<< Предыдущая

стр. 76
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Введем следующие обозначения:

M = J12 ? J25 + J14 ? J45 , D = ?J15 + J24 , Z = J15 + J24 ,
1 1
S = (J12 + J45 ? J14 ? J25 ), T = (J12 + J45 + J14 + J25 ),
2 2
G3 = J13 ? J35 , H3 = J23 ? J34 , N1 = P1 + P5 , N2 = P2 + P4 ,
322 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Y1 = P1 ? P5 , Y2 = P2 ? P4 , AGL(2, R) = D, S, T ? Z ,
U = Y1 , Y2 , N1 , N2 , P3 .

Записанные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям
[D, S] = 2S, [T, D] = 2T, [T, S] = D, [M, Z] = 2M, [G3 , Z] = G3 ,
[H3 , Z] = H3 , [Z, Y1 ] = Y1 , [Z, Y2 ] = Y2 , [N1 , Z] = N1 , [N2 , Z] = N2 ,
[D, G3 ] = G3 , [H3 , D] = H3 , [Y1 , D] = Y1 , [D, Y2 ] = Y2 , [D, N1 ] = N1 ,
(7)
[N2 , D] = N2 , [S, H3 ] = G3 , [Y1 , S] = Y2 , [S, N2 ] = N1 , [G3 , T ] = H3 ,
[T, Y2 ] = Y1 , [N1 , T ] = N2 , [G3 , H3 ] = M, [Y1 , G2 ] = 2P3 , [P3 , G3 ] = N1 ,
[Y2 , H3 ] = 2P3 , [P3 , H3 ] = N2 , [Y1 , M ] = 2N2 , [M, Y2 ] = 2N1
(нулевые коммутаторы опущены).
В [11] показано, что AOpt(1, 2) = M, G3 , H3 ? AGL(2, R). Очевидно, L ?
U + AOpt(1, 2). Через ? , ?, ? будем обозначать проектирования L соответствен-
?
но на AGL(2, R), пространство P3 , H3 , G3 и AO(2, 3). Исследование алгебры L
проводится в леммах 1–7 и теореме 1 в зависимости от ее проекции ? (L). Если
? (L1 ) = L2 , но L1 ? L2 , то в перечне подалгебр будет фигурировать только алге-
бра L1 .
Лемма 1. Если ? (L) = 0, то L эквивалентна одной из следующих алгебр:
L1 ?, ? ? R,
= G3 + 2Y2 + ?N2 , H3 + Y1 + ?Y2 , M + 2P3 , N1 ,
L2 = G3 + Y2 , H3 + Y1 , M, N1 , N2 ,
L3 = G3 + Y1 , H3 + Y2 , M, N1 , N2 ,
L4 G3 + Y1 , H3 ? Y2 , M, N1 , N2 .
=
Доказательство. Пусть ?(L) = G3 , H3 , P3 . С точностью до автоморфизма
exp(?i Yj + ?3 P3 ), i = 1, 2, алгебра L содержит элементы X1 = G3 + ?1 Y1 + ?2 Y2 +
?N2 + ?M , X2 = H3 + ?1 Y1 + ?2 Y2 + µ1 N1 + µ2 N2 + ?M . Очевидно, проекция
?X1 ? ?X2 на M равна нулю. Отсюда заключаем, что с точностью до автоморфи-
зма exp ?(S + T ) можно предполагать, что ? = 0. Автоморфизм exp(?G3 ) позволяет
обратить в нуль и коэффициент ?. Если P3 +?1 Y1 +?2 Y2 +?1 N1 +?N2 ? L, то L со-
держит N1 +2?1 P3 , N2 +2?2 P3 , 2?1 N1 , а потому N1 , N2 , P3 ? L. Но в таком случае
L ? L ? P5 , где L ? AP (2, 2). Противоречие. Пусть X3 = [X1 , X2 ]. Очевидно,
X3 = M + 2(?2 ? ?1 )P3 , где ?2 ? ?2 = 0, [X3 , X1 ] = (4?2 ? 2?1 )N1 ? 2?1 N2 ,
[X3 , X2 ] = 2?2 N1 + (2?2 ? 4?1 )N2 . Если L содержит ненулевой элемент вида
?1 N1 + ?2 N2 , то, применяя автоморфизм exp ?(S + T ), получаем N1 ? L. Так
как M + µP3 , N1 , N2 ? P3 , N1 , N2 , то N2 ? L. Поэтому можно предполагать,
что ?1 = 0, ?2 = 2?1 . С точностью до автоморфизма exp(?, Z) получаем L = L1 .
Пусть ?L = G3 , P3 . Тогда, применяя автоморфизм exp(?1 , Y1 + ?2 H3 + ?3 P3 ,
убеждаемся, что L содержит элементы X1 = G3 + ?1 Y1 + ?2 Y2 + ?N2 , X2 =
P3 +?M +?1 Y1 +?2 Y2 +µ1 N1 +µN2 , X3 = [X2 , X1 ] = (1+2??2 )N1 ?2??1 N2 +2?1 P3 ,
X4 = [X3 , X1 ] = 2?1 N1 . За счет автоморфизма exp(?1 H3 + ?2 Y1 ) можно допускать,
что ?2 = 0 при ? = 0. Если ?1 = 0, то N1 , P3 ? ??1 ??1 N2 ? L. Автоморфизм
1
exp(?H3 ) позволяет выделить P3 , что противоречит определению L. Значит, ?1 =
0. Так как dim L ? 4, то L содержит ненулевой элемент ?1 N1 + ?2 N2 + ?M + ?Y2 .
Анализируя возможные случаи, приходим к выводу, что L ? L , где ?(L ) = G3 .
Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) 323

