<< Предыдущая

стр. 68
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

доказана.
Группу C(1, n) будем рассматривать как группу Ли, для которой гладкое мно-
гообразие индуцируется гладким многообразием группы O(2, n + 1).
Гомоморфизм ? : O(2, n + 1) > C(1, n) индуцирует гомоморфизм f алгебры
AO(2, n + 1) на алгебру AC(1, n). Но алгебра AO(2, n + 1) при n > 1 являе-
тся простой. Поэтому Ker f = 0, а значит, f — изоморфизм AO(2, n + 1) на
AC(1, n). Исходя из этого факта, получаем коммутационные соотношения для ал-
гебры AC(1, n).
Пусть ?ab (a, b = 1, . . . , n + 3) — генераторы стандартного базиса алгебры
AO(2, n + 1). Тогда базис алгебры AC(1, n) образуют J?? , P? , K? , D (?, ? =
0, 1, . . . , n; ? = ?), где

J?? = f (??+2,?+2 ) (?, ? = 0, 1, . . . , n),
P? = f (?1,?+2 ? ??+2,n+3 ) (? = 0, 1, . . . , n),
D = ?f (?1,n+3 ).
K? = f (?1,?+2 + ??+2,n+3 ) (? = 0, 1, . . . , n),

Выписанные генераторы удовдетворяют следующим коммутационним соотношени-
ям:

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? , [P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? ,
[K? , J?? ] = g?? K? ? g?? K? ,
[P? , P? ] = 0, [K? , K? ] = 0,
[D, K? ] = ?K? , [K? , P? ] = 2(g?? D ? J?? )
[D, P? ] = P? , [D, J?? ] = 0,
(?, ?, ?, ? = 0, 1, . . . , n).

Как следует из доказательства теоремы 1.1, J?? , P? , D являюся генераторами
псевдовращений, трансляций (сдвигов), дилатации соответственно. Далее матрице
?
?E1,n+2 гомоморфизм ? сопоставляет инверсию S. Так как

E1,n+2 (?1,a+2 ? ?a+2,n+3 )E1,n+2 = ?(?1,a+2 + ?a+2,n+3 ),

??
то SPa S = ?Ka . Значит, Ka является генератором однопараметрической группы
? ?
S exp(?Pa )S.
Теперь найдем векторные поля, отвечаючие конформным преобразованиям про-
странства R1,n . Известно, что

Jab = xb ?a ? xa ?b , D = ?x? ??
P ? = ?? , J0a = x0 ?a + xa ?0 ,
?
? = 0, 1, . . . , n, a, b = 1, . . . , n, ?? = .
?x?
О непрерывных подгруппах конформной группы 287

Далее,
x0 x1 xn
?? ?
(S?? S)f (x0 , x1 , . . . , xn ) = S?? f , ,..., 2 =
2 x2
x x
?f x0 ?f x1
? ? ? 2 2 (2g? x? ) + · · · +
? ?
=S (2g? x? ) +
(x 2 )2
?x0 ?x1 (x )
?f xn ?f 1
? ?
+ (2g? x? ) + =
(x 2 )2 ?x? x 2
?xn
?
2g? x? x0 ?f x1 ?f xn ?f
? ? + ··· + 2
=S +2 +
x2 x 2 ?x0 x ?x1 x ?xn
2 2 2
x0 x2 xn ?
? ? ··· ?
+ =
x2 x2 x2 ?x?
?f ?f
= ?(2g? x? )x?
?
+ g ?? x? x? .
?x? ?x?
Мы получили, что
? ?
? g ?? x? x?
?
K? = 2g? x? x? .
?x? ?x?
Теорема 1.2. Если отождествить алгебры AC(1, n) и AO(2, n + 1), то группа
C(1, n)-автоморфизмов алгебры AC(1, n) совпадает с ее группой O(2, n + 1)-
автоморфизмов.
Доказательство. Пусть X, Y, Z ? AO(2, n + 1), g ? O(2, n + 1), f : AO(2, n +
1) > AC(1, n) — изоморфизм, индуцированный гомоморфизмом ? : O(2, n + 1) >
C(1, n). Если
g exp(tX)g ?1 = exp(tY ),
то
?(g)?(exp(tX))?(g)?1 = ?(exp(tY )).
Отсюда заключаем, что gXg ?1 = Y , ?(g)f (X)?(g)?1 = f (Y ). Значит, каждый
O(2, n + 1)-автоморфизм алгебры AC(1, n) является C(1, n)-автоморфизмом.
Наоборот, пусть мы имеем C(1, n)-автоморфизм алгебры AC(1, n): ?(g)f (X)
?(g)?1 = f (Y ). Если g exp(tX)g ?1 = exp(tZ), то ?(g)f (X)?(g)?1 = f (Z). Отсюда
следует, что f (Y ) = f (Z), а потому Y = Z. Значит, данный C(1, n)-атоморфизм
индуцируется O(2, n + 1)-автоморфизмом gXg ?1 = Y . Теорема доказана.

