<< Предыдущая

стр. 70
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(c > 0);
J04 + D + M, J12 + ?M : O, (3), (1,2), (1,2,3) (? ? 0);
J04 + D, J12 + M : O, (3), (1,2), (1,2,3);
J04 ? D + 2T, J12 + ?T : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3) (? ? 0);
J04 ? D, J12 + 2T : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3);
J04 ? 2D, G3 + 2T : (04), (04,1), (04,1w3), (04,3), (04,1w3,2), (04,1,2), (04,1,3),
(04,1,2,3);
J04 ? 2D, G3 + 2T : O, (1), (1,2);
296 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

J04 ? D, G3 + P1 : O, (04), (04,3), (0,3,4);
J04 ? D, G3 + P2 : (1), (04,1), (04,1w3), (04,1,3), (0,1,3,4);
J04 ? D + 2T, G3 + ?P1 , M, P3 (? > 0);
J04 ? D + 2T, G3 + ?P2 , M, P1 , P3 (? > 0);
J04 ? D + 2T, G3 : (04,3), (04,1,3), (04,1,2,3);
J04 + D + M, G3 : (1), (1,2);
J12 + c(J04 ? 2D), G3 + 2T : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3) (c > 0);
J12 + c(J04 ? 2D), G3 + 2T : O, (1,2) (c > 0);
J12 + c(J04 ? 2D + 2T ), G3 : (04,3), (04,1,2,3) (c > 0);
J12 + c(J04 + D + M ), G3 , P1 , P2 (c > 0);
J12 , J04 ? 2D, G3 + 2T : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3);
J12 , J04 ? 2D, G3 + 2T : O, (1,2);
J12 + ?T, J04 ? D + 2T, G3 : (04,3), (04,1,2,3) (? ? 0);
J12 + 2T, J04 ? D, G3 : (04,3), (04,1,2,3);
J12 + ?M, J04 + D + M, G3 , P1 , P2 (? ? 0);
J12 + M, J04 + D, G3 , P1 , P2 ;
J04 ? 2D, G1 , G2 + 2T : (04,1), (04,1,2), (04,1,2w3), (04,1,3), (04,1,2,3);
J04 ? D, G1 + P3 , G2 + µP2 + ?P3 (µ > 0, ? ? 0); J04 ? D, G1 , G2 + P2 , P3 ;
J04 ? D, G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , M (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
J04 ? D, G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , M (? ? 0);
J04 ? D, G1 + ?P3 , G2 + P2 + ?P3 , M (? > 0);
J04 ? D, G1 + P2 , G2 ? P1 + µP2 , P3 , M (µ ? 0);
J04 ? D, G1 , G2 + P2 , M, P3 ;
J04 ? D, G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
J04 ? D, G1 + P2 + ?P3 , G2 , M, P1 (? ? 0); J04 ? D, G1 + P3 , G2 , M, P1 ;
J04 ? D, G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , M, P1 + wP3 (w > 0);
J04 ? D, G1 + P2 + ?P3 , G2 , M, P1 + wP3 (w > 0);
J04 ? D, G1 + P3 , G2 , M, P1 + wP3 (w > 0);
J04 ? D, G1 + P3 , G2 , M, P1 , P2 ; J04 ? D, G1 + P2 , G2 , M, P1 , P3 ;
J04 ? D, G1 , G2 + P3 , M, P1 + wP3 , P2 (w > 0);
J04 ? D, G1 + P3 , G2 , P0 , P1 , P2 , P4 ;
J04 ? D + 2T, G1 + ?P3 , G2 , M, P1 , P2 (? ? 0);
J04 ? D + 2T, G1 , G2 , M, P1 , P2 , P3 ;
J12 + c(J04 ? D), G1 + P2 , G2 ? P1 : (04), (04,3) (c > 0);
J12 + c(J04 ? D + 2T ), G1 , G2 , M, P1 , P2 , sP3 (c > 0, s = 0, 1);
J12 + 2T, J04 ? D, G1 , G2 , M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
J12 + ?T, J04 ? D + 2T, G1 , G2 , M, P1 , P2 , sP3 (? ? 0, s = 0, 1);
J12 , J04 ? D, G1 + P2 , G2 ? P1 , M, sP3 (s = 0, 1);
J04 ? 2D, G1 , G2 , G3 + 2T, M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
J04 ? D, G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , G3 + ?P1 + ?P2 + ?P3 , M (µ > 0,
? > 0 ? ? = 0, ? ? 0, ? ? ? 2 µ = 0);
J04 ? D, G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , G3 + ?P1 + ?P3 , M (? ? 0, ? = 0);
J04 ? D, G1 + ?P2 , G2 + P3 , G3 ? P2 , M, P1 (? ? 0);
J04 ? D, G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , G3 ? P2 + µP3 , M, P1 (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0,
? ? 0);
J04 ? D, G1 + ?P2 + ?P3 , G2 , G3 + P3 , M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
J04 ? D, G1 + P3 , G2 , G3 , M, P1 , P2 ; J04 ? D + 2T, G1 , G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 ;
О непрерывных подгруппах конформной группы 297