Если ?(L) = G3 , то L сопряжена алгебре G3 + Y1 , Y2 , N1 , N2 , а последняя
эквивалентна алгебре L ? P5 , где L ? AP (2, 2). Если ?(L) = P3 , то P3 ? L
или L ? L , где ?L = 0. Если ?(L) = G3 , H3 , то с точностью до автоморфизмов
exp ?(S + T ), exp(?1 J15 + ?2 J24 ), exp(?T ) алгебра L сопряжена одной из алгебр L2 ,
L3 , L4 . Лемма доказана.
Лемма 2. Если ? (L) = D , то L эквивалентна одной из алгебр

L5 = D + ?P3 , G3 + ?Y2 , M + P3 , N1 , ? = 0,
L6 = D, G3 + Y2 , M ? 2P3 , N2 , L7 = D + ?P3 , G3 + Y2 , N1 , N2 , ? > 0,
L8 = D, G3 + Y2 , N1 , N2 , L9 = D + ?P3 , M + P3 , N1 , N2 , ? > 0.

Доказательство. Так как D действует вполне приводимо на U и аннулирует в U
только M, P3 , то в силу предложения 2.1 [12] D + ?M + ?P3 ? L. На основании
леммы 3.1 [12] пространство L?U разлагается в сумму своих проекций на M, P3 ,
G3 , Y2 , N1 , H3 , Y1 , N2 . Если ?(L) = G3 , H3 , P3 , то ранг алгебры L равен 5.
Пусть ?(L) = G3 , P3 . С точностью до сопряженности G3 + ?Y2 ? L, ? = 0.
Проекция L на Y1 равна 0. Если M + µP3 ? L, µ = 0, то D + ?P3 ? L. При ? = 0
получаем алгебру L5 . Если N2 ? L, то L = L6 . Допустим, что M + µP3 ? L, µ = 0.
В этом случае N1 , N2 ? L, а потому L эквивалентна L7 .
01
Пусть J = . Автоморфизм, соответствующий diag [J, 1, J], сводит слу-
10
чай ?(L) = H3 , P3 к случаю ?(L) = G3 , P3 .
Пусть ?(L) = G3 , H3 . Тогда L содержит G3 + ?Y2 , H3 + ?Y1 + ?N2 , M . Если
? = 0, то L ? L8 . Если ? = 0, то L ? AO(2, 3). Остальные случаи рассматриваются
аналогично. Лемма доказана.
Лемма 3. Если ? (L) = D + ?Z , ? > 0, то L эквивалентна одной из алгебр

L10 = 3D + Z + µP3 , M + Y1 , Y2 , N1 , µ > 0,
L11 = D + Z + ?P3 , G3 + Y1 , N1 , N2 , ? > 0,
L12 = 3D + Z, M + Y1 , H3 , N1 .

