<< Предыдущая

стр. 77
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

є умови
?u(x, 0)
? 2? 2 ?2 u(x, 0) = u3 (x). (6)
u(x, 0) = u0 (x),
?t
З другого боку, у випадку всього простору En перетворенням Фур’є рiвняння
(1) зводиться до звичайного диференцiйного рiвняння
?2 u + (?1 + 2?2 ? 2 ? 2 )? + (?1 + ?2 ? 2 ? 2 )? 2 ? 2 u = 0, t ? 0, (7)
? u ?
де u — образ фур’є-функцiї, u, ? = {?1 , ?2 , . . . , ?n } ? En . Загальний розв’язок
?
цього рiвняння має вигляд
2
?2 t
u(?; t) = c1 e?? (1 + c2 e??1 t/?2 ), ?2 = ?. (8)
?
Якщо визначити фундаментальний розв’язок G?1 ?2 (r, ? ) бiпараболiчного опе-
ратора L як узагальнену функцiю, що задовольняє рiвняння LG(r, ? ) = 4??(r)?(? ),
де r = ? ? ? , ? = {x1 , x2 , . . . , xn }, ? = {x1 , x]2 , . . . , xn }, ? = t ? t , ?(·) — дельта-
функцiя, i ввести фундаментальний розв’язок Q(r, ? ) класичного оператора тепло-
провiдностi L1 [7], то мiж ними iснує наступний зв’язок:
?
? 1 (1 ? e??1 ? /?2 ), якщо ? = 0, ? < ?,
1 2
?1 (9)
G?1 ?2 (r, ? ) = Q(r, ? )
?
якщо ?1 = 0, ?2 = 1,
?,
де [1, 2]
4??(? ) ? r22
v
Q(r, ? ) = e 4? ?
(2? ?? )n
(?(? ) — одинична функцiя Хевiсайда). При цьому можна довести, що
G?1 ?2 (r, ? ) > G0,1 (r, ? ), G?1 ?2 (r, ? ) > Q(r, ? ), (10)
? >?
? >0

тобто при достатньо малих ? фундаментальний розв’язок оператора L веде себе
по ? як фундаментальний розв’язок оператора L2 , а для достатньо великих ? його
характер визначається поведiнкою фундаментального розв’язку оператора L1 .
328 В.I. Фущич, А.С. Галiцин, А.С. Полубинський

При r = 0 мають мiсце наступнi асимптотичнi спiввiдношення:

якщо sgn ?1 = sgn ?2 ,
0,
(11)
lim G?1 ?2 (r, ? ) =
?,
? >? якщо sgn ?1 = sgn ?2 ,
?
? ?, якщо n = 1,
?
1/? 2 , якщо n = 2, (12)
lim G0,1 (r, ? ) =
?
? >? ?
якщо n = 3, 4, . . . .
0,

Побудована функцiя G?1 ?2 (r, ? ) задовольняє умови причинностi i взаємно-
стi [1], характернi для фундаментального розв’язку класичного оператора L1 . Ниж-
че наводяться розв’язки деяких спецiальних задач для одновимiрного рiвняння (1)
та вiдзначаються їх властивостi.
Нехай початковий розподiл температури на всiй осi задовольняє спiввiдношен-
ня (6), де

|x| < a,
w,
(13)
u0 (x) = u3 (x) = 0.
|x| > a,
0,

У цьому випадку рiвняння (1) має наступнi розв’язки:
?
? s(x, t), ?1 = 1, ?2 = 0,
?
?
?
? (a?x)2 (a+x)2
? s(x, t) ? w ? 4? 2 t ? 4? 2 t
? v (a ? x)e + (a + x)e , ?1 = 0,
?
4? ?t
(14)
u= ?? t/?
?
? s(x, t) ? ?2 w 1 ? e v1 2 (a ? x)e? (a?x) + (a + x)e? (a+x) ,
2 2
?
? 4? 2 t 4? 2 t
?
? ?1 4?t ?t
?
?
?1 = 0, ?2 < ?,
де
a?x
w a+x
v + erf v
erf
s(x, t) =
2 2? t 2? t
(erf z — iнтеграл ймовiрностi [1, 2, 10]). Результати обчислень по формулах (14)
показали, що до деякого фiксованого моменту часу t = t0 u(x, t) є монотонно
спадаючими функциями вiд x; при t > t0 для розв’язкiв (14б) та (14в), на вiдмiну
вiд класичного випадку (14а), характерна поява одиничної хвилi, що рухається
в напрямку осi x з спадаючою по t амплiтудою. При цьому має мiсце нерiвнiсть
0 < u(x, t) ? w.
Якщо ж замiсть другої умови в (13) задати (5), де u1 = 0, u2 = 0, то розв’язок
такої задачi буде вiдрiзнятись вiд (14в) лише знаком другого члена. Виявляється,
що тут вказана нерiвнiсть не має мiсця: iснує таке t = t0 , що при t > t0 u(x, t)
змiнює знак на осi x, причому u > ?0 при x > ?. Це явище має мiсце для
будь-яких, скiльки завгодно малих ?2 > 0.
Покладемо в (1) ?1 = 0, ?2 = 1, i будемо шукати автомодельний розв’язок
вигляду [8]

