<< Предыдущая

стр. 61
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

10. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Zhdanov R.Z., Phys. Lett. B, 1985, 159, 189–191.
11. Olver P.J., Rosenau P., Phys. Lett. A, 1986, 114, 107–112.
12. Ovsyannikov L.V., The group analysis of differential equations, Moscow, Nauka, 1978.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 256–260.

Об одном обобщении метода разделения
переменных для линейных систем
дифференциальных уравнений
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ
Показано, что процедура построения решений в разделенных переменных тесно свя-
зана с исследованием совместности некоторой переопределенной системы дифферен-
циальных уравнений.

1. Метод разделения переменных является одним иа наиболее аффектавных
классических методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений в
частных производных. Его тесная связь с теоретико-групповыми свойствами урав-
нений была понята совсем независимо [1, 2]. Она состоит в том, что решение в
разделенных переменных и параметры разделения являются соответственно соб-
ственной функцией и собственными значениями некоторого набора операторов
{?i } симметрии рассматриваемого уравнения. Иначе говоря, справедпивы равен-
ства

L? ? {aµ (x)?xµ + a(x)}?(x) = 0, µ = 0, n ? 1, (1)

i = 1, n ? 1, (2)
?i ? = ?i ?,

где aµ , a — переменные (m?m)-матрицы, ? = (? 1 , . . . , ? m ), x = (x0 , x1 , . . . , xn?1 ),
?i = const, ?i — дифференциальные операторы, образующие (n ? 1)-мерную абе-
леву алгебру Ли симметрии уравнения (1), т.е. они удовлетворяют условиям

[?i , ?j ] = ?i ?j ? ?j ?i = 0, (3)

(4)
[L, ?i ]? = 0.
L?=0

Поэтому решения уравнения (1), удовлетворявшие условиям (2), естественно на-
зывать решениями в разделенных переменных.
Система дифференциальных уравнений (1), (2) является переопределенной и
условия (3), (4) обеспечивают ее совместность. Наше основное наблюдение со-
стоит в том, что требования (3), (4) можно значительно ослабить и тем самым
обобщить классическое определение разделения переменных.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Система уравнений
L? = 0,
(5)
Qi ? ? {bµ (x)?xµ + bi (x)}?(x) = 0, i = 1, n ? 1,
i

Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1987, C. 17–22.
Об одном обобщении метода разделения переменных 257

где bµ , bi — переменные матрицы (m ? m), совместна, если
i
k
[Qi , L] = Bi Qk + Bi L,
(6)
k
[Qi , Qj ] = Rij Qk + Rij L, i, j, k = 1, m.
В случае, когда
? ?
···
a0 (x) a1 (x) an?1 (x)
? b0 (x) ?
··· bn?1 (x)
b1 (x)
?1 ?
1 1
?=m?n
rank ? (7)
? ?
··· ··· ··· ···
b0 (x) b1 (x) · · · bn?1 (x)
n?1 n?1 n?1

условия (6) являются необходимыми и достаточными.
k k
В (6) Bi , Bi , Rij , Rij — некоторые дифференциальные операторы первого
порядка с матричными коэффициентами.
Доказательство. Проведем доказательство в предположении, что условие (7)
выполнено.
Если в (4) bµ (x) = ?i ?i (x), где ?i — символ Кронекера, то система (5) может
µ µ
i
бить записана в виде
(8)
?xµ ? = Aµ (x)?,

причем A0 = ?a?1 (ai Ai + a).
0
Хорошо известно (см., например, [3]), что необходимые и достаточные условия
совместности системы диффервнциальных уравнений (8) таковы:
[?xµ ? Aµ , ?x? ? A? ] = ?x? Aµ ? ?xµ A? + [Aµ , A? ] = 0. (9)
Следовательно, для системы (8) утверждения теоремы справедливы. Идея до-
казательства состоит в том, что система (5) может быть получена из (8) последо-
вательным применением преобразований эквивалентности
L > L,
(10)
Qi , i = k,
Qi > Qi =
Wi Qi , i = k,
где Wi = Wi (x) — невырожденные переменные матрицы (m ? m).
Замечание. Если в (6) Rij ? 0, Bi ? 0, Bi — (m ? m)-матрицы, Rij — константы,
k k

