<< Предыдущая

стр. 71
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

брами:
P0 + K0 , Pn ? Kn , J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 ;
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , C, T, Z ;
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , S + T, Z .
Их размерности равны соответственно
n + 3 5n + 3 5n + 1
, , .
2 2 2
Во всех случаях записанные алгебры попарно несопряжены.
Доказательство. Пусть L — максимальная разрешимая подалгебра алгебры
AO(2, n + 1). Если все неприводимые L-инвариантные подпространства пространс-
тва R2,n+1 невырождены, то L = ?12 , ?34 , . . . , ?n+1,n+2 при четном n и L =
?12 , ?34 , . . . , ?n+2,n+3 при нечетном n. Если в R2,n+1 существует изотропное L-
?
нвариантное подпространство, то L сопряжена подалгебре алгебры AP (1, n) или
алгебры AOpt(1, n).
?
В [8] устаноалено, что если n — нечетное число, то алгебра AP (1, n) облада-
?
ет относительно P (1, n)-сопряженности только одной максимальной разрешимой
подалгеброй
(5.1)
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , C, T, Z ,
? ?
а если n — четное число, то алгебра AP (1, n) обладает относительно P (1, n)-
сопряженности двумя максимальными разрешимыми подалгебрами
(5.2)
P0 , P1 , . . . , Pn , J12 , J34 , . . . , Jn?1,n , D ,
(5.3)
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , C, T, Z .

Согласно [9], при любом n алгебра AOpt(1, n) имеет относительно Sch(n ? 1)–
сопряженности две максимальные разрешимые подалгебры
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 + (AH(n ? 1) ? C, T, Z ),
? (5.4)
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 + (AH(n ? 1) ? S + T, Z ).
? (5.5)
Алгебры (5.1), (5.3) совпадают с алгеброй (5.4). Алгебра (5.2) не сопряжена
ни одной из подалгебр алгебр (5.4), (5.5), поскольку алгебра (5.2) не имеет ин-
вариантных изотропных подпространств в пространстве R1,n . Несопряженность
алгебр (5.4) и (5.5) вытекает из того, что эти алгебры имеют разные размерности.
Теорема доказана.
Теорема 5.2. Максимальные абелевы подалгебры алгебры AC(1, n) (n ? 2)
исчерпываются относительно C(1, n)-сопряженности максимальными абеле-
?
выми подалгебрами алгебры AP (1, n), описанными в теореме 3.1, максималь-
ными абелевыми подалгебрами алгебры AOpt(1, n), не сопряженными подалге-
?
брам алгебры AP (1, n) и описанными в теореме 4,1, а также алгебрами
P0 + K0 , J12 , J34 , . . . , Jn?1,n (n — четное),
P0 + K0 , Pn ? Kn , J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 (n — нечетное),
302 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Справедливость теоремы 5.2 вытекает из теорем 3.1, 4.1, 5.1.
Теорема 5.3. Одномерные подалгебры алгебры AC(1, n) (n ? 3) исчерпыва-
ются относительно C(1, n)-сопряженности одномерными подалгебрами алге-
?
бры AP (1, n), описанными в теореме 3.2, одномерными подалгебрами алгебры
?
AOpt(1, n), несопряженными подалгебрам алгебры AP (1, n) и описанными в те-
ореме 4.2, а также такими алгебрами:
P0 + K0 , ?(P0 + K0 ) + J12 ,
?(P0 + K0 ) + J12 + ?1 J34 + · · · + ?s J2s+1,2s+2
(? > 0, 0 < ?1 ? · · · ? ?s ? 1, s = 1, . . . , [n ? 2/2]),
?(P0 + K0 ) + J12 + ?1 J34 + · · · + ?(n?3)/2 Jn?2,n?1 + ?(n?1)/2 (Kn ? Pn ) ,
J12 + ?1 J34 + · · · + ?(n?3)/2 Jn?2,n?1 + ?(n?1)/2 (Kn ? Pn ) ,
где n — нечетное, ? > 0, 0 < ?1 ? · · · ? ?(n?1)/2 ? 1.
Доказательство теоремы 5.3 проводится на основании теорем 3.2, 4.2, 5.2.

