<< Предыдущая стр. 67(из 145 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
e

Appendix
It is important to note that the ans?tze (3.16)–(3.29) do not exhaust all possible
a
ans?tze for the Dirac equation (1.1). To reduce (1.1) to ODE one can use the following
a
ansatz:
(A1)
?(x) = [ig(?) + f (?)?µ ??/?xµ ]?,
where g, f are unknown real-valued functions, ? is an arbitrary constant spinor and
? = ?(x) is a real-valued function satisfying conditions of the form
pµ pµ ? + A(?) = 0,
(A2)
A, B : R1 > R1 .
(pµ ?)(pµ ?) + B(?) = 0,
Substitution of (A1) into (1.1) gives a system of ode for determination of f and g.
We now list some multiparameter families of exact solutions of the non-linear Dirac
equation (1.1) obtained in this way.
(i) k ? R, k = 0
?(x) = ?i sinh ?(??)1/2k ? + ?µ (??/?xµ ) cosh ?(??)1/2k ?
? ? ?,
where ?(x) is determined by the following equalities:
(A3)
(a) ? = bx cos ?1 + cx sin ?1 + ?2 ,
(A4)
(b) ax + bx cos ?1 + cx sin ?1 + ?2 = 0,
and ?i = ?i (ax + dx), ?i = ?i (? + dx) are arbitrary differentiable functions.
(ii) k > 1,
1/2
?(x) = ? ?k ± 1 ? k ?1 + ? ?1 [(bx + ?1 )(?b + (?a + ?d)?1 ) +
?
(A5)
+ (cx + ?2 )(?c + (?a + ?d)?2 )] ?,
?
1/2
? = (bx + ?1 )2 + (cx + ?2 )2 ,
where ?i = ?i (ax + dx) are arbitrary differentiable functions and the dot means
differentiation with respect to ax + dx.
(iii) k = 1,
?3/2
[i ? ?((?a)(ax) ? (?b)(bx) ? (?c)(cx))]?,
?(x) = 1 + ?2 ? 2
(A6)
1/2
? = (ax)2 ? (bx)2 ? (cx)2
and the following condition holds:
3? ? ?(??)1/2k = 0.
?
In (A3)–(A6) aµ , bµ , cµ , dµ are arbitrary parametrs satisfying the following conditi-
ons:
?aa = bb = cc = dd = ?1, ab = ac = ad = bc = bd = cd = 0.
282 W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov

1. Akdeniz K.G., Lett. Nuovo Cimento, 1982, 33, 40–44.
2. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, New York, Academic, 1972.
3. Fushchych W.I., The symmetry of mathematical physics problems, in Algebraic-Theoretical Studies
in Mathematical Physics, Kiev, Mathematical Institute, 1981, 6–28.
4. Fushchych W.I., On symmetry and some exact solutions of some many-dimensional equations of
mathematical physics, in Theoretical-Algebraic Methods in Mathematical Physics Problems, Kiev,
Mathematical Institute, 1983, 4–23.
5. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl. Akad. Nauk, 1983, 273, 543–546.
6. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Dokl. Akad. Nauk, 1983, 269, 88–92.
7. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 271–277.
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Phys. Lett. B, 1983, 128, 215–217.
9. Fushchych W.I., Tsifra I.M., Teor. Mat. Fiz., 1985, 64, 41–50.
10. G?rsey F., Nuovo Cimento, 1956, 3, 980–987.
u
11. Kortel F., Nuovo Cimento, 1956, 4, 210–215.
?
12. Lie S., Vorlesungen uber Differentialgleichungen mit bekanten infinitesimalen Transformationen,
Leipzip, Teubner, 1891.
13. Mack G., Salam A., Ann. Phys., NY, 1969, 53, 174–202.
14. Merwe P.T., Phys. Lett. B, 1981, 106, 485–487.
15. Takahashi K., J. Math. Phys., 1979, 20, 1232–1238.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 283–306.

О непрерывных подгруппах конформной
группы пространства Минковского R1,n
Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ

Получен ряд общих результатов о подалгебрах алгебры Ли AC(1, n) конформной
группы C(1, n) пространства Минковского R1,n , исследуемых относительно C(1, n)-
сопряженности. Найдены в явном виде максимальные, максимальные разрешимые,
максимальные абелевы и одномерные подалгебры алгебры AC(1, n). Проведена клас-
сификация всех подалгебр алгебры AC(1, 4). Посредством симметрийной редукции
найдены некоторые точные решения уравнения эйконала.

