<< Предыдущая

стр. 7
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

разложение пространства V в прямую ортогональную сумму L -подпространств.
Так как подпространство Vi обладает базисом, состоящим из некоторых векторов
базиса {Ti } пространства V , то будем говорить, что разложение (6.1) является
разложением пространства V относительно базиса {Ti } в прямую ортогональную
сумму L -подпространств. Поскольку подалгебры алгебры LO(V ) изучаются с то-
чностью до O(p, q)-сопряженности, то в дальнейшем будем предполагать, что в
классе всех алгебр, O(p, q)-сопряженных между собой, алгебра L выбрана так, что
рассматриваемое разложение V = V1 ?· · ·?Vs является разложением пространства
V относительно базиса {Ti } в прямую ортогональную сумму L-подпространств.
?
Если J = ad J ? ad L — произвольный элемент, то его можно рассматривать
? ?
как оператор Ji пространства Vi . Матрица Ji оператора Ji в базисе пространства
Vi содержится в LO(pi , qi ). Таким образом, для любого i ? {1, . . . , s} элемент J
из L определяет элемент Ji из LO(pi , qi ), который будем называть проекцией J на
LO(pi , qi ). Поэтому можем положить

J = J1 ? · · · ? Js ,

рассматривая J как элемент декартова произведения алгебр Li (Li — проекция
L на алгебру LO(pi , qi )), так как операция в алгебре L согласуется с этими же
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 27

операциями в декартовом произведении. Будем говорить, что L разложена отно-
сительно базиса {Ti } в подпрямое произведение алгебр Li ? LO(Vi ) и записывать
это так:
L = L1 ? · · · ? Ls .
Определение 6.1. Подалгебра L ? LO(V ) называется неприводимой, если V —
минимальное L-инвариантное подпространство пространства V (отличное
от нуля).
Пусть L — произвольная вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ). Тогда
пространство V разлагается в прямую ортогональную сумму (относительно базиса
{Ti }) L-неприводимых подпространств V1 , . . . , Vs . Этому разложению соответству-
ет разложение L = L1 ?· · ·?Ls алгебры L в подпрямое произведение неприводимых
подалгебр Li ? LO(Vi ).
Определение 6.2. Разложение L = L1 ? L2 алгебры L в подпрямое произведение
подалгебр L1 ? LO(p1 , q1 ) и L2 ? LO(p2 , q2 ) назовем тривиальным, если p1 = p2 ,
q1 = q2 и существует такая матрица C ? O(p1 , q1 ), что каждый элемент
J ? L1 ? L2 имеет вид J1 ? C ?1 J1 C, где J1 ? L1 .
Если L = L1 ?· · ·?Ls , то проекцию алгебры L на Li ?Lj (декартово произведение
подалгебр Li и Lj ) будем обозначать через Li ? Lj .
Определение 6.3. Подалгебры Li и Lj в разложении L = L1 ? · · · ? Ls назовем
равносильными, если разложение алгебры Li ? Lj в подпрямое произведение
подалгебр Li и Lj является тривиальным.
Нетрудно убедиться, что рассматриваемое отношение на множестве подалгебр
{L1 , . . . , Ls } является отношением эквивалентности, и потому оно проводит ра-
збиение множества {L1 , . . . , Ls } на классы S1 , . . . , St . Проекцию алгебры L на
декартово произведение подалгебр, входящих в Si , обозначим через Ai . Таким
образом, алгебра L разлагается в подпрямое произведение подалгебр A1 , . . . , At ,
которые будем называть примарными множителями алгебры L и записывать это
так: L = A1 ? · · · ? At .
Роль примарных множителей вполне приводимой подалгебры L будет выяснена
в § 7.
Теорема 6.1 [12]. Если L — вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ),
то она либо коммутативна, либо разлагается в прямую сумму своего центра
Z(L) и полупростой подалгебры Q.