§ 2. Максимальные подалгебры конформной алгебры
В дальнейшем будем отождествлять прообраз с образом при изоморфизме f
алгебры AO(2, n + 1) на алгебру AC(1, n). В связи с этим мы получаем два набора
обозначенкй для одного и того же базиса. Пусть Iab — матрица порядка n +
3, имеющая единицу на пересечении a-й строки и b-го столбца и нули иа всех
остальних местах. Тогда базис алгебры AO(2, n + 1) составляют матрицы:
?12 = I12 ? I21 , ?ab = ?Iab + Iba (a < b, a, b = 3, . . . , n + 3),
?ia = ?Iia ? Iai (i = 1, 2, a = 3, . . . , n + 3).
288 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Базисные элементы удовлетворяет таким коммутационним соотношениям:
[?ab , ?cd ] = ?ad ?bc + ?bc ?ad ? ?ac ?bd ? ?bd ?ac ,
где ?11 = ?22 = ??33 = · · · = ??n+3,n+3 = 1, ?ab = 0 при a = b (a, b = 1, 2, . . . , n +
3).
Эти же базисные элементы мы обозначаем и таким образом:
1
??+2,?+2 = J?? (?, ? = 0, 1, . . . , n, ? < ?), ?1,?+2 = (K? + P? ),
2
1
(K? ? P? ) (? = 0, 1, . . . , n), ??1,n+3 = D.
??+2,n+3 =
2
Пусть R2,n+1 = Q1 , . . . , Qn+3 — (2+n+1)-мерное псевдоэвклидово пространс-
тво с метрикой
?(X, X) = x2 + x2 ? x2 ? · · · ? x2 , X = xi Qi .
1 2 3 n+3

Если W — невырожденное подпространство пространства R2,n+1 , то через O(W )
обозначим группу изометрий пространства W , а через AO(W ) — ее алгебру Ли.
Подалгебра F ? AO(W ) называется неприводимой, если в W не существует
F -инвариантное подпространство, отличное от O и W . В противном случае F
называется приводимой. Если для каждого F -инвариантного подпространства W в
W существует такое F -инвариантное подпространство W в W , что W = W ?W ,
то алгебра F называется вполне приводимой.
Чэнь Су-шин и Гринберг [10] установили, что алгебра AO(1, m) (m ? 2) не
имеет неприводимых подалгебр, отличных от AO(1, m). Тауфик [11] показал, что
всякая полупростая неприводимая подалгебра алгебры AO(2, m) (m ? 3) перехо-
дится автоморфизмом этой алгебры в одну из следующих алгебр:
1) AO(2, m); 2) ASU (1, m|2) (m — четное);
v v
3) ?14 + 3?13 + ?25 , ??15 + ?24 ? 3?23 , ?12 ? 2?45 (m = 3).
Если m — нечетное число, то неприводимая подалгебра алгебры AO(2, m) явля-
ется полупростой, а потому совпадает с AO(2, m). Если m = 2k и F — непо-
лупростая неприводимая подалгебра алгебры AO(2, m), то F разлагается в пря-
мую сумму фактора Леви и одномерного центра Z . С точностью до O(2, m)-
сопряженности Z = ?12 ? ?34 ? · · · ? ?2k+1,2k+2 . Централизатор L элемента Z в
AO(2, m) состоит иа матриц
? ?
· · · ?1,k+1 E + µ1,k+1 J
µ11 J ?12 E + µ12 J
? · · · ?2,k+1 E + µ2,k+1 J ?
?12 E ? µ12 J
? ?
µ22 J
? ?,
? ?
· · ··· ·
?1,k+1 E ? µ1,k+1 J ??2,k+1 E + µ2,k+1 J ··· µk,k+1 J
где
10 01
E= , J= .
?1 0
01
Значит, L = ASU (1, k) ? Z . Отсюда на основания результата Тауфика заключа-
ем, что с точностью до O(2, 2k)-сопряженности алгебра ASU (1, k) ? Z является
единственной максимальной неприводимой подалгеброй алгебры AO(2, 2k).
О непрерывных подгруппах конформной группы 289