Введение
Конформная группа C(1, n) является группой инвариантности ряда важных
уравнений теоретической и математической физики [1]. Поэтому подгруппы этой
группы можно использовать для построения точных решений таких уравнений.
Если ограничиться связными подгруппами группы C(1, n), то задача об их класси-
фикации относительно C(1, n)-сопряженности сводится к задаче о классификации
подалгебр алгебры Ли AC(1, n) группы C(1, n) относительно C(1, n)-сопряжен-
ности. Такая классификация была проведена для n = 2 [2]. В работах [3, 4] клас-
?
сифицированы подалгебры алгебр AP (1, 3), AOpt(1, 3), что позволяет говорить о
почти завершенной классификации подалгебр алгебры AC(1, 3).
В данной работе для произвольного n ? 2 изучается структура подалгебр алге-
бры AC(1, n). Работа является продолжением исследований, выполненных в [5–9].
В § 1 приведено модифицированное изложение известных результатов о реализа-
циях конформной группы и ее алгебры Ли. В § 2, используя результаты работ (10,
11], мы даем описание максимальных подалгебр алгебры AC(1, n). В §§ 3, 4 ис-
?
следуются подалгебры алгебр AP (1, n), AOpt(1, n) соответственно. Здесь же изло-
?
жена классификация подалгебр алгебр AP (1, 4), AOpt(1, 4) относительно C(1, 4)-
сопряженности. В § 5 выделены максимальные разрешимые, максимальные абе-
левы и одномерные подалгебра алгебры AC(1, n). § 6 посвящен классификации
подалгебр алгебры AC(1, 4). В приложении приведены некоторые точные решения
уравнения ейконала.

§ 1. Реализация конформной группы и ее алгебры Ли
Пусть R1,n (n ? 2) — пространство Минковского с метрикой g?? , где g?? = 0
при ? = ?, g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = 1 (?, ? = 0, 1, . . . , n). Отображение xi =
xi (y0 , y1 , . . . , yn ) (i = 0, 1, . . . , n) области U ? R1,n в R1,n называется конформным,
если
?xk kl ?xl
(?(x) = 0; x = x(y); x, y ? U ; ?, ? = 0, 1, . . . , n).
g = ?(x)g?? ,
?y? ?y?

Препринт 88.34, Институт математики АН УССР, Киев, 1988, 48 c.
284 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Согласно теореме Лиувилля конформное преобразование области U является ком-
позицией движения, дилатации и инверсии или композицией движения и дилата-
ции. Под движениями подразумеваются элементы группы O(1, n) и сдвиги (транс-
ляции) Ta : x > x + a, под дилатациями (разтяжениями) — отображения x > ?x
(? ? R, ? > 0), а инверсиями называют отображения
x0 x1 xn
? ?
S:x> , 2,..., 2 , STa ,
x2 x x
где x = (x0 , x1 , . . . , xn ), x 2 = x2 ? x2 ? · · · ? x2 .
n
0 1
Пусть O(2, n + 1) — группа изометрии псевдоэвклидова простраства R2,n+1 .
Эта группа сохраняет конус

x2 + x2 ? x2 ? · · · ? x2 = 0
1 2 3 n+3

и действует на этом конусе точно. Пусть

xµ = zµ+2 (zn+3 ? z1 )?1 (µ = 0, 1, . . . , n).