§ 6. Классификация подалгебр алгебры AC(1, 4)
Множество подалгебр алгебры AC(1, 4) = AO(2, 5) разобъем на три класса:
1) подалгебры, не имеющие в пространстве R2,5 инвариантних изотропных под-
пространств; 2) подалгебры, имеющие в R2,5 инварариантное одномерное изотро-
пное подпространство; 3) подалгебры, имевщие в R2,5 инвариантное изотропное
подпространство размерности 2 и не имеющие в R2,5 инвариантных изотропных
подпространств размерности 1,
Перечни подалгебр второго и третьего классов дают теоремы 3.3–3.6, 4.3. Оста-
ется описать подалгебры первого класса.
Предложение 6.1. Подалгебра F алгебры AO(2, 5) не имеет в R2,5 инвариан-
тных изотропных подпространств тогда и только тогда, когда она сопряже-
на одной из следующих алгебр:
1) AO(2k), где k = 3, 4, 5;
2) ASU (1, 2) = ?12 + ?34 , ?12 + ?56 , ?13 + ?24 , ?15 + ?26 , ?35 + ?46 , ?14 ? ?23 ,
?16 ? ?25 , ?36 ? ?45 ;
3) ASU (1, 2) ? ?12 ? ?34 ? ?56 ;
4) K = ?12 ? v34 ? ?56 , ?13 + ?24 , ?15 + ?26 , ?35 + ?46 ;
? v
5) ? = ?14 + 3?13 + ?25 , ??15 + ?24 ? 3?23 , ?12 ? 2?45 ;
6) ? ? ?67 ; AO(2, 3) ? ?67 ;
7) AO(2, 2) ? L, где L ? AO(3) = ?ab |a, b = 5, 6, 7 ;
8) ?14 + ?23 , ?24 ? ?13 , ?12 ? ?34 ? ?12 + ?34 + L, где L ? AO(3);
?
9) AO(2, 1) ? L, где L ? AO(4) = ?ab |a, b = 4, 5, 6, 7 ;
10) ?12 ? L, где L ? AO(5) = ?ab |a, b = 3, 4, 5, 6, 7 ;
11) ?12 + ??34 + ??56 , где ? > 0, ? = 0 или ? ? ?, ? = 1, ? = 1;
12) ?34 + ??12 , ?56 + ??12 , где ? > 0, ? ? 0, ? = 1 при ? = 0;
13) ??12 + ?34 ? ?56 ? ?34 + ?56 , ?35 ? ?46 , ?36 + ?45 , (? > 0);
14) ?12 + ??67 ? ?34 , ?35 , ?45 , где ? > 0, ? = 1;
15) ?13 , ?14 , ?34 ? ?25 , ?26 , ?56 ;
16) ?13 + ?25 , ?14 + ?26 , ?34 + ?56 ;
17) ?ab |a, b = 1, 3, 4 ? ?ab |a, b = 2, 5, 6, 7 ;
18) ?ab |a, b = 1, 3, 4 ? ?ab |a, b = 5, 6, 7 .
О непрерывных подгруппах конформной группы 303