Лемма 4. Если ? (L) = T , то L эквивалентна одной из алгебр

L13 = T + G3 + ?Y1 + Y3 , H3 + 2Y1 + ?N1 , M ? 2P3 , N3 , ?, ? ? R,
L14 = T + G3 + ?Y1 + Y2 , H3 + Y1 , M, N1 , N2 , ? ? R.

Доказательство лемм 3, 4 аналогично доказательству лемм 1,2.
Лемма 5. Если ? (L) = D, T , то L эквивалентна L15 = D, T, H3 +Y1 , M +2P3 .
Доказательство. На основании предложения 2.1 и леммы 3.1 [12] алгебра L
содержит D + ?M + ?P3 , T , а L ? U разлагается в сумму своих проекций
на M, P3 , G3 , Y2 , N1 , H3 , Y1 , N2 , причем, если K -— проекция L ? U на
G3 , Y2 , N1 , то [T, K] содержится в проекции L ? U на H3 , Y1 , N2 . Легко ви-
деть, что T, N2 ? Y1 , N2 , T, Y1 + ?N2 ? Y1 , N2 . Если ?(L) = G3 , H3 , P3 , то
L ? L15 . Пусть ?(L) = G3 , H3 . Тогда L содержит G3 + ?Y2 , H3 ? ?Y1 . Так как
[G3 + ?Y2 , H3 ? ?Y1 ] = M + 4?P3 , то ? = 0. Отсюда вытекает, что L ? AO(2, 3).
Остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана.
324 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Лемма 6. Если ? (L) = D + ?Z, T , ? = 0, то L сопряжена одной из следующих
алгебр:
L16 = D + 3Z, T + G3 , N1 , N2 ,
L17 = D + 3Z + ?P3 , T + G3 , N1 , N2 , ? > 0,
L18 = D + 3Z, T + G3 , M, H3 + ?N2 , ? > 0,
L19 = D + 3Z, T + N1 , M, H3 .
Доказательство. На основании коммутационных соотношений (7) имеем
[D + ?Z, ?T + ?G3 + ?H3 + ?P3 + ?1 Y1 + ?2 Y2 + µ1 N1 + µ2 N2 + ?M ] =
= ?2?T + (1 ? ?)(?G3 + µ1 N1 ) ? (1 + ?)(?H3 + µ2 N2 ) + (? ? 1)?1 Y1 +
+ (? + 1)?2 Y2 ? 2??M.
Пусть ? = ±1/3, ±1, ±3. В силу предложения 2.1 и леммы 3.1 из [12] алгебра
L содержит D + ?Z + µP3 , T , а пространство L ? U разлагается в сумму своих
проекций на M , Y1 , Y2 , G3 , N1 , H3 , N2 , P3 . Если G3 + ?N1 ? L, то
L содержит [G3 + ?N1 , T ] = H3 + ?N2 , а также M . В этом случае L = D +
?Z, M, G3 + ?N1 , H3 + ?N2 , T , а потому L ? AO(2, 3).
Если ? = 1/3, то L содержит 3D + Z + µP3 , T , а L ? U разлагается в сумму
своих проекций на M, Y1 , Y2 , G3 , N1 , H3 , N2 , P3 . Отсюда вытекает, что
если µ = 0, то L ? AO(2, 3) или L ? L19 ; если µ = 0, то dim L = 3. Если ? = ?1/3,
то L содержит 3D ? Z + µP3 , T , а L ? U разлагается в сумму своих проекций на
Y1 , M, Y2 , G3 , N1 , H3 , N2 , P3 . Поскольку [T, Y2 ] = Y1 , T, Y1 ? N2 , Y1 ,
то проекция L на Y1 , Y2 равна нулю. Если µ = 0, то L сопряжена подалгебре
алгебры AO(2, 3). Если µ = 0, то dim L = 3.
Случаи ? = ±1, ±3 рассматриваются аналогично. Лемма доказана.
Лемма 7. Если Z ? ? (L), то L сопряжена одной из алгебр
L20 = D + ?P3 , Z + ?P3 , N1 , N2 , ? = ?, ?, ? ? 0,
L21 = S + T + ?P3 , Z + ?P3 , N1 , N2 , ? + ? = 0, ?, ? ? 0.
Доказательство леммы 7 аналогично доказательству предыдущих лемм.
Теорема 1. Подалгебры коразмерности 1 алгебры AP (2, 3), не эквивалентные
AO(2, 3), P1 ? K, L ? P5 , исчерпываются относительно эквивалентности
алгебрами, описанными в леммах 1–7.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случаев алгебр C ? AP (2, 3), про-
екции которых на AO(2, 3) не сопряжены подалгебрам алгебры AOpt(1, 2). Пусть
?
Ga = J1a ? Ja5 , a = 2, 3, 4, AO(2, 4) = Jcd |c, d = 2, 3, 4 , AP (1, 2) = G2 , G3 , G4 +
?
(AO(2, 4) ? J15 ). Так как J15 = (Z ? D)/2, G2 = (M + 2S)/2, G4 = (M ? 2S)/2, то
?
J15 , G2 , G3 , G4 ? AOpt(1, 2). Отсюда вытекает, что подалгебра F алгебры AP (1, 2)
не сопряжена подалгебре алгебры AOpt(1, 2) тогда и только тогда, когда ее про-
екция R на AO(2, 4) не имеет инвариантных изотропных подпространств в про-
странстве P2 , P3 , P4 . Последнее условие выполняется тогда и только тогда, когда
сопряжена одной из алгебр AO(2, 4), J34 .
Пусть L — подалгебра коразмерности 1 алгебры AP (2, 3), не эквивалентная
AO(2, 3), P1 ? K, L ? P5 ; ? — проектирование L на AO(2, 3); F = ?(L) ?
?
AP (1, 2) , R = J34 . В силу леммы 3.1 [12] алгебра L содержит свою проекцию W
Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) 325