Пусть F — подалгебра алгебры AO(2, n + 1) и пусть F не имеет в R2,n+1 ин-
вариантных изотропных подпространств. Тогда F — вполне приводимая алгебра.
Существует такое ортогональное разложение R2,n+1 = W1 ? · · · ? Ws , что F допу-
скает разложение в подпрямую сумму F = F1 + · · · + Fs , где Fi — неприводимая
? ?
подагебра алгебры AO(Wi ) (i = 1, . . . , s).
Пустъ ?i (X, X) — ограничение метрики ?(X, X) на Wi (i = 1, . . . , s). Если
(2, m) — сигнатура ?1 (X, X), то на основании теоремы Витта о продолжении
изометрий можно предполагать, что W1 = R2,m = Q1 , Q2 , . . . , Qm+2 , W2 =
Qm+3 , . . . , Qk2 , . . ., Ws = Qks?1 +1 , . . . , Qn+3 . В этом случае F1 — неприво-
димая подалгебра алгебры AO(2, m), а F2 , . . . , Fs — неприводимые подалгебры ор-
тогональных алгебр AO(k2 ? m ? 2), . . . , AO(n + 3 ? ks?1 ) соответственно. Фактор
Леви алгебры F1 является прямым слагаемым алгебры F .
Если ?i (X, X) имеет сигнатуру (1, mi ) (i = 1, 2), то по теореме Витта будем
предполагать, что W1 = Q1 , Q3 , . . . , Qm1 +2 , W2 = Q2 , Qm1 +3 , . . . , Qm1 +m2 +2 ,
W3 = Qm1 +m2 +3 , . . . , Qk3 , . . ., Ws = Qks?1 +1 , . . . , Qn+3 . В этом случае F1 =
AO(1, m1 ), F2 = AO(1, m2 ), F1 + F2 — прямое слагаемое алгебры F , причем, если
?
F1 + F2 = F1 ? F2 , то m1 = m2 и F1 + F2 — диагональ в F1 ? F2 .
? ?
Определение. Пусть W — подпространство пространства R2,n+1 . Нормали-
затором W в AO(2, n + 1) называется множество Nor W = {X ? AO(2, n +
1)|(? Y ? W ) (XY ? W )}.
Легко видеть, что Nor W является подалгеброй Ли алгебры AO(2, n + 1). Не-
посредственными вычислениями устанавливаем справедливость следующего пре-
дложения.
Предложение 2.1. Нормализатор одномерного изотропного пространства
Q1 + Qn+3 совпадает с алгеброй
?
AP (1, n) = P0 , P1 , . . . , Pn + (AO(1, n) ? D ),
?

а нормализатор двумерного изотропного пространства Q1 + Qn+3 , Q2 + Qn+2
совпадает с алгеброй

AOpt(1, n) = M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? C, S, T, Z ),
?