то требование (6) означает, что операторы Qi образуют (n ? 2)-мерную алгебру
Ли инвариантности уранненяя (1). Если же Rij ? 0, Bi ? 0, то Qi — нелиевские
k

операторы симметрии уравнения (1) (см. [4]). Наконец, если не все Rij , Pik равны
нулю, то мы имеем дело с так называемой нарушенной симметрией [5–6].
Следствие. Пусть операторы Qi образуют супералгебру Ли инвариантности
уравнения (1), тогда система (5) совместна.
Таким образом, для того чтобы строить решения в разделенных переменных
систем дифференциальных уравнений в частных производных, необходимо уметь
классифицировать алгебраические объекты типа (5), частным случаем которых
являются алгебры и супералгебры Ли. К настоящему времени эта задача нами
частично решена лишь для алгебр Ли и некоторых простейших супералгебр.
258 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Из доказательства теоремы следует, что при выполнении условия (7) систе-
му (5) можно заменить эквивалентной ей системой дифференциальных уравне-
ний (8). Если известно частное решение уравнений (9), то, подставляя его в
систему (8) и находя ее общее решение, получаем решение в разделенных пе-
ременных исходной системы дифференциальных уравнений (1). Оказывается, что
в ряде случаев с систему (9) решать проще, чем систему (1).
2. Эффективность нашего подхода продемонстрируем на линейном уравнении
Дирака

(i?µ ?xµ ? m)?(x) = 0, (11)

где ?µ — матрицы Дирака размерности (4 ? 4), ?(x) — четырехкомпонентный
дираковский спинор.
Стандартное определение разделения переменных в уравнении Дирака (в де-
картовых координатах) таково [7, 8]:

(12)
?(x) = V0 (x0 )V1 (x1 )V2 (x2 )V3 (x3 )?,

где Vµ — переменные (4 ? 4)-матрицы. Решения вида (12) получаются из (8), если
положить Ai = Ai (xi ), i = 1, 3. При этом условия (9) примут вид

(13)
?xi A0 = [Ai (xi ), A0 ],

(14)
[Ai (xi ), Aj (xj )] = 0, i, j = 1, 3,

где A0 = ??0 ?k Ak ? im?0 .
Предложение 1. Система дифференциальных уравнений (13), (14) совместна.
Чтобы доказать это утверждение, необходимо убедиться в справедливости то-
ждества

?xi ?xj A0 = ?xi [Aj , A0 ] = ?xj [Ai , A0 ] = ?xj ?xi A0 .

Но
?xi [Aj , A0 ] = [Aj , ?xi A0 ] = [Aj , [Ai , A0 ]] =
= [Ai , [Aj , A0 ]] = [Ai , ?xj A0 ] = ?xj [Ai , A0 ],

что и требовалось.
Предложение 2. Общее решение системы уравнений (8) имеет вид

?(x) = exp{A0 x0 }U1 (x1 )U2 (x2 )U3 (x3 )?, (15)

где
? xi xi
Ai (xi ) · · · Ai (xi ) dn xi , (16)
Ui (xi ) = I +
?i ?i
n=1
n раз

Ai (xi ) — произвольные (4 ? 4)-матрицы, удовлетворяющие условиям (13), (14),
? — произвольный постоянный спинор.
Об одном обобщении метода разделения переменных 259

Доказательство. Покажем, что формула
?(x) = exp{A0 x0 }?(x) (17)
дает решение системы (8), если
(18)
?xi ? = Ai (xi )?, i = 1, 3.
Действительно, в силу того, что ?x0 A0 ? 0, имеем ?x0 ? = A0 ?, кроме того,

