<< Предыдущая

стр. 6
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где s ? p?r q?r
,t= 2; J4 = 0;
2
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 23

3) если p ? r — нечетное, q ? r — четное, то

0 ?1 0 ?s 0 ?1 0 ?t
+· · ·+ +· · ·+
J3 = +Ok + ,(5.17)
??1 ??s ??1 ??t
0 0 0 0

где s ? p?r q?r
2, 2;
t= J4 = 0;
либо
0 ?1 0 ?s 0 ?1 0 ?t
+· · ·+ +· · ·+
J3 = + +Ok ,(5.18)
??1 ??s ??1 ??t
0 0 0 0

где s = p?r , t ? q?r ; J4 = 0;
2 2
4) J3 = 0, J4 имеет вид (5.11);
5) J3 имеет вид 1)–3) настоящего предложения, J4 имеет вид (5.11).
Отметим, что предложение 5.4 дает также полное описание одномерных вполне
приводимых подалгебр алгебры LO(p, q). Такие подалгебры характеризуются тем,
что их изотропный ранг r = 0.
Пусть далее J — произвольная одномерная подалгебра изотропного ранга
r > 0; J = J1 ? J2 ? J3 ? J4 — естественное разложение элемента J. Элемент J3 ? J4
(n?2r)
по формуле [J3 ? J4 , X] = ?X · J3 + J4 · X, X ?
действует на пространстве Vr
(n?2r) (n?2r)
, и потому определяет линейный оператор ad2 (J3 ?J4 ) пространства Vr .
Vr
Его ядро и образ обозначим соответственно через Ker2 (J3 ? J4 ) и Im2 (J3 ? J4 ).
Аналогично, J4 действует на пространстве LO(r) по формуле [J4 , X] = J4 · X + X ·
J4 и определяет линейный оператор ad1 J4 пространства LO(r). Ядро и образ этого
T

оператора будем обозначать в дальнейшем через Ker1 J4 и Im1 J4 соответственно.
Справедливо следующее предложение.
Предложение 5.5 [11]. Ядро линейного оператора ad2 (J3 ? J4 ) в пространстве
(n?2r)
нулевое тогда и только тогда, когда матрицы J3 и J4 не имеют общих
Vr
характеристических чисел.
Теорема 5.1. Ненулевые одномерные подалгебры J изотропного ранга r > 0
алгебры LO(p, q) исчерпываются относительно O(p, q)-сопряженности такими
подалгебрами:
1) J1 = 0 или J1 ? Im1 J4 , J2 = 0 или J2 ? Im2 (J3 ? J4 ), J3 ? J4 относится к
типу 1)–5) предложения 5.4;
2) J1 имеет нормальную форму (5.14), J2 = 0, J3 = 0, J4 = 0;
3) J1 = 0, J2 имеет нормальную форму (5.13), J3 = 0, J4 = 0;
4) J1 имеет нормальную форму (5.14), J3 = 0, J4 = 0,
? ?
0 ··· 0
?11 0
?? 0 ··· 0 ?
?22
J2 = ? 21 ?, ?rs = 0, если s > r.
?· ·?
· · ···
?r1 ?r2 ?r3 · · · ?rs

Рассмотрим более подробно вопрос классификации одномерных подалгебр ал-
гебр LO(p, 1) и LO(p, 2). Исходя из предыдущих результатов, без труда можем
найти все одномерные вполне приводимые подалгебры и подалгебры изотропного
ранга 1. Более детально следует остановиться на классификации подалгебр изо-
тропного ранга 2 алгебры LO(p, 2). Эта задача сводится к описанию одномерных
24 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

подалгебр алгебры gl(2, R) с точностью до GL(2, R)-сопряженности и одномер-
ных подалгебр алгебры LO(p ? 2) с точностью до O(p ? 2)-сопряженности. Если
J4 ? gl(2, R) — произвольная ненулевая квадратная матрица порядка 2, то над
полем вещественных чисел она подобна одной из следующих матриц:
0 ? ? ? ? ? ? 0
(5.19)
, , , .
?? ??
0 ? 0 ? 0 ?

Произвольная матрица J3 ? LO(p?2) ортогонально-подобна над полем веществен-
ных чисел матрице
0 ?1 0 ?s
+ ··· + (5.20)
+ Ok ,
??1 ??s
0 0

где Ok — нулевая матрица порядка k ? 0, 1 ? s ? p?2 .2
(n?4)
Если далее J2 ? V2 , то матрица J2 имеет следующую нормальную форму:

···
?1 0 0
(5.21)
,
···
0 ?2 0
где ?1 = ?2 = 1, либо ?1 = 1, ?2 = 0.
Рассмотрим одномерную подалгебру J изотропного ранга 2, удовлетворяю-
0?
щую условию J2 = 0, J3 = 0, J1 = . Нетрудно убедиться, что подал-
?? 0
гебра J O(p, q)-сопряжена подалгебре J , удовлетворяющей условию J1 = 0,
J2 = 0, J3 = 0, тогда и только тогда, когда J4 не подобна одной из следующих
матриц:
0 ? ? 0 0?
(5.22)
, , .
?? ??
0 0 00

Теорема 5.2. Ненулевые одномерные подалгебры J алгебры L(p, 1), p > 1,
исчерпываются относительно O(p, 1)-сопряженности такими подалгебрами:
I. Вполне приводимые подалгебры:
0 ?p
0 ?1
+ ··· + 2 p — четное;
J= + O1 ,
??1 ?? p
0 0
2


