<< Предыдущая

стр. 69
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теорема 3.1. Максимальные абелевы подалгебры алгебры AP (1, n) исчерпыва-
ются относительно C(1, n)-сопряженности такими алгебрами:

W [0, n]; ?[1, s] ? W [s + 1, n ? 1] (s = 1, . . . , n ? 2);
?[1, s] ? V [s + 1, t] ? W [t + 1, n ? 1] (s = 1, . . . , n ? 3; 2t ? n ? 1 + s);
G1 + 2T, M ? W [2, n ? 1]; M + 2T ? AH(n) (n ? 0 (mod 2));
AH(n ? 2) ? Gn?1 + 2T, M (n ? 0 (mod 2));
AH(2d) ? T ? W [2d + 1, n] (d = 1, . . . , [n ? 1/2]);
AH(2d) ? ?[2d + 1, s] ? W [s + 1, n ? 1] (d = 1, . . . , [n ? 3/2]);
О непрерывных подгруппах конформной группы 291

AH(2d) ? ?[2d + 1, s] ? V [s + 1, t] ? W [t + 1, n ? 1] (2t ? n ? 1 + s;
d = 1, . . . , [n ? 4/2]);
AH(2d) ? V [2d + 1, s] ? W [s + 1, n ? 1] (2s ? n ? 1 + 2d;
d = 1, . . . , [n ? 3/2]);
AH(2d) ? G2d+1 + 2T, M ? W [2d + 2, n ? 1] (d = 1, . . . , [n ? 3/2]);
AH(n ? 1) ? J0n , D ; AH(n ? 1) ? M, J0n + D ;
AH(2d) ? J0n ? W [2d + 1, n ? 1] (d = 0, 1, . . . , [n ? 2/2]).

Теорема 3.1 вытекает из следствия 1 из теоремы 4.2 и следствия 1 из теоремы
5.1 [8].
Теорема 3.2. Пусть n ? 3, t = 1, . . . , [n ? 1/2]; s = 1, . . . , [n ? 2/2]; ?1 = 1,
0 < ?2 ? · · · ? ?t ? 1; Xt = ?1 J12 + ?2 J34 + · · · + ?t J2t?1,2t . Одномерные подал-
?
гебры алгебры AP (1, n) исчерпываются относительно C(1, n)-сопряженности
следующими алгебрами:
P0 ; M ; P1 ; G1 + P2 ; G1 + 2T ; Xt ; Xt + P0 ; Xt + M ;
Xt + P2t+1 ; Xs + G2s+1 + 2T ; Xr + G2r+1 + P2r+2 (r = 1, . . . , [n?3/2]);
J0n ; D + ?J0n (0 < ? ? 1); J0n + P1 ; D + J0n + M ;
Xt + ?D + ?J0n (? > 0, ? ? ? ? 0); Xt + ?(D + J0n + M ) ;
Xs + P2s+1 + ?J0n (? > 0); J12 + ?1 J34 + · · · + ?n/2?1 Jn?1,n + ?D ;
J12 + ?1 J34 + · · · + ?n/2?1 Jn?1,n + 2T ,

где n ? 0 (mod 2), ? ? 0, 0 < ?1 ? · · · ? ?n/2?1 ? 1.
Теорема 3.2 доказывается на основании следствия 2 из теоремы 4.2 и след-
ствия 2 из теоремы 5.1 [8].
? ?
Пусть F0 — такая подалгера алгебры U + F , что ее проекция на F совпадает с
?0 + Uj означает, что Uj ? U , [F0 , Uj ] ? Uj и F0 ? U ? Uj . Если речь
?
F0 . Запись F
? ?
идет о нерасщепляемых алгебрах F0 + U1 , . . . , F0 + Us , то употребляем обозначение
?
F0 : U1 , . . . , Us . Пусть (i1 , . . . , iq ) = Pi1 , . . . , Piq ; (awb) = Pa + wPb (w > 0);
(04) = M .
Теорема 3.3 Расщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4) исчерпываются отно-
сительно C(1, 4)-сопряженности такими алгебрами:
O, (0), (4), (04), (0,4), (04,1), (1,4), (0,1,4), (04,1,2), (1,2,4), (0,1,2,4), (04,1,2,3),
(1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 : O, (0), (4), (1,2), (3,4), (0,4), (04,3), (0,1,2), (04,1,2), (1,2,4), (0,3,4),
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 : O, (0), (1,2), (0,1,2), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + cJ34 : O, (0), (1,2), (3,4), (0,1,2), (0,3,4), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4) (0 < c < 1);
J04 : O, (04), (1), (0,4), (04,1), (1,2), (0,1,4), (04,1,2), (1,2,3), (04,1,2,3), (0,1,2,4),
(0,1,2,3,4);
J12 + cJ04 : O, (3), (04), (1,2), (0,4), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (1,2,3), (0,1,2,4),
(04,1,2,3), (0,1,2,3,4) (c > 0);
G3 : (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2), (04,1,2), (04,1,3),
(0,1,3,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 ? J12 : O, (04), (04,3), (1,2), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
292 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