(x0 )n n
?xi ? = ?xi A0 ?(x) =
n!
n
(19)
n n
(x0 ) n (x0 )
?xi An
= A0 ?xi ? + ?.
0
n! n!
n n

Так как
?A0 n?1 ?A0 n?2 ?A0
A0 + · · · + An?1
?xi An = A0 + A0 =
0 0
?xi ?xi ?xi (20)
= [Ai , A0 ]An?1 + · · · + An?1 [Ai , A0 ] = [Ai , An ],
0
0 0

то, подставляя (19), (20) в (8), получаем
exp{A0 x0 }(?xi ? ? Ai ?) = 0.
Нетрудно убедиться, что общее решение системы уравнений (18) может быть за-
писано в виде
?(x) = U1 (x1 )U2 (x2 )U3 (x3 )?,
где Ui — матрицант i-го уравнения из (18) задается формулой (16). Для этого
необходимо воспользоваться тoждеcтдвoм
xj xj
Aj (xj ) · · · Aj (xj ) dn xj = 0,
Ai ,
?j ?j

n раз

из которого [Ai (xi ), Uj (xj )] = 0, i = j.
Особенно простой вид имеют формулы (13)–(16) в том случае, когда матрицы
Ai постоянные. Из (13), (14) следует, что они должны удовлетворять следующей
нелинейной алгебраической системе матричных уравнений:
(21)
[Ai , Aj ] = 0, [?0 ?k Ak + im?0 , Ai ] = 0,
при этом решение уравнения (11)
?(x) = exp{?(?0 ?k Ak + im?0 )x0 + Aj xj }?. (22)
Удается найти общее решение соотношений (21), однако, полученный результат
очень громоздкий. Приведем здесь только некоторые частные решения
A1 = ?im?1 , A2 = ??1 ?2 ?3 , A3 = ??1 ,
(23)
A1 = ?1 + ?2 ?0 + ?3 ?1 ?2 + ?4 ?3 ?4 , A2 = ?2 ?1 A1 , A3 = 0,
?, ?1 , . . . , ?4 — прозвольные комплексные константы.
260 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Подставляя (23) в (24), получаем многопараметрические семейства точных ре-
шений уравнения Дирака.
Отметим, что операторы Qi = ?xi ? Ai , образуя алгебру Ли, вообще говоря, не
являются операторами симметрии уравнения Дирака, так как

[L, Qi ] = [?0 , Ai ]?0 L + ?0 [?0 ?k , Ai ]Qk , i = 1, 3.


1. Миллер У., Разделение переменных, М., Мир, 1981, 340 с.
2. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М., Халилов В.P., Шаповалов В.Н., Точные решения реля-
тивистских волновых уравнений, Новосибирск, Наука, 1982, 142 с.
3. Эйзенхарт Л.П., Непрерывные группы преобразований, М., Изд-во иностр. лит., 1947, 359 с.
4. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
5. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken
symmetry, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, № 2, L45–L48.
6. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel Publishing
Company, 1987, 214 p.
7. Cook А.H., On separable solutions of Dirac’s equation for the electron, Proc. R. Soc. Lond. A, 1982,
333, 247–278.
8. Kalnius E.G., Miller W., Williаms G.C., Matrix operator symmetries of the Dirac equation and
separation of variables, J. Math. Phys., 1986, 27, № 8, 1893–1900.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 261–282.

On some exact solutions of a system
of non-linear differential equations
for spinor and vector fields
W.I. FUSHCHYCH, R.Z. ZHDANOV
The problem of finding ans?tze for a non-linear Dirac equation which is invariant under
a
the extended Poincar? group is solved. With the help of these ans?tze some multi-
e a
parameter families of exact solutions of non-linear Dirac and Dirac-Maxwell equations

<< Предыдущая

стр. 61
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>