J12 + c(J04 ? 2D), G1 , G2 , G3 + 2T, M, P1 , P2 , sP3 (c > 0, s = 0, 1);
J12 + c(J04 ? D), G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 + ?P3 , M (c > 0, ? = 0);
J12 + c(J04 ? D), G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , M, P3 (c > 0);
J12 + c(J04 ? D + 2T ), G1 , G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 (c > 0);
J12 , J13 J23 , J04 ? D + 2T : O, (04), (1,2,3), (04,1,2,3);
J12 , J04 ? 2D, G1 , G2 , G3 + 2T, M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
J12 + 2T, J04 ? D, G1 , G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 ;
J12 + ?T, J04 ? D + 2T, G1 , G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 (? ? 0);
J12 , J04 ? D, G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 + ?P3 , M (? = 0);
J12 , J04 ? D, G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , M, P3 ;
J12 , J13 , J23 , J04 ? D + 2T, G1 , G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 .
Доказательство теоремы 3.6 проводится на основании теоремы 6.2 [8].

§ 4. О подалгебрах оптической алгебры
В этом параграфе мы выделим те подалгебры алгебры AOpt(1, n), которые не
?
сопряжены подалгебрам алгебры AP (1, n). Используя общие свойства таких подал-
гебр, опишем максимальные абелевы и одномерные подалгебры алгебры AOpt(1, n).
Затем проведем классификацию относительно C(1, 4)-сопряженности всех подал-
?
гебр алгебры AOpt(1, 4), не сопряженных подалгебрам алгебры AP (1, 4).
Генераторы алгебры AOpt(1, n) удовлетворяют следующим коммутационным
соотношениям:
[Ga , Jbc ] = gab Gc ? gac Gb , [Ga , Gb ] = 0, [Pa , Gb ] = ?ab M,
[Ga , M ] = [Pa , M ] = [Jab , M ] = 0, [C, S] = 2S, [C, T ] = ?2T, [T, S] = C,
[Z, C] = 0, [Z, S] = 0, [Z, T ] = 0, [Z, M ] = ?2M, [Z, Ga ] = ?Ga ,
[Z, Pa ] = ?Pa , [C, Ga ] = Ga , [C, Pa ] = ?Pa , [C, M ] = 0, [S, Ga ] = 0,
[S, Pa ] = ?Ga , [S, M ] = 0, [T, Ga ] = Pa , [T, Pa ] = 0, [T, M ] = 0
(a, b, c = 1, 2, . . . , n ? 1).

?
Значит, C, S, T = ASL(2R), C, S, T, Z = AGL(2, R), AOpt(1, n) = ASch(n?1)+
Z.
Предложение 4.1. Подалгебры алгебры AGL(2, R) исчерпываются относитель-
но GL(2, R)-сопряженности такими алгебрами:

O; C ; T ; S + T ; Z ; C + ?Z (? > 0); T + Z ;
S + T + ?Z (? > 0); C, T ; C, Z ; T, Z ; S + T, Z ;
C + ?Z, T (? = 0); C, S, T ; C, T, Z ; C, S, T, Z .
Записанные алгебры попарно не сопряжены.
Предложение 4.1 доказывается методом Ли–Гурса.
В дальнейшем, говоря о подалгебрах алгебры AGL(2, R), мы будем иметь в
виду подалгебри, выписанные в предложении 4.1.
Через ?, ? обозначим проектирования алгебры AOpt(1, n) на AO(n ? 1) ?
AGL(2, R), AGL(2, R) соответственно.
Предложение 4.2. Пусть L — подалгебра алгебры AOpt(1, n). Если ? (L) ?
?
C, T, Z , то L сопряжена подалгебре алгебры AP (1, n).
298 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Доказательство. Так как
C = ?J0n ? D = ?1,n+3 ? ?2,n+2 ,
1 1
T = (P0 ? Pn ) = (?12 ? ?2,n+3 ? ?1,n+2 + ?n+2,n+3 ),
2 2
Z = J0n ? D = ?1,n+3 + ?2,n+2 , M = P0 + Pn ,
то изотропное пространство Q1 + Qn+3 является инвариантным относительно
алгебры
F = M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? C, T, Z ).
?
Отседа вытекает, что алгебра F , а значит, и любая ее подалгебра, сопряжена
?
подалгебре алгебры AP (1, n). Предложение доказано.
Предпожение 4.2 позволяет ограничиться рассмотрением тех подалгебр L ал-
гебры AOpt(1, n), для которых ? (L) совпадает с одной из алгебр:
(4.1)
S + T , S + T + ?Z (? > 0), S + T, Z , C, S, T , AGL(2, R).