где AO(1, n) = J?? |?, ? = 0, 1, . . . , n ? 1 , AO(n ? 1) = Jab |a, b = 1, . . . , n ? 1 ,
M = P0 + Pn , Ga = J0a ? Jan (a = 1, . . . , n ? 1), C = J0n ? D, Z = J0n ? D,
S = 1 (K0 + Kn ), T = 1 (P0 ? Pn ).
2 2
? (1, n) называется расширенной алгеброй Пуанкаре, а алгебра
Алгебра AP
AOpt(1, n) — оптической алгеброй пространства R1,n . Последнее название связано
с тем, что AOpt(1, n) является нормализатором в AC(1, n) изотропного подпро-
странства P0 + Pn пространства R1,n , порожденного изотропным или световым
вектором P0 + Pn .
Предложение 2.2. Если n — четное число и n > 2, то алгебра AO(2, n + 1) не
имеет собственных неприводимых подалгебр. Алгебра AO(2, 3) обладает одной
собственной неприводимой подалгеброй
v v
?14 + 3?13 + ?25 , ??15 + ?24 ? 3?23 , ?12 ? 2?45 .
290 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Если n — нечетное число и n > 1, то алгебра AO(2, n + 1) имеет одну макси-
мальную (собственную) неприводимую подалгебру, совпадающую с ASU (1, (n+
1)/2) ? Z . Максимальные приводимые подалгебры алгебры AO(2, n + 1) исчер-
пываются относительно O(2, n + 1)-сопряженности такими алгебрами:
?
1) AP (1, n); 2) AOpt(1, n);
3) AO1 (1, k)?AO2 (1, n?k), где AO1 (1, k) = ?ab |a, b = 1, 3, . . . , k+2 , AO2 (1, n+
1 ? k) = ?ab |a, b = 2, k + 3, . . . , n + 3 (k = 2, . . . , [n + 1/2]; n ? 3);
4) AO(2, k) ? AO(n ? k), где AO(n ? k) = ?ab |a, b = k + 3, . . . , n + 3 (k =
0, 1, . . . , n).
Доказательство. Пусть F — подалгебра алгебры AO(2, n + 1), W — вырожден-
ное подпространство пространства R2,n+1 , инвариантное относительно F . Про-
странство W содержит F -инвариантное изотропное подпространство, сопряженное
Q1 + Qn+3 или Q1 + Qn+3 , Q2 + Qn+2 . На основании предложения 2.1 алгебра
?
F O(2, n)-сопряжена подалгебре одной из алгебр: AP (1, n), AOpt(1, n).
Остальные случаи рассмотрены при исследовании вполне приводимых подал-
гебр алгебры AO(2, n + 1). Предложение доказано.

3. О подалгебрах расширенной алгебры Пуанкаре
?
В работах [6, 8] получен рях общих результатов о подалгебрах алгебры AP (1, n),
?
рассматриваемых с точностью до P (1, n)-сопряженности, а также проведена клас-
? ?
сификация всех подалгебр алгебры AP (1, 4) относительно P (1, 4)-сопряженности.
В этом параграфе мы переформулируем те предложения о подалгебрах алгебры
? ?
AP (1, n), где замена P (1, n)-сопряженности на C(1, n)-сопряженность дает неко-
торое упрощение перечня рассматриваемых подалгебр.
Пусть h = exp ? (K0 + P0 + Kn ? Pn ). Тогда hGa h?1 = Pa , hPa h?1 = ?Ga ,
4
hJ0n h?1 = ?D, hDh?1 = ?J0n , hM h?1 = M .
В дальнейшем будем использовать такие обозначения: X1 , . . . , Xs — вектор-
ное пространство или алгебра Ли над R с генераторами X1 , . . . , Xs ;

V [k, l] = Gk , . . . , Gl (k ? l), W [k, l] = Pk , . . . , Pl (k ? l);
M[r, t] = M, Pr , . . . , Pt , Gr , . . . , Gt (r ? t);
AH(0) = O, AH(2d) = AH(2d + 1) = J12 , J34 , . . . , J2d?1,2d (d ? 1); (3.1)
K + L — подпрямая сумма алгебр K и L;
?
?[r, t] = Gr + ?r Pr , . . . , Gt + ?t Pt , M ,

где r ? t, 0 < ?r ? · · · ? ?t = 1.
?

<< Предыдущая

стр. 68
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>