Тогда

x2 ? 1
zn+3 + z1 2zn+3
2
x= , z1 = 2 zn+3 , zµ+2 = xµ (µ = 0, 1, . . . , n).
zn+3 ? z1 x2 + 1
x +1

Пусть C = (c?? ) (?, ? = 1, . . . , n + 3) — элемент O(2, n + 1). Отображение
x = Cx индуцирует отображение ?C : x > x , которое в развернутом виде
запишется так:

2cµ? x??2 + (cµ,n+3 + cµ1 )x 2 + (cµ,n+3 ? cµ1 )
(1.1)
xµ?2 = ,
2(Cn+3,? ? c1? )x??2 + ax 2 + b

где µ, ? = 2, . . . , n + 2; a = cn+3,n+3 ? c11 ? c1,n+3 + cn+3,1 , b = cn+3,n+3 + c11 ?
c1,n+3 ? cn+3,1 .
Теорема 1.1. Отображение ? : O(2, n + 1) > C(1, n), сопоставляющее матрице
C ? O(2, n + 1) локальное преобразование ?C пространства R1,n , является
гомоморфизмом группы O(2, n + 1) на группу C(1, n) с ядром {±En+3 }.
Доказательство. Если
? ?
···
1 0 0 0
?0 ?
···
c22 c2,n+2 0
? ?
?· ?,
· ··· · ·
C=? ?
? 0 cn+2,2 ?
··· cn+2,n+2 0
···
0 0 0 1

то формула (1.1) примет вид xµ?2 = cµ? x??2 (µ, ? = 2, . . . , n + 2). Пусть a =
(a0 , a1 , . . . , an ) ? R1,n ,

E1,n = diag[1, ?1, . . . , ?1], Em = diag[1, . . . , 1],
n m
О непрерывных подгруппах конформной группы 285

a T — вектор-столбец, получаемый из a в результате транспонирования,
? ?
a2 a2
? ? 2 + 1 aE1,n ?
2
? ?
C = ? ?a ?.
T T
En+1 a
? ?
? ?
2 2
a a
? aE1,n +1
2 2
Тогда C ? O(2, n + 1), а преобразование (1.1) примет вид xµ = xµ + aµ (µ =
0, 1, . . . , n). Если
?2 ?
?2 ? 1
? +1
0
? 2? 2? ?
? ?
C=? ?,
0 En+1 0
? ?
? ?2 ? 1 ? +1 ?
2
0
2? 2?
то xµ = ?xµ (µ = 0, 1, . . . , n). Если C = ?E1,n+2 , то

xµ = (µ = 0, 1, . . . , n).
x2
На основания проведенних рассуждений и теоремы Лиувилля заключаем, что ка-
ждое конформное преобразование имеет вид ?C , где C ? O(2, n + 1). Теперь
покажем, что для каждой матрицы C ? O(2, n + 1) отображение ?C является
конформным.
??
Если Ta — сдвиг пространства R1,n на вектор a, то STa S задается формулой
xµ + x 2 aµ
xµ = (µ = 0, 1, . . . , n).
2g ?? a? x? + a 2 x 2 + 1
??
Композиция STa S и преобразования подобия
xµ = ?bµ? x ? + cµ
совпадают с преобразованием
(?bµ? + 2cµ g?? a? )x? + (?bµ? a? + a 2 cµ )x 2 + cµ
(1.2)
xµ = .
2g?? a? x? + a 2 x 2 + 1
Если b = 0, то формулу (1.1) можно записать таким образом:
2b?1 cµ? x??2 + b?1 (cµ,n+3 + cµ1 )x 2 + b?1 (cµ,n+3 ? cµ1 )
(1.3)
xµ?2 = .
2b?1 (cn+3,? ? c1? )x??2 + b?1 ax 2 + 1
Нетрудно установить, что преобразование (1.3) является преобразованием (1.2).
Пусть
01
J= .
10
Матрицы diag [J, En+1 ], diag [1, 1, . . . , J, . . . , 1] содержатся в O(2, n + 1). Отображе-
ние ? сопоставляет каждой из этих матриц отображение вида (1.3), т.е. конформ-
ное преобразование пространства R1,n . Умножение матрицы C ? O(2, n + 1) на
286 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

одну из указанных матриц слева или справа равносильно перестановке в матрице
C соответственно столбцов или строк.
Если в формуле (1.1) b = 0, то, переставляя в матрице C строки и столбцы,
мы получим матрицу C, для которой ? = 0. Но в таком случае ?C — конформное
? b ?
преобразование, а значит, ?C — также конформное преобразование.
На основании всего изложенного можно сделать вывод, что ? — гомоморфизм
O(2, n+1) на C(1, n). Нетрудно установить, что ядро ? состоит из ±En+3 . Теорема
 << Предыдущая стр. 67(из 145 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>