<< Предыдущая

стр. 75
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

8
where c0 , c are arbitrary parameters satisfying the following condition c 2 = 15 ?m;

im 2 8?
?3/2
(x ? rx)x?1 ,
exp ? r2 = ? (8.3)
u = x0 ;
0
2 m
?3/4
8 im 2 ?1
exp ?
?mx 2 (8.4)
u= x x0 ;
3 2

im 2 ?1 ?x
?3/2
?(?1 ) exp ? (8.5)
u = x0 x x0 , ?1 = ,
2m x0

function ?(?1 ) is defined by the elliptic integral
1/2
?
d? 6
= ?m (?1 + k2 ),
1/2 5
k1 + ? 10/3
0


whre k1 , k2 are arbitrary parameters.
im 2 ?1
?3/2
?2 = x 2 x?1 ,
exp ? (8.6)
u = x0 x x0 ?(?2 ), 0
2
where function ?(?2 ) is a solution of Emden–Fauler equation
d2 ? d?
? ?m?7/3 = 0.
2?2 2 + 3
d?2 d?2
The formulae (8.1)–(8.6) give multiparameter families of exact solutions of the
equation (7.6). Some of them are of non-perturbative type due to a singularity with
respect to the coupling constant ?.
Exact solutions of nonlinear Dirac’s and Schr?dinger’s equations
o 317

In conclusion we give formulae for multiplication of solutions. If u1 is a solution
of the equation with the nonlinearity 4/3 then the functions u2 , u3 defined by
vx0
u2 = u1 (x0 , x + vx0 ) exp im + vx ,
2
im dv 2
x0 x
(1 ? dx0 )?3/2 exp
u3 = u2 , ,
dx0 ? 1 1 ? dx0 2 1 ? dx0
also satisfy equation (7.6). Here d, v are arbitrary parameters.
The Ans?tze that have been presented here may also be applied to the equation
a
?|u|2 ?|u|?1
?u 1
i + ?u + ? u = 0,
?t 2m ?xa ?xa
which is also invariant under the group G2 (1, 3).
More full consideration solutions of equation (7.6) was given Fushchych and Serov
(1987), Fushchych and Cherniha (1986).
Acknowledgement. Author wishes to acknowledge Peter Olver and Avner Fried-
man for the invitation and the hospitality of the Institute for Mathematics and its
Applications at the University of Minnesota.

1. Akdeniz K.G., Smailagic A., Lett. Math. Phys., 1984, 8, 175.
2. Barut A.O., Xu B.W., Physica D, 1982, 6, 137.
3. Finkelstein R., Fronsdal, Kaust P., Phys. Rev., 1956, 103, 1571.
4. Fushchych W., The symmetry of mathematical physics problems, in Algebraic-theoretical studies in
mathematical physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1981, 6–28.
5. Fushchych W., Serov N., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear multidimensional
Lioville, d’Alambert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 3645–3656.
6. Fushchych W., Serov N., On some exact solutions of the three-dimensional non-linear Schr?dinger
o
equation, J. Phys. A.: Math. Gen., 1987, 20, L929–L933.
7. Fushchych W., On symmetry and exact solutions of some multidimensional equations of mathemati-
cal physics, in Algebraic-theoretical methods in mathematical physics problems, Kiev, Institute of
Mathematics, 1983, 4–23.
8. Fushchych W., On symmetry and exact solutions of the multidimensional wave equations, Ukr.
Math. Zhurn., 1987, 39, 116–123.
9. Fushchych W., Shtelen W., On some exact solutions of the nonlinear Dirac equation, J. Phys. A:
Math. Gen., 1983, 16, 271–277.
10. Fushchych W., Shtelen W., On reduction and exact solutions of the nonlinear Dirac equation, Teoret.
and Math. Fiziks (USSR), 1987, 72, 142–154.
11. Fushchych W., Shtelen W., Zhdanov R.Z., On the new conformally invariant equations for spinor
fields and their exact solutions, Phys. Lett. B, 1985, 159, 189–191.
12. Fushchych W., Zhdanov R.Z., On some exact solutions of the systems of nonlinear differential
equations for spinor and vector fields, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, 4173–4190.
13. Fushchych W., Zhdanov R.Z., On the reduction and some new exact solutions of the non-linear
Dirac and Dirac–Klein–Gordon equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1988, 21, L5–L9.
14. Fushchych W., Zhdanov R.Z., Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equations, (to
appear).
15. Fushchych W., Nikitin A., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel Publ. Comp.,
1987.
318 W.I. Fushchych