J12 , J34 : O, (0), (1,2), (0,1,2), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J04 , J12 : O, (3), (04), (0,4), (04,3), (1,2), (0,3,4), (1,2,3), (04,1,2), (0,1,2,4),
(04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J12 : (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 : (04,1,2), (04,1,3), (04,1w3,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J04 , : O, (04), (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2), (04,1,2),
(04,1,3), (0,1,3,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J12 + cJ04 : O, (04), (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4)
(c > 0);
J12 , J13 , J23 : O, (0), (4), (04), (0,4), (1,2,3), (0,1,2,3), (1,2,3,4), (04,1,2,3),
(0,1,2,3,4);
J03 , J04 , J34 : O, (1), (1,2), (0,3,4), (0,1,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
G3 , J04 , J12 : O, (04), (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J12 : (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J04 : O, (3), (04), (04,1), (04,3), (04,1w3), (04,1,2), (04,1,3), (04,1w3,2),
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J12 + cJ04 : O, (3), (04), (04,3), (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4)
(c > 0);
G1 , G2 , G3 : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 ? J12 : O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
J03 , J04 , J34 , J12 : O, (1,2), (0,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J04 , J12 : O, (3), (04), (04,3), (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J04 : O, (04), (04,1), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 : O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4) (c > 0);
J12 , J13 , J23 , J04 : O, (04), (0,4), (1,2,3), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J04 : O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
AO(4): O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
AO(1, 3): O, (4), (0,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 : O, (04), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
AO(1, 4): O, (0,1,2,3,4);
Теорема 3.3 доказывается на основания теоремы 4.1 [6].
Теорема 3.4. Нерасщепляемыв подалгебры алгебры AP (1, 4), не сопряженные
расщепляемым подалгебрам этой алгебры, исчерпываются относительно
C(1, 4)-сопряженности такими алгебрами:
J12 + P0 : O, (04), (4), (04,3), (1,2), (3,4), (04,1,2), (1,2,4), (04,1,2,3), (1,2,3,4);
J12 + P3 : O, (04), (0), (4), (1,2), (0,4), (04,1,2), (0,1,2), (1,2,4), (0,1,2,4);
J12 + P0 + P3 : O, (4), (1,2), (1,2,4);
J12 + J34 + P0 : O, (1,2), (1,2,3,4);
J12 + cJ34 + M : O, (1,2), (3,4), (1,2,3,4) (0 < c < 1);
J04 + P1 : O, (04), (0,4);
J04 + P2 : (1), (04,1), (0,1,4);
J04 + P3 : (1,2), (04,1,2), (0,1,2,4);
J12 + cJ04 + P3 : O, (04), (1,2), (0,4), (04,1,2), (0,1,2,4) (c > 0);
О непрерывных подгруппах конформной группы 293