Доказательство. Согласно предложению 2.2 алгебра AO(2, 5) не имеет собствен-
ных неприводимых подалгебр. Максимальные приводимые подалгебры алгебры
AO(2, 5), не имеющие инвариантных изотропных подпространств, исчерпываются
относительно O(2, 5)-сопряженности такими алгебрами:
?) AO(2, k)?AO(5?k), где AO(5?k) = ?ab |a, b = k+3, . . . , 7 (k = 0, 1, 2, 3, 4);
?) AO1 (1, 2) ? AO2 (1, 3), где AO1 (1, 2) = ?ab |a, b = 1, 3, 4 , AO2 (1, 3) = ?ab |
a, b = 2, 5, 6, 7 .
Алгебра AO(2, 4) имеет такие неприводимые подалгебры: AO(2, 4), ASU (1, 2),
ASU (1, 2) ? ?12 ? ?34 ? ?56 , K.
Алгебра ? является единственной собственной неприводимой подалгеброй ал-
гебры AO(2, 3). Как показано в [7], алгебра AO(2, 2) содержит только одну соб-
ственную неприводимую подалгебру ?14 + ?23 , ?24 ? ?13 , ?12 ? ?34 ? ?12 + ?34 .
Следовательно, в случае ?) мы получаем алгебры 1)–14), а в случае ?) — алгебры
15)–18). Предложение доказано.
Теорема 6.1. Подалгебры алгебры AC(1, 4) исчерпываются относительно C(1, 4)-
?
сопряженности подалгебрами алгебры AP (1, 4) (теоремы 3.3–3.6), подалгебра-
?
ми алгебры AOpt(1, 4), не сопряженными подалгебрам алгебры AP (1, 4) (тео-
рема 4.3) и такими алгебрами:
AC(1, k), где k = 2, 3, 4;
P0 + K0 + 2J12 , P0 + K0 + 2J34 , P1 + K1 + 2J02 , P3 + K3 + 2J04 , J13 + J24 , P2 +
K2 ? 2J01 , P4 + K4 ? 2J03 , J14 ? J23 ? ?, где ? = 0 или ? = P0 + K0 ? 2J12 ? 2J34 ;
P0 + K0 ? v 12 ? 2J34 , P1 + K1 + 2J02 , P3 + K3 + 2J04 , J13 + J24 ;
2J v
P2 + K2 + 3(P1 + K1 ) + 2J03 , ?P3 ? K3 + 2J02 ? 2 3J01 , P0 + K0 ? 4J23 ? ?,
где ? = 0 или ? = K4 ? P4 ;
AC(1, 2) ? J34 ; AC(1, 1); AC(1, 1) ? J23 ; AC(1, 1) ? J23 , J24 , J34 ;
J01 ? D, K0 ? P0 ? K1 ? P1 , ?P0 ? K0 + K1 ? P1 ? P0 + K0 + K1 ? P1 ? L,
где L — одна из алгебр O, J23 , J23 , J24 , J34 ;
J01 ? D, K0 ? P0 ? K1 ? P1 , ?P0 ? K0 + K1 ? P1 , P0 + K0 + K1 ? P1 + ?J23
(? > 0);
P0 , K0 , D ? L, где L совпадает с одной из алгебр: O, J12 , J12 + ?J34
(0 < ? ? 1), J12 , J34 , J12 , J13 , J23 , J12 +J34 , J13 ?J24 , J14 +J23 , J12 +J34 , J13 ?
J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 , AO(4);
P0 + K0 + ?J12 (? > 0, ? = 2);
P0 + K0 + ?J12 + ?J34 (0 < ? ? ?, ? = 2, ? = 2);
J12 + ?(P0 + K0 ), J34 + ?(P0 + K0 ) (? > 0, ? ? 0, ? = 1 при ? = 0);
2
J12 ? J34 + ?(P0 + K0 ) ? J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 (? > 0);
P0 + K0 + ?(K4 ? P4 ) ? J12 , J13 , J23 (? > 0, ? = 1);
P0 + K0 ? L, где L — одна из алгебр O, J12 , J12 + ?J34 (0 < ? ? 1),
J12 , J34 , AO(3), J12 +J34 , J13 ?J24 , J14 +J23 , AO(3)? K4 ?P4 , 2J12 +J34 , J13 +
v v
J24 ? 3/2(K4 ? P4 ), J23 ? J14 + 3/2(K3 ? P3 ) , J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ?
J34 , AO(4), J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 , K1 ? P1 , K2 ? P2 , K3 ? P3 , K4 ? P4 ;
P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? J03 , J04 , J34 ;
P1 + K1 + 2J03 , P2 + K2 + 2J04 , J12 + J34 ;