на G3 , G4 , P3 , P4 . Если W = 0, то функция x2 +x2 будет инвариантом L, а потому
3 4
L ? J34 , P1 , P2 , P5 . Если P3 , P4 ? W , то L ? L , где ?(L ) ? AOpt(1, 2). Пусть
W = 0 и P3 , P4 ? W . Тогда W обладает базисом G3 + ?P3 + ?P4 , G4 ? ?P3 + ?P4 .
Коммутатор этих элементов совпадает с 2?N1 . Если ? = 0, то N1 ? L. Отсюда
легко получить, что L ? L , где ?(L ) ? AOpt(1, 2). Если ? = 0, то с точностью до
автоморфизма exp(?Y1 ) имеем W = G3 , G4 . Если проекция L на J15 равна 0, то
x1 ? x5 является инвариантом L, а потому L ? N1 , P2 , P3 , P4 . Если проекция ?
на N1 , G2 отлична от 0, то L содержит свою проекцию ? на N1 , G2 . Допустим,
что ? = G2 + ?N1 . Применяя автоморфизм exp(?P2 ), получаем G2 ? ?. Если
N1 ? ?, то L ? L , где ?(L ) ? AOpt(1, 2). Если N1 ? ?, то L ? AO(2, 3) или
L ? L ? P5 .
Случай F = ?(L), R = AO(2, 4) рассматривается аналогично. Если проекция
L на AO(2, 3) не имеет инвариантных изотропных подпространств в пространстве
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , то L эквивалентна одной и алгебр AO(2, 3), P1 ? K, L ? P5 .
Теорема доказана.

1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в Теоретико-алгебраические методы
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear manydimen-
sional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. and Gen., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
3. Кадышевский В.Г., Новый подход к теории электромагнитных взаимодействий, Физика эле-
ментр., частиц и атом. ядра, 1980, 11, вып. 1, 5–36.
4. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе, Теор. мат. физика, 1970, 4, № 3, 360–382.
5. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
6. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
7. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
8. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1624.
e
9. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Quantum numbers for particles in de Sitter space, J. Math.
Phys., 1976, 17, № 5, 717–728.
10. Fushchych W.I, Barannik A.F., Barannik L.F., Fedorchuk V.M., Continuous subgroups of the Poi-
ncar? group P (1, 4), J. Phys. A: Math. and Gen., 1985, 18, № 14, 2893–2899.
e
11. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n),
Препринт № 85.89, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 50 с.
12. Barannik L.F., Fushchych W.I., On subaalgebras of the Lie algebra of the extended Poincar? group
e
?
P (1, n), J. Math. Phys., 1987, 28, № 7, 1003–1017.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 326–331.