II. Подалгебры изотропного ранга 1:
1) J1 = 0, J2 = 0, J4 = ?,
0 ?1 0 ?s
+ ··· +
J3 = + Ok ,
??1 ??s
0 0

где ? — произвольное вещественное число, 1 ? s ? p?1
, Ok — нулевая ма-
2
трица порядка k ? 0;
(1) (s) ?
2) J1 = 0, J2 = O1 , . . . , O1 , J2 , J4 = ?,

0 ?1 0 ?s
+ ··· +
J3 = + Ok ,
??1 ??s
0 0
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 25

(i) ?
где ? ? R, O1 = (0 0) — нулевая (1 ? 2)-матрица, J2 = (1, 0, . . . , 0), 1 ? s ?
, если p — четное, 1 ? s ? 2 , если p — нечетное.
p?1 p?1
2
Теорема 5.3. Ненулевые одномерные подалгебры J алгебры LO(p, 2), p ? 2,
исчерпываются относительно O(p, 2)-сопряженности такими подалгебрами:
I. Вполне приводимые подалгебры:
0 ?p
0 ?1
+ ··· + 2
1) J = , p — четное;
??1 0 ?? p 0
2
0 ?1 0 ?s 0 ?1
+···+ , где s ? p ;
2) J = + Ok +
??1 0 ??s 0 ??1 0 2

0 ?1
3) J = Op + , где Op — нулевая матрица порядка p;
??1 0
II. Подалгебры изотропного ранга 1:
0 ? p?1
0 ?1
+ ··· + 2
,p—
J1 = 0, J2 = 0, J4 = ?, J3 =
??1 0 ?? p?1 0
2
нечетное число;
III. Подалгебры изотропного ранга 2:
1) J1 = 0, J2 = 0, J3 = 0, J4 имеет вид (5.19);
01
2) J1 = , J2 = 0, J3 = 0, J4 = 0;
?1 0
3) J1 = 0, J2 имеет вид (5.21), J3 = 0, J4 = 0;
4) J1 = 0, J2 = 0, J3 имеет вид (5.20), J4 = 0;
0?
5) J1 = , J2 имеет вид (5.21), J3 = 0, J4 = 0;
?? 0
01
6) J1 = , J2 = 0, J3 имеет вид (5.20), J4 = 0;
?1 0
0?
7) J1 = , J2 = 0, J3 = 0, J4 имеет вид (5.22);
?? 0
(1) (s) ? (i)
8) J1 = 0, J2 = (O2 , . . . , O2 , J2 ), O2 — нулевая квадратная матрица,
?
порядка 2 (i = 1, . . . , s), J2 имеет вид (5.21), J3 имеет вид(5.20), J4 = 0;
1 0 ··· 0 00
9) J1 = 0, J2 = , J3 = 0, J4 = ;
00 0 0 0?
0 0 ··· 0 0?
10) J1 = 0, J2 = , J3 = 0, J4 = ;
1 0 ··· 0 00
11) J1 = 0, J2 = 0, J3 имеет вид (5.20), J4 имеет вид (5.19);
1 0 ··· 0
(1) (s) ? ?
12) J1 = 0, J2 = (O2 , . . . , O2 , J2 ), J2 = , J3 имеет вид
0 0 ··· 0
00
(5.20), J4 = ;
0?
0 0 ··· 0
(1) (s) ? ?
13) J1 = 0, J2 = (O2 , . . . , O2 , J2 ), J2 = , J3 имеет вид
1 0 ··· 0
0?
(5.20), J4 = ;
00
0? ?
14) J1 = 0, J3 имеет вид (5.20), J4 = , J2 = (A1 , A2 , . . . , As , J2 ),
?? 0
ai bi ?
где Ai = 0, если ? = ?i , Ai = , если ? = ?i , J2 имеет вид (5.21);
00
26 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

0?
15) J1 = , J2 = 0, J3 имеет вид (5.20), J4 имеет вид (5.22);
?? 0
0 0 ··· 0
0? 0?
16) J1 = , J2 = , J3 = 0, J4 = ;
?? 0 1 0 ··· 0 00
0? (1) (s) ? ?
17) J1 = , J2 = (O2 , . . . , O2 , J2 ), J2 имеет вид (5.21), J3 имеет
?? 0
вид (5.20), J3 имеет вид (5.20), J4 = 0;
0?
18) J1 = , J2 = (A1 , . . . , As , 0), J3 имеет вид (5.20),
?? 0
0? ai bi
, Ai = , если ? = ?i , Ai = 0, если ? = ?i ;
J4 =
?? 0 00
0? 0?
19) J1 = , J3 имеет вид (5.20), J4 = ,
?? 0 00
0 0 ··· 0
(1) (s) ? ? .
J2 = (O2 , . . . , O2 , J2 ), J2 =
1 0 ··· 0

§ 6. Вполне приводимые подалгебры алгебры LO(p, q)
Пусть L — произвольная подалгебра алгебры LO(p, q). Алгебру LO(p, q) будем
обозначать в этом параграфе через LO(V ). Предположим, что пространство V
разлагается в прямую ортогональную сумму L-подпространств V1 , . . . , Vs . Каждое
из подпространств Vi , очевидно, неизотропно . Если ?i — ограничение квадрати-
чной формы ? на пространство Vi , (pi , qi ) — сигнатура формы ?i , то по теореме
Витта существует O(p, q)-автоморфизм f пространства V , отображающий Vi на
Vi = Ti1 , . . . , Tipi , Tipi +1 , . . . , Tipi +qi (i = 1, . . . , s). Здесь i1 < · · · < ipi < p,
p < ipi + 1 < · · · < ipi +qi . При автоморфизме f алгебра L отображается на некото-
рую алгебру L ? LO(V ) и

V = V1 ? · · · ? V s — (6.1)

<< Предыдущая

стр. 6
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>