16. Gagnon L., Winternitz P., Lie symmetries of a generalized non-linear Schr?dinger equation, J. Phys.
o
A: Math. Gen., 1988, 21, 1493–1513.
17. Grundland A.M., Harmad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, 491.
18. Hagen C., Phys. Rev. D, 1972, 5, 377.
19. Heisenberg W., Rev. Mod. Phys., 1957, 29, 269.
20. Ivanenko D., Sov. Phys., 1938, 13, 141.
21. Kalnins E.G., Miller W., R-separation of variables for the time-dependent Hamilton–Jacobi and
Schr?dinger equations, J. Math. Phys., 1987, 28, 1005–1015.
o
22. Kortel F., Nuovo Cimento, 1956, 4, 729.
23. Kurdgelaidze D., Jurn. Exp. Theor. Fiz. (USSR), 1957, 32, 1156.
24. Lie S., Arch. Math., 1881, 6, 377.
25. Niederere U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 808.
26. Olver P., Application of Lie groups to differential equations, Springer-Verlag, New York, 1986.
27. Ovsyannikov L., Group analysis of differential equations, Academic, New York, 1982.
28. Tajiri M., J. Phys. Soc. Japan, 1983, 52, 1908–1917.
29. Takahashi K., J. Math. Phys., 1979, 20, 1232.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 319–325.

Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3)
и симметрийная редукция нелинейного
ультрагиперболического уравнения
Даламбера. I
Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ЛАГНО, В.И. ФУЩИЧ

1. Введение. Рассмотрим нелинейное ультрагиперболическое уравнение Да-
ламбера в (2 + 3)-мерном псевдоевклидовом пространстве

?u ?u
2u = F (1)
u, ,
?xµ ?xµ
где
?2u
2u = u11 + u22 ? u33 ? u44 ? u55 , u ? u(x),
uµ? = ,
?xµ ?x? (2)
x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), µ, ? = 1, . . . , 5,

?u ?u ?u
= (u1 )2 + (u2 )2 ? (u3 )2 ? (u4 )2 ? (u5 )2 , uµ ? (3)
,
µ
?xµ ?x ?xµ

F — произвольная гладкая функция.
Редукция волнового уравнения (1) в (1 + 3)-мерном пространстве осуществлена
в [1, 2]. Пятимерное уравнение (1)–(3) можно рассматривать как естественное
обобщение линейного уравнения Клейна–Гордона–Фока; оно часто встречается в
квантовой теории с фундаментальной длиной [3], в супергравитации, в квантовой
теории частиц с переменной массой и спином [4].
К настоящему времени нет каких-либо эффективных методов решения много-
мерных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУ-
ЧП). Для ДУЧП специального вида, обладающих нетривиальной симметрией,
одним из конструктивных способов исследования многомерных ДУЧП является
метод редукции. Основы этого метода были заложены в классических трудах Со-
фуса Ли и в настоящее время они интенсивно применяются и развиваются в ра-
зличных направлениях [1, 2, 5–7].
Уравнение (1) инвариантно относительно группы Пуанкаре P (2, 3) — группы
вращений и сдвигов в пятимерном псевдоевклидовом пространстве с сигнатурой
(+ + ? ? ?). Алгебру Ли этой группы обозначим символом AP (2, 3).
Провести редукцию какого-либо ДУЧП означает следующее [1, 5]: описать,
например, все анзацы вида

1 ? s ? 4, (4)
u(x) = f (x)?(?1 , . . . , ?s ),
Укр. мат. журн., 1988, 40, № 4, C. 411–416.
320 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

при которых уравнение (1) сводится к уравнению для неизвестной функции ?(?),
? = {?1 , . . . , ?s }, и в это уравнение входят только “новые” переменные ?. Число
“новых” переменных ?, по крайней мере, на единицу меньше числа “старых” пе-
ременных x = {x1 , . . . , x5 }. Ясно, что для редукции уравнения (1) необходимо в
явном виде построить функцию f (x) и переменные ?. С этой целью исследуем
решетку подалгебр алгебры инвариантности AP (2, 3) уравнения (1). Зная неэкви-
валентные подалгебры алгебры AP (2, 3), найдем все наборы переменных ?, при
которых анзац (4) (рассматриваем простейший случай, когда f (x) = 1) сведет
пятимерное уравнение (1) к нескольким ДУЧП в s-мерном пространстве относи-
тельно переменных ?.
Итак, основной задачей редукции (более точно симметрийной редукции) являе-
тся описание всех неэквивалентных подалгебр алгебры AP (2, 3). Полное решение
этой задачи для алгебры AP (2, 2) и одного класса подалгебр алгебры AP (2, 3) дано
в настоящей работе, и на ее основе получена система редуцированных уравнений
для (1). В литературе исследована относительно определенной сопряженности ре-
шетка подалгебр таких алгебр: AP (1, 3) [8], AO(1, 4) [9], AP (1, 4) [10], AP (2, 2)
?
[11], AP (1, 4) [12].
В п. 2 первой части работы введены необходимые понятия и определения, в
п. 3 описаны все подалгебры коразмерности 1 алгебры AP (2, 3). В п. 1 второй
части работы проведена классификация подалгебр алгебры AP (2, 2), в п. 2 по-
строены инварианты подалгебр алгебр AP (2, 2) и AP (2, 3), а в п. 3 осуществлена
симметрийная редукция уравнения (1).
2. Основные понятия. Обобщенной группой Пуанкаре P (2, n) называется
мультипликативная группа матриц
?Y
,
01

