2 ?
bx
2
bx + ?(dx + ax)cx ? (bµ b? + (aµ + dµ )(a? + d? ))]B ? (?)

Примечание. Здесь ? = 0, ? = ±1; a? , b? , c? , d? — произвольные постоянные, удовлетво-
ряющие условиям (10).

Ниже с помощью результатов раздела 1 построены P (1, 3)-неэквивалентные
явно ковариантные анзацы для векторного поля. Эти анзацы можно использовать
для поиска решений уравнений электродинамики, релятивистской гидродинамики,
уравнений Янга–Миллса и многих других. P (1, 3)-неэквивалентные анзацы для

<< Предыдущая

стр. 59
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>