P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? J03 , J04 , J34 , K0 ? P0 , K3 ? P3 , K4 ? P4 ;
P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? K3 ? P3 , K4 ? P4 , J34 .
Доказательство теоремы опирается на предложение 6.1 и описание подалгебр
алгебры AO(5) [5].
304 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Приложение
Уравнение эйконала
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u
? ? ? =1
?x0 ?x1 ?x2 ?x3
инвариантно относительно алгебры AC(1, 4) [12]. При нахождении вещественных
решений уравнения эйконала посредством симметрийной редукции можно ограни-
читься подалгебрами алгебры AC(1, 4), не содержащими M , T , M + 2T .
?
Используя подалгебры коразмерности 2 алгебры AP (1, 4), обладающие нену-
левой проекцией на D , мы получаем для них такие системы функционально
независимых инвариантов:
1) ux?1 , x2 ? x2 x?2 ;
0 1
2 2
2) ux3 , x0 ? x1 ? x2 x?2 ;
?1 2 2
2 3
?1
, 2? arctg x2 x?1 ? ln (x0 ? u)(x0 + u)?1 ;
3) x2 ? u2 x2 + x2
0 1 2 1
?2 ?1
4) x0 ? x1 ? x2 ? u x3 , (1 + ?)? ln x3 ? ln(x0 ? x2 );
2 2 2 2
?1
, (1+?) ln x2 + x2 ?2? ln(x0 ?x3 )?2? arctg x2 x?1 ;
5) x2 ? x2 ? u2 x2 + x2
0 3 1 2 1 2 1
?2
6) x0 ? x1 ? u x2 , ? ln(x0 ? x1 ) ? (1 + ?) ln x2 ;
2 2 2
?1
x2 ? x2 , (1 + ?) ln(x0 + x3 ) + (1 ? ?) ln(x0 ? x3 );
7) x2 + x2 + u2
1 2 0 3
?1/2
8) [(x0 ? x1 )u ? x2 ] x2 ? x2 ? x2 , x0 ? x1 ;
0 1 2
?1/2
x0 ? x3
?x2 x1
?u x2 ? x2 ? x2 ? x2 , x0 ? x3 ;
9) +
x0 ? x3 + ? x0 ? x3 x0 ? x3 + ? 2
0 1 3
?1
10) x2 ? x2 ? u2 (x0 ? x3 )?1 + 2 arctg x2 x?1 , (x0 ? x3 ) x2 + x2 ;
0 3 1 2
1
?2 ?2
11) x1 + u x2 , x0 ? x3 x2 ;
2 2 2 2
?1
, ln x2 + x2 ? 2? arctg x2 x?1 ;
12) x2 ? x2 ? u2 x2 + x2
0 3 1 2 1 2 1
?1
, 2 ln(x0 ? x3 ) ? ln x2 + x2 ? 2? arctg x2 x?1 ;
x2 ? x2 ? u2 x2 + x2
13) 0 3 1 2 1 2 1
u2 (x0 ? x1 )?1 , x0 + x1 + ln(x0 ? x1 );
14)
u2 (x0 ? x1 )?1 , x2 ? x2 ? x2 (x0 ? x1 )?1 + ln(x0 ? x1 );
15) 0 1 2
?1
x1 + x2 + u (x0 ? x3 ) , x0 + x3 + ln(x0 ? x3 );
2 2 2
16)
?1
17) x2 ? x2 ? u2 (x0 ?x3 )?1 +ln(x0 ?x3 )+2? arctg x2 x?1 , (x0 ?x3 ) x2 + x2 ;
0 3 1 2
1
?1
18) u (x0 ? x1 )2 ? 4x2 ,
w = 3 ln (x0 ? x1 ) ? 4x2 ? 2 ln 6(x0 + x1 ) ? 6x2 (x0 ? x1 ) + (x0 ? x1 )3 ;
2
?1
1/2
(x0 ? x1 )2 ? 4x2
19) x2 + u2 , w;
1
?2 ?2
20) x2 + u2 x0 , x2 + x2 x0 .
3 1 2
Если w1 , w — основные инварианты подалгебры коразмерности 2 алгебры
?
AP (1, 4), то анзатц w1 = ?(w) редуцирует уравнение эйконала к обыкновенно-
му дифференциальному уравнению F (?, ?, w) = 0. Используя найденные системы
?
инвариантов 1)–20), получаем такие редуцированные уравнения:
4w? ? (? ? 2w?)2 = 1; (1,2)
? ?

(? + ?2 ?2 )?2 + ?4 ? ?3 = 0; (3)
?

? = (1 + ?)??1 ;
? 2 ?2 ? 4(1 ? ??)? + 4(?2 ? ?) = 0, (4)
? ?

[(1 + ?2 ) + ? 2 ]?2 + 2[(1 + ?)? ? ?]? + ?2 ? ? = 0; (5)
? ?
О непрерывных подгруппах конформной группы 305

(1 + ?)2 ?2 + 4[? ? (1 + ?)?]? + 4?(? ? 1) = 0; (6)
? ?

(1 ? ?2 )?2 + 2?? + ?2 ? ? = 0; (7)
? ?

<< Предыдущая

стр. 71
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>