G3 + P1 : O, (04), (04,3), (0,3,4);
G3 + P2 : (1), (04,1), (04,1w3), (04,1,3), (0,1,3,4);
G3 + 2T : O, (04), (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (04,1w3,2), (04,1,2),
(04,1,3), (04,1,2,3);
G3 ? J12 + 2T : O, (04), (04,3), (1,2), (04,1,2), (04,1,2,3);
J12 + P0 , J34 + ?P0 : O, (1,2), (1,2,3,4) (? ? 0);
J12 , J34 + M, P1 , P2 ;
J04 + P3 , J12 + ?P3 : O, (04), (0,4), (1,2), (04,1,2), (0,1,2,4) (? ? 0);
J04 , J12 + P3 : O, (04), (1,2), (0,4), (04,1,2), (0,1,2,4);
J12 + M, G3 + ?T (? = 0, 2); J12 , G3 + 2T ; J12 + ?P3 , G3 + 2T, M (? ? 0);
J12 + M, G3 + ?T, P1 , P2 (? = 0, 2); J12 , G3 + 2T, P1 , P2 ;
J12 + ?T, G3 + 2T, M, P3 (? ? 0); J12 + 2T, G3 , M, P3 ;
J12 + ?P3 , G3 + 2T, M, P1 , P2 (? ? 0); J12 + ?T, G3 + 2T, M, P1 , P2 , P3 (? ? 0);
J12 + 2T, G3 , M, P1 , P2 , P3 ; G1 + P3 , G2 + µP2 + ?P3 (µ > 0, ? ? 0);
G1 , G2 + P2 , P3 ;
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , M (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , M (? ? 0); G1 + ?P3 , G2 + P2 + ?P3 , M (? > 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 + µP2 , M, P3 (µ ? 0); G1 , G2 + P2 , M, P3 ;
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 , M, P1 (? ? 0); G1 + P3 , G2 , M, P1 ;
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + 2T, M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 , M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P3 , G2 , M, P1 + wP3 (w > 0); G1 + P3 , G2 , M, P1 , P2 ;
G1 + 2T, G2 + ?P3 , M, P1 , P2 (? ? 0); G1 + P2 , G2 , M, P1 , P3 ;
G1 + P2 , G2 + ?T, M, P1 , P3 (? > 0); G1 , G2 + 2T, M, P1 , P3 ;
G1 , G2 + P3 , M, P1 + wP3 , P2 (w > 0);
G1 + 2T, G2 + ?P3 , M, P1 + wP3 , P2 (? ? 0, w > 0);
G1 + P3 , G2 , P0 , P1 , P2 , P4 ; G1 + 2T, G2 , M, P1 , P2 , P3 ;
G3 , J04 + P1 : O, (04), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2);
G3 , J04 + P2 : (1), (04,1), (04,1w3), (04,1,3), (0,1,3,4);
G3 , J04 + P3 : (04), (04,1), (04,1,2);
G3 , J04 + P1 + ?P2 , M, P1 + wP3 (? > 0, w > 0);
G3 , J04 + P1 + ?P3 , M (? > 0); G3 , J04 + P2 + ?P3 , M, P1 (? > 0);
G3 , J12 + cJ04 + P3 : (04), (04,1,2) (c > 0);
G3 , J04 + P3 , J12 + ?P3 : (04), (04,1,2) (? ? 0);
G3 , J04 , J12 + P3 : (04), (04,1,2);
G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 + ?P3 , M (? = 0, 1);
G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 , M, P3 ; G1 , G2 , J12 + 2T, M, P1 , P2 ;
G1 , G2 , J12 + P3 , P0 , P1 , P2 , P4 ; G1 , G2 , J12 + 2T, M, P1 , P2 , P3 ;
G1 , G2 , J04 + P1 : (04), (04,3), (04,1w3), (04,1w3,2);
G1 , G2 , J04 + P2 : (04,1), (04,1w3), (04,1,3);
G1 , G2 , J04 + P3 : O, (04), (04,1), (04,1,2), (0,1,2,4);
G1 , G2 , J04 + P1 + ?P2 , M, P1 + wP3 (? > 0, w > 0);
G1 , G2 , J04 + P1 + ?P3 , M , G1 , G2 , J04 + P2 + ?P3 , M, P1 (? > 0);
G1 , G2 , J12 + cJ04 + P3 : O, (04), (04,1,2), (0,1,2,4) (c > 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , G3 + ?P1 + ?P3 , M (? > 0 ? ? = 0, ? = 0);
294 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , G3 + ?P1 + ?P2 + ?P3 , M (? ? ? 2 µ = 0,
µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + ?P2 , G2 + P3 , G3 ? P2 , M, P1 (? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , G3 ? P2 + µP3 , M, P1 (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 , G3 + P3 , M, P1 (? > 0);
G1 + P3 , G2 , G3 , M, P1 , P2 ; G1 + ?P3 , G2 , G3 + 2T, M, P1 , P2 (? ? 0);
G1 + 2T, G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 ; G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 ? G3 , M, P3 ;
G1 , G2 , J12 ? G3 + 2T, M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 + P0 : O, (1,2,3,4);
G1 , G2 , J04 + P3 , J12 + ?P3 : O, (04), (04,1,2), (0,1,2,4) (? ? 0);
G1 , G2 , J04 , J12 + P3 : O, (04), (04,1,2), (0,1,2,4);
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 + ?P3 , J12 + ?P3 , M (? = 0, ? = 0, 1);
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , J12 , M, P3 ;
G1 , G2 , G3 + 2T, J12 + ?P3 , M, P1 , P2 (? = 0, 1);
G1 , G2 , G3 + 2T, J12 + ?T, M, P1 , P2 , P3 (? = 0, 1);
G1 , G2 , G3 , J12 + 2T, M, P1 , P2 , P3 ; G1 , G2 , G3 , J04 + P1 , M ;
G1 , G2 , G3 , J04 + P2 , M, P1 ; G1 , G2 , G3 , J04 + P3 , M, P1 , P2 ;
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 + P3 : (04), (04,1,2) (c > 0);
G1 , G2 , G3 , J04 + P3 , J12 + ?P3 : (04), (04,1,2) (? ? 0);
G1 , G2 , G3 , J04 , J12 + P3 : (04), (04,1,2).
Доказательство теоремы 3.4 проводим на основании теоремы 4.3 [6].
?
Теорема 3.5. Расщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4), не сопряженные под-
алгебрам алгебры AP (1, 4), исчерпываются относительно C(1, 4)-сопряженнос-
ти такими алгебрами:
J12 + D : (0), (0,4), (3,4), (0,1,2), (0,3,4), (0,1,2,4), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
?
J12 + J34 + D : O, (0), (1,2), (0,1,2), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
?
J12 + cJ34 + D : O, (0), (1,2), (3,4), (0,1,2), (0,3,4), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4)
?
(0 < c < 1);
J04 + D : O, (04), (1), (0,4), (04,1), (1,2), (0,1,4), (04,1,2), (1,2,3), (04,1,2,3),
?
(0,1,2,4), (0,1,2,3,4);
J12 + cJ04 + D : O, (3), (04), (1,2), (0,4), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (1,2,3),
?
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4) (c > 0);
G3 + D : (0,3,4), (0,1,3,4), (0,1,2,3,4);
?
G3 ? J12 + D : (0,3,4), (0,1,2,3,4);
?
J12 , J34 + D : O, (0), (1,2), (0,1,2), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
?
J12 , J34 + ?D : (1,2), (0,1,2) (? > 0);
J04 , J12 + D : O, (3), (04), (0,4), (04,3), (1,2), (0,3,4), (1,2,3), (04,1,2),
?
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J12 + D : (0,3,4), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 + D : (0,1,2,4), (0,1,2,3,4);
?
G3 , J04 + D : (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2), (04,1,2),
?
(04,1,3), (0,1,3,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
О непрерывных подгруппах конформной группы 295