§ 7. Неприводимые подалгебры алгебры LO(p, q)
В этом параграфе мы исследуем свойства неприводимых подалгебр алгебры
LO(p, q).
Предложение 7.1. Пусть L — неприводимая подалгебра алгебры LO(p, q), C(L)
— ее централизатор в gl(p + q, C). Если A — максимальная коммутативная
подалгебра C(L), то dimC A ? 2.
Доказательство. Если L — абсолютно неприводимая подалгебра, то предложение
вытекает из леммы Шура. Пусть L приводима над полем комплексных чисел. Тогда
существует такая матрица C ? gl(p + q, C), что
L1 0
L = C ?1 LC = ,
L2
0
28 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

где L1 и L2 — неприводимые подалгебры. Рассмотрим два случая.
1. Подалгебры L1 и L2 не сопряжены. Любая матрица, коммутирующая поэле-
ментно с L , имеет вид
?1 E 0
.
0 ?2 E
Следовательно, в рассматриваемом случае dimC A = 2.
2. Подалгебры L1 и L2 сопряжены. Можно предполагать при этом, что L1 = L2 .
Любая матрица, коммутирующая поэлементно c L , имеет вид
?1 E ?2 E ? gl(2, C).
=
?3 E ?4 E
Значит, и в этом случае dimC A = 2. Предложение доказано.
Предложение 7.2. Пусть L — неприводимая подалгебра алгебры LO(p, q), X ?
gl(p + q, R) — вещественная матрица, удовлетворяющая условию [X, L] = 0.
Тогда либо X = ?E, либо существуют такие вещественные числа ? и ?, что
(?X + ?E)2 = ?E.
Доказательство. В силу предложения 7.1 матрицы X 2 , X, E линейно зависимы
над C. Это значит, что существуют такие комплексные числа ?0 , ?1 , ?2 , что
?0 E + ?1 X + ?2 X 2 = 0.
Если ?2 = 0, то все доказано. Пусть однако, ?2 = 0. Тогда
?0 ?1
? E+ ?
X2 = (7.1)
X = ?0 E + ?1 X.
?2 ?2
Поскольку X — вещественная матрица, то из равенства (7.1) получаем, что либо
X = ?E, либо ?0 , ?1 — вещественные числа. Из равенства (7.1) получаем далее,
что
?2 ?2
X 2 ? ?1 X + 1 E = ?0 + 1 E,
4 4
или
2
?1
X? E (7.2)
= ?E,
2
2
?1
где ? = ?0 + . Если ? > 0, то равенство (7.2) можно переписать так:
4

v v
?1 ?1
X? E ? ?E X ? E + ?E = 0.
2 2
v
Матрица X ? ?1 + ? E коммутирует поэлементно с L, и потому она либо
2
v
нулевая, либо обратная. В первом случае X = ?1 + ? E, во втором — X =
2
v
2?
?1
? E. Если ? < 0, то из равенства (5.2) получаем, что
2
1 ?1
v X? v E = ?E,
?? 2 ??
что и доказывает предложение.
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 29

Пpeдлoжeниe 7.3. Пусть L — неприводимая подалгебра алгебры LO(p, q), p =
q. Если X ? gl(p + q, R) — вещественная матрица, удовлетворяющая условиям
[X, L] = 0, (X · Jp,q )T = X · Jp,q , то X = ?E.
Доказательство. Так как (X · Jp,q )T = X · Jp,q , то матрицу X можно разбить на
блоки:
X1 X2
X= ,
X3 X4
где X1 — квадратная матрица степени p; X4 — квадратная матрица степени q,
причем X1 = X1 , X2 = ?X3 , X3 = ?X2 , X4 = X4 .
T T T T