Нова математична модель дифузiйних
процесiв зi скiнченною швидкiстю
В.I. ФУЩИЧ, А.С. ГАЛIЦИН, А.С. ПОЛУБИНСЬКИЙ

The fourth-order partial differential equation Lu = (?1 L1 + ?2 L2 )u(x, t) = 0, where
L2 = L1 L1 , L1 is a classical heat conductivity operator is suggested to describe the
heat and diffusion processes. The fundamental solution of the operator and some finite
self-similar solutions are obtained.

В цьому повiдомленнi для опису теплових i дифузiїних процесiв запропоновано
диференцiне рiвняння з частинними похiдними четвертого порядку, iнварiантне
вiдносно групи Галiлея. Порiвняно з класичним лiнiйним рiвнянням параболiчного
типу воно бiльш коректно описує еволющйнi процеси i дозволяє дослiджувати їх
спецiальнi режими, зокрема — зi скiнченною швидкiстю розповсюдження збурень.
Оскiльки класичне рiвняння теплопровiдностi передбачає нескiнченну швид-
кiсть розповсюдження збурень, що приводить до ряду вiдомих парадоксiв [1–3],
для описання процесiв зi скiнченною швидкiстю рядом авторiв було запропоноване
гiперболiчне рiвняння, яке враховує релаксацiю теплового потоку [2–4]. Однак всi
нестацiонарнi рiвняння, в якi входять другi похiднi по часу, не iнварiантнi вiдно-
сно перетворення Галiлея, причому для бiльшостi з них не виконується нi принцип
Галiлея, нi принцип Пуанкаре–Ейнштейна [5, 6]. Це свiдчить про те, що гiпербо-
лiчне рiвняння не має вiдповiдних симетрiйних властивостей i, таким чином, не
вiдображає основнi фiзичнi закони збереження.
Розглянемо рiвняння вигляду

Lu ? (?1 L1 + ?2 L2 )u(x, t) = 0, (1)

де ?1 i ?2 — дiйснi параметри, L2 = L1 L1 ,
?
L1 ? ? ? 2 ?2 , (2)
?t
? — фiзичний параметр, ?2 — оператор Лапласа, x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Далi (1)
будемо називати для скорочення бiпараболiчним рiвнянням; при ?1 = 1, ?2 = 0
воно спiвпадае з класичним рiвнянням теплопровiдностi. Можна показати, що (1)
iнварiантне вiдносно групи Галiлея G(3, 1). Тому природно чекати, що його можна
використовувати для описання процесiв дифузiйного типу, якi не залежать вiд
того, в яких iнерцiйних системах вони спостерiгаються.
При виведеннi рiвняння (1) iз закону збереження енергiї тепловий потiк може
бути визначений рiзними спiввiдношеннями. Зокрема, його можна задати у виглядi

q(x, t) = ?? grad u ? µ grad L1 u; (3)
?, µ = const.

Звiдси при µ = 0 випливае закон Фур’є.
Доповiдi АН УРСР, Сер. А, 1988, № 8, C. 21–26.
Нова математична модель дифузiйних процесiв зi скiнченною швидкiстю 327

Рiвняння (1) при sgn ?1 = sgn ?2 зберiгає асиметрiю вiдносно часу t, що має
мiсце для класичного рiвняння теплопровiдностi, i вiдповiдає принципу зростання
ентропiї.
Змiннi в рiвняннi (1) не роздiляються в класичному розумiннi, однак час може
бути виключений перетворенням Лапласа, що приводить до рiвняння в зображен-
нях
?2 ?2 ?2 u ? ? 2 (?1 + 2?2 p)?2 u + p(?1 + ?2 p)? =
? ? u
(4)
?u(x, 0)
? 2? 2 ?2 u(x, 0) ,
= (?1 + ?2 p)u(x, 0) + ?2
?t
де p — параметр перетворення. Звiдси, зокрема, випливає, що коректними поча-
тковими умовами для рiвняння (1) поряд з
?u(x, 0)
?2 u(x, 0) = u2 (x) (5)
u(x, 0) = u0 (x), = u2 (x),
?t

<< Предыдущая

стр. 76
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>