G3 , J12 + cJ04 + D : (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4) (c >
?
0);
J12 , J13 , J23 ? D : (0), (4), (0,4), (0,1,2,3), (1,2,3,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
J03 , J04 , J34 ? D : O, (1), (1,2), (0,3,4), (0,1,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 ? D : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
G3 , J04 , J12 + D : (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , J12 + D : (0,1,2,4), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , J04 + D : (04,1,2), (04,1,3), (04,1w3,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , J12 + cJ04 + D : (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4) (c > 0);
?
G1 , G2 , G3 +D, P0 , P1 , P2 , P3 , P4 ; P0 , P1 , P2 , P3 , P4 + ( G1 , G2 , G3 ?J12 + D );
?
?
J03 , J04 , J34 , J12 + D : O, (1,2), (0,3,4), (0,1,2,3,4);
?
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J12 ? J34 + D : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , J04 , J12 + D : (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
( G1 , G2 , G3 , J12 + D ) ? P0 , P1 , P2 , P3 , P4 ;
+
?
G1 , G2 , G3 , J04 + D : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 + D : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4) (c > 0);
?
J12 , J13 , J23 , J04 + D : O, (04), (0,4), (1,2,3), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , G3 , J12 , J04 + D : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 + D : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
AO(4) ? D : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
AO(1, 3) ? D : O, (4), (0,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 + D : (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
?
AO(1, 4) ? D : O, (0,1,2,3,4).
Доказательство теоремы 3.5 проводится на основании теоремы 4.1 [6]. Отме-
тим, что перечень подалгебр алгебры AO(1, 4) ? D приведен в лемме 6.1 [8].
Дальнейшее упрощение этого перечня проводим при помощи автоморфизма
exp ? (K0 + P0 + Kn ? Pn ).
4
?
Теорема 3.6. Нерасщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4), не сопряженные
подалгебрам алгебры AP (1, 4), исчерпываются относительно C(1, 4)-сопряжен-
ности такими алгебрами:
J04 ? D + 2T : O, (1), (04), (1,2), (04,1), (1,2,3), (04,1,2), (04,1,2,3);
J12 + c(J04 ? D + 2T ) : O, (04), (3), (04,3), (1,2), (1,2,3), (04,1,2), (04,1,2,3)

<< Предыдущая

стр. 69
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>