Рассмотрим случай p > q. Пусть X = ?E. В силу предложения 7.2 можно
считать, что X 2 = ?E. Поскольку X1 симметрическая, то существует такая ве-
щественная матрица U , что U ?1 XU = Y1 — диагональная матрица. Допустим,
что
? ?
?1 0
? ?
..
Y1 = ? ?.
.
0 ?p
Тогда матрица X сопряжена матрице
Y1 Y2
Y= .
Y3 Y4
Так как Y 2 = ?E, то Y12 + Y2 Y3 = ?E и, значит, Y2 Y3 = ?E ? Y12 . Обозначим
?
через Y2 матрицу, которая получается из матрицы Y2 в результате вычеркивания
?
всех строк с номерами, большими q, а через Y3 — матрицу, которая получается из
матрицы Y3 в результате вычеркивания всех столбцов с номерами, большими q.
? ?
Матрицы Y2 и Y3 квадратные, и в силу равенства Y2 Y3 = ?E ?Y12 их произведение
?? ?
Y2 Y3 — обратимая диагональная матрица. Отсюда вытекает, что матрица Y2 Y3
имеет следующий вид:
? ?
?1 · · · 0
? ?
..
? ?
.
? ?
? 0 · · · ?q ? .
? ?
? · ··· · ?
0 ··· 0
Если через ? обозначить матрицу
Ep 0
,
?
0 Y3
то
? ?
···
?1 0
? ?
..
?1 0
? ?
.
? ?
..
? ?
···
.
?1 0 ?q
? Y?=? ?.
? ?
· ··· ·
0 ?p
? ?
? ?
···
0 0
? ?
30 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Таким образом, матрица ??1 Y ?, а значит, и матрица X, имеет вещественный
характеристический корень ?p . Следовательно, X = ?p E, и потому X 2 = ?E.
Полученное противоречие и доказывает предложение для случая p > q.
Если p < q, то с помощью матрицы
? ?
0 ··· 1
D = ? · ··· · ?
1 ··· 0

получаем алгебру L = D?1 LD, содержащуюся в LO(q, p). Так как
(D ? D · Jq,p )T = ?(D ? Jp,q D)T = ?D ? Jp,q D = D ? D · Jq,p

и [D ?D, L ] = 0, то в силу рассмотренного выше случая D ?D = ?E или X = ?E.
Предложение доказано.
Теорема 7.1. Пусть G1 ? LO(p1 , q1 ) и G2 ? LO(p2 , q2 ) — две неприводимые
подалгебры. Если C ?1 G1 C = G2 , то CJp2 ,q2 C T = ?Jp1 ,q1 .
Доказательство. Поскольку G1 ? LO(p1 , q1 ), то для любой матрицы A ? G1 ,
справедливо равенство

Jp1 ,q1 A + AT Jp1 ,q1 = 0. (7.3)

Аналогично, для любой матрицы B ? G2 выполняется равенство

Jp2 ,q2 B + B T Jp2 ,q2 = 0. (7.4)

Пусть C ?1 AC = B, тогда, учитывая соотношение (7.4), получаем
T
Jp2 ,q2 C ?1 AC + C T AT C ?1 Jp2 ,q2 = 0,

или
T
A = ?CJp2 ,q2 C T AT C ?1 Jp2 ,q2 C ?1 . (7.5)

С другой стороны, используя соотношение (7.3), имеем

A = ?Jp1 ,q1 AT Jp1 ,q1 . (7.6)

Следовательно, ввиду (7.5) и (7.6)
T
Jp1 ,q1 AT Jp1 ,q1 = CJp2 ,q2 C T AT C ?1 Jp2 ,q2 C ?1 ,

Откуда
T
A = Jp1 ,q1 C ?1 Jp2 ,q2 C ?1 ACJp2 ,q2 C T Jp1 ,q1 .

Таким образом, матрица T = CJp2 ,q2 C T Jp1 ,q1 перестановочна поэлементно с G1 .
Ho тoгдa по лемме Шура матрица T либо нулевая, либо обратимая. Поскольку
матрица T удовлетворяет всем условиям предложения 7.3, то T = ?E. Следова-
тельно, CJp2 ,q2 C T = ?Jp1 ,q1 . Теорема доказана.
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 31

§ 8. Структура инвариантного подпространства
для вполне приводимой подалгебры
В настоящем параграфе мы рассматриваем задачу нахождения всех инвари-

<< Предыдущая

стр. 7
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>