Если ? (L) = S + T или ? (L) = C, S, T , то L ? ASch(n ? 1). В этом случае при-
менимы результаты [9]. Дальнейшее упрощение получаемых алгебр достигается
применением автоморфизма exp(?Z). Теперь допустим, что ? (L) — одна из осталь-
ных алгебр (4.1). Если в M[1, n ? 1] существует одномерный ?(L)-подмодуль, то
он аннулируется проекцией алгебры ?(L) на AO(n ? 1) ? ASL(2, R) [9]. Так как
[Z, M ] = ?2M , [Z, Ga ] = ?Ga , [Z, Pa ] = ?Pa , то в силу теоремы 2.1 [9] алгебра
?(L) являетса вполне приводимой алгеброй линейных преобразований пространс-
тва M[1, n?1] (см. обозначения (3.1)) и аннулирует в этом пространстве только ну-
левое подпроотранство. Отсюда на основании предложения 2.1 [8) заключаем, что
?(L) обладает только расщепляемыми расширениями в алгебре M[1, n ? 1]+ ?(L).?
Следовательно, L = W + ?(L), где W ? M[1, n ? 1]. Так как неприводимые
?
S + T + ?Z -подмодули модуля M[1, n ? 1]/ M двумерны, а M и Ga не изо-
морфны, как Z -модули, то по лемме 3.1 [8] W содержит свою проекцию на M .
Мы не теряем общности, если при описании W будем предполагать, что проекция
L на Z является нулевой. Другими словами, при нахождении инвариантных про-
странств W можно считать, что речь идет о подалгебрах алгебры Шредингера. Это
значит, что снова можно воспользоваться результатами работы [9].
Теорема 4.1. Максимальные абелевы подалгебры алгебры AOpt(1, n), не сопря-
?
женные подалгебрам алгебры AP (1, n), исчерпываются относительно C(1, n)-
сопряженности такими алгебрами:
AH(n ? 1) ? S + T, M , AH(n ? 1) ? S + T, Z ,
AH(2d) ? J(d + 1, r) + S + T ? M ? ?(d + 1, r),
где
J(d + 1, r) = J2(d+1)?1,2(d+1) + · · · + J2r?1,2r ,
?(d + 1, r) = G2(d+1)?1 + P2(d+1) , . . . , G2r?1 + P2r
(d = 0, 1, . . . , [n ? 3/2]; r = d + 1, . . . , [n ? 1/2]).
Записанные алгебры попарно не сопряжены.
О непрерывных подгруппах конформной группы 299

Теорема 4.1 доказывается на основании следствия из теоремы 4.1 [9] и предло-
жения 4.2.
Теорема 4.2. Пусть n ? 3; ?, ? ? R, ? > 0, ? > 0;

Xt = ?1 J12 + ?2 J34 + · · · + ?t J2t?1,2t ,

где ?1 = 1, 0 < ?2 ? · · · ? ?t при t = 1; t = 1, . . . , [n ? 1/2]. Одномерные
?
подалгебры алгебры AOpt(1, n), не сопряженные подалгебрам алгебры AP (1, n),
исчерпываются относительно C(1, n)-сопряженности такими алгебрами:

S + T , S + T ± M , Xt + ?(S + T ) , S + T + ?Z ,
Xt + ?(S + T ) ± M , Xt + S + T + G1 + P2 , Xt + ?(S + T ) + ?Z .