где ? ? O(2, n), Y ? R(2+n) . Алгебра Ли AP (2, n) этой группы определяется
такими коммутационными соотношениями:
[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
(5)
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , J?? = ?J?? , [P? , P? ] = 0,
где g11 = g22 = ?g33 = · · · = ?gn+1,n+2 = 1, g?? = 0 при ? = ?, ?, ?, ?, ? =
1, . . . , n + 2.
Если считать, что AP (2, n) является алгеброй Ли векторных полей на R(2, n),
то инфинитезимальные операторы (5) представляются такими дифференциаль-
ными операторами первого порядка: J?? = g ?? x? ?? ? g ?? x? ?? (псевдовращения),
P? = ?? (трансляции), где ?? = ?/?x? (?, ?, ? = 1, . . . , n + 2).
Пусть G — подгруппа Ли группы P (2, n) X1 , . . . , Xs = AG-алгебра Ли группы
G. Не тождественно постоянная функция f (x) = f (x1 , . . . , xn+2 ) называется ин-
вариантом группы G, если f (x) постоянна на G-орбите каждой точки x ? R(2, n).
Известно [6], что f (x) является инвариантом G тогда и только тогда, когда

(6)
Xi f (x) = 0

для всех i = 1, . . . , s. Пусть r? — общий ранг касательного отображения группы
G [6], а m = n + 2 ? r? . Если r? < n + 2, то существует система m функционально
Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) 321

независимых инвариантов f1 (x), . . . , fm (x), обладающая тем свойством, что любой
инвариант группы G имеет вид ?(f1 (x), . . . , fm (x)). Эту систему инвариантов бу-
дем называть полной системой инвариантов группы G или алгебры AG. Число r?
назовем рангом алгебры AG, а число m — коразмерностью AG.
Пусть L1 и L2 — подалгебры алгебры AP (2, n). Если для некоторого элемента
C ? P (2, n) подалгебры CL1 C ?1 и L2 обладают одними и теми же инвариантами,
то подалгебры L1 , L2 будем называть эквивалентными. В этом случае используем
обозначение L1 ? L2 .
Если функции fi (x), i = 1, . . . , k, являются инвариантами ненулевой подал-
гебры L алгебры AP (2, n), то L будем называть алгеброй инвариантности дан-
ной системы функций. Алгебра инвариантности называется минимальной, если
она неэквивалентна ни одной своей собственной подалгебре. Из эквивалентно-
сти минимальных алгебр инвариантности не вытекает их сопряженность отно-
сительно группы внутренних автоморфизмов группы P (2, n). Например, алгебры
J13 ? J35 , P1 + P5 , P3 , P1 + P5 являются минимальными алгебрами инвариан-
тности для функций x1 ? x5 , x2 , x4 в пространстве R(2, 3). Очевидно, эти ал-
гебры не являются P (2, 3)-сопряженными. В то же время, поскольку для любых
X1 , X2 ? AP (2, n) имеем [X1 , X2 ] = X1 X2 ? X2 X1 , то для системы инвариантов
каждой подалгебры алгебры AP (2, n) существует одна максимальная алгебра ин-
вариантности, содержащая все алгебры инвариантности данной системы функций.
Предложение 1. Пусть L1 , L2 — подалгебры алгебры AP (2, n). Для того что-
бы L1 ? L2 , необходимо и достаточно, чтобы максимальные алгебры инва-
риантности полных систем инвариантов подалгебр L1 и L2 , были P (2, n)-
сопряженными.
Доказательство. Если L1 ? L2 , то для некоторого элемента C ? P (2, n) ал-
гебры CL1 C ?1 и L2 обладают одними и теми же инвариантами. Пусть Ki —
максимальная алгебра инвариантности полной системы инвариантов алгебры Li ,
i = 1, 2. Очевидно, CK1 C ?1 и K2 обладают одними и теми же инвариантами,
откуда в силу единственности максимальной алгебры инвариантности заключаем,
что CK1 C ?1 = K2 . Наоборот, если CK1 C ?1 = K2 для C ? P (2, n), то CL1 C ?1 и
L2 имеют одни и те же инварианты, а значит, L1 ? L2 . Предложение доказано.
3. Подалгебры коразмерности 1 алгебры AP (2, 3). Поскольку в [7] най-
дены подалгебры коразмерности 1 алгебры AP (1, 3), а во второй части работы
будет получен перечень всех подалгебр для алгебры AP (2, 2), то следует исклю-
чить из рассмотрения подалгебры вида P1 ? K, L ? P5 , где L ? AP (2, 2),
K ? AP (1, 3) = Pa + Jab |a, b = 2, 3, 4, 5 . В дальнейшем через L будем обозна-
?
чать минимальную подалгебру коразмерности 1 алгебры AP (2, 3), не эквивален-
тную AO(2, 3), P1 ? K, L ? P5 и обладающую тем свойством, что ее проекция
?(L) на AO(2, 3) принадлежит нормализатору AOpt(1, 2) двумерного изотропного
пространства P1 + P5 , P2 + P4 в AO(2, 3).

<< Предыдущая

стр. 75
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>