Теорема 4.2 доказывается на основании следствия 2 из теоремы 4.1 [9] и пре-
дложения 4.2.
Теорема 4.3. Пусть F — подалгебра алгебры AOpt(1, 4), не сопряженная ни
?
одной из подалгебр алгебры AP (1, 4). Тогда F C(1, 4)-сопряжена одной из сле-
дующих алгебр:
S + T : O, M , G1 , P1 , M , G1 ? ??1 P2 , G2 + ?P1 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M ,
G1 ? ??1 P2 , G2 + ?P1 , G3 , P3 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M (0 < ? ? 1);
S + T ± M ; S + T + ?J12 ± M (? > 0);
S +T +?J12 : O, M , G3 , P3 , M , G1 +P2 , G2 ?P1 , M , G1 ?P2 , G2 +P1 , M ,
G1 +P2 , G2 ?P1 , G3 , P3 , M , G1 ?P2 , G2 +P1 , G3 , P3 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M
(? > 0);
S + T + 2J12 , G1 + P2 + ?P3 , Gv? P1 ? ?G3 , M v > 0); (?
2
S + T + 2J12 + ?M, G1 + P2 + 2P3 , G2 ? P1 ? 2G3 (? = 0, ±1);
S + T + J12 : G1 + P2 , G1 + P2 , M , G1 + P2 , G1 ? P2 , G2 + P1 , M ,
G1 + P2 , G3 , P3 , M , G1 + P2 , G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M ;
S + T + J12 ± M, G1 + P2 ;
S +T +J12 +G1 +P2 : O, M , G2 ?P1 , M , G3 , P3 , M , G1 ?P2 , G2 +P1 , M ,
G2 ? P1 , G1 ? P2 , G2 + P1 , M , G2 ? P1 , G3 , P3 , M , G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M ,
G2 ? P1 , G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M ;
J12 , S + T : O, M , G3 , P3 , M , G1 + P2 , G2 ? P1 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M ,
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , P3 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
J12 + ?M, S + T + ?M (? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
AO(3) ? S + T : O, M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
AO(3) ? S + T ± M ;
S+T + Z : O, M , G1 , P1 , M , G1 ???1 P2 , G2 +?P1 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M ,
?
G1 ? ??1 P2 , G2 + ?P1 , G3 , P3 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M (0 < ? ? 1);
S + T + ?J12 + Z : O, M , G3 , P3 , M , G1 + P2 , G2 ? P1 , M ,
?
G1 ? P2 , G2 + P1 , M , G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , P3 , M , G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M ,
G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
S + T + 2J12 + ?Z, G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 ? ?G3 , M (? > 0, ? > 0);
S + T + 2J12 , Z, G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 ? ?G3 , M (? > 0);
S + T + J12 + Z : G1 + P2 , G1 + P2 , M , G1 + P2 , G1 ? P2 , G2 + P1 , M ,
?
G1 + P2 , G3 , P3 , M , G1 + P2 , G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M ;
300 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

S + T + J12 + G1 + P2 + Z : O, M , G2 ? P1 , M , G3 , P3 , M ,
?
G1 ? P2 , G2 + P1 , M , G2 ? P1 , G1 ? P2 , G2 + P1 , M , G2 ? P1 , G3 , P3 , M ,
G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M , G2 ? P1 , G1 ? P2 , G2 + P1 , G3 , P3 , M ;
J12 , S+T + Z : O, M , G3 , P3 , M , G1 +P2 , G2 ?P1 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M ,
?
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , P3 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
AO(3) ? ( S + T + Z ): O, M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
?
C, S, T : O, M , G1 , P1 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
J12 ? C, S, T : O, M , G3 , P3 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M ,
G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
AO(3) ? C, S, T : O, M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
C, S, T, Z : O, M , G1 , P1 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
C, S, T ? ( J12 + Z ): O, M , G3 , P3 , M , G1 , G2 , P1 , P2 , M ,
?
G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M ;
AO(3) ? C, S, T, Z : O, M , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , M .
Теорема 4.3 доказывается на основания теорем 5.4, 5.5 [9] и предложения 4.2.
Отметим, что встречающиеся в теореме 4.3 подпрямые суммы вида X + Z
?
— это алгебры X + ?Z (? > 0), X, Z . Под J12 , S + T + Z следует понимать
?
2 2
одну из алгебр J12 + ?Z, S + T + µZ (? + µ = 0), J12 , S + T, Z , причем, если
? < 0 или µ < 0, то проекция F на G1 , G2 , P1 , P2 совпадает с G1 + P2 , G2 ? P1 .

§ 5. Разрешимые подалгебры конформной алгебры
В этом параграфе мы приведем модифицированное изложение результата рабо-
ты (7] о максимальных разрешимых подалгебрах алгебры AC(1, n), а также про-
ведем классификацию максимальных абелевых и одномерных подалгебр алгебры
AC(1, n).
Напомним, что
1
?12 = (P0 + K0 ), ??+2,?+2 = J?? ,
2
1
?n+2,n+3 = (Kn ? Pn ) (?, ? = 0, 1, . . . , n), M = P0 + Pn ,
2
Ga = J0a ? Jan (a = 1, . . . , n ? 1), C = ?J0n ? D,
1 1
Z = J0n ? D, S = (K0 + Kn ), T = (P0 ? Pn ), D = ??1,n+3 .
2 2
Теорема 5.1. Если n — четное число и n ? 4, то алгебра AC(1, n) обладает
относительно C(1, n)-сопряженности четырьмя максимальными разрешимыми
подалгебрами:
P0 + K0 , J12 , J34 , . . . , Jn?1,n ;
P0 , P1 , . . . , Pn , J12 , J34 , . . . , Jn?1,n , D ;
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , C, T, Z ;
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , S + T, Z .
Их размерности равны соответственно
n + 2 3n + 4 5n + 2 5n
, , , .
2 2 2 2
О непрерывных подгруппах конформной группы 301

Если n — нечеткое число и n ? 3, то алгебра AC(1, n) обладает относи-
тельно C(1, n)-сопряженности тремя максимальными раэрешимыми подалге-

<< Предыдущая

стр. 70
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>