? = x ? vt (?, v = const).
uA (x, t) = e?t ?(?), (15)
Нова математична модель дифузiйних процесiв зi скiнченною швидкiстю 329

Тепловий потiк тут, у вiдповiдностi з (3), визначається формулою
q = µe?t (? 2 ? + v? ? ?? ), (16)
а ?(?) визначається iз диференцiйного рiвняння
? 4 ?IV + 2? 2 v? + (v 2 ? 2?? 2 )? ? 2?v? + ? 2 ? = 0. (17)
Його загальний розв’язок має вигляд
?v ±
v 2 + 4?? 2
? = c1 er1 ? + c2 er2 ? + ?(c3 er1 ? + c4 er2 ? ), (18)
r1,2 = .
2? 2
Можна довести, що серед множини функцiй (18) мiстяться розв’язки, що за-
довольняють умови
?(?) > 0, ? < 0, ?(0) = 0,
??(0) ? v? (0) ? 2? 2 ? (0) = 0, q(0) = 0.
Вони забезпечують неперервнiсть початкових даних, що випливають з (6), та пото-
ку в точцi ? = 0. Тому iснують розв’язки рiвняння L2 u = 0 з всюду неперервним q,
фiнiтнi по x: uA (x, t) > 0 при x < vt, uA (x, t) = 0 при x ? vt. Таким чином, це рiв-
няння придатне для описання процесiв з скiнченною швидкiстю розповсюдження
збурень, причому таких розв’язкiв три:
?
? c1 e? ?2 ? ? v ? ? 1 , ? < 0,
v

?2
?=
?
0, ? ? 0, (? = 0);
? 2
?
? c2 ? 4r2 + v/? er1 ? ? er2 ? , ? < 0,
?
? 4r1 + v/? 2
?=
? v2
?
? 0, ? ? 0, ?=? 2 ;
?
8?
?
?
? c3 er2 ? ? er1 ? + v(r2 ? r1 )?e
r1 ?
? v v 2 + 4?? 2
?
? +
?
? ? 2 (4r1 + v/? 2 ) 2? 2 (v 2 + 8?? 2 )
?
?
?
?
4r2 + v/? 2 r1 ?
?= ? 2 + 4?? 2 ? v ? er2 ? ?
v e , ? < 0,
?
? 4r1 + v/? 2
?
?
?
?
? v2
?
? 0, ? ? 0, ? 2 <?<0 ,
?
8?
де cj , j = 1, 3 — довiльнi постiйнi.
Приклади фiнiтних розв’язкiв класичних нелiнiйних рiвнянь теплопровiдностi,
що мають подiбнi властивостi, наведенi в [8, 9].
На пiвосi x ? 0 будемо шукати автомодельнi розв’язки рiвняння L2 u = 0 для
степеневого межового режиму [8]
u(0, t) = (1 + t)? , ? = const > 0,
вигляду
x
?=v (0 ? ? < ?).
uA (x, t) = (1 + t)? ?(?), (19)
1+t
330 В.I. Фущич, А.С. Галiцин, А.С. Полубинський

Неважко показати, що ?(?) задовольняє рiвняння
d2 2
?d 2d ? ? d?
? ? (? ? 1) ? ? ??
2
(20)
+ + = 0, ?(0) = 1.
d? 2 d? 2
2 d? 2 d?
Його розв’язок виражається через функцiї Ермiта [10]:
? ?
? = c1 H2? i + c2 H2(??1) i +
2? 2?
(21)
?2 ? ?
? 4? 2
+e c3 H?2(?+1) + c4 H?2(??1) ,
2? 2?
де cj , j = 1, 4 — довiльнi постiйнi. Iз асимптотичних представлень функцiй Ермiта
випливає, що
при ? = 1, c1 = c2 = 0,
0
lim ? =
при ? = 1, c1 = 0.
1
?>?

Доведена наступна
Теорема 1. Нехай uA (x, t) — автомодельний розв’язок рiвняння L2 u = 0 вигля-
ду (19), обмежений на нескiнченностi. Тодi:
1) якщо 0 < ? < 1, то вибором постiйних c2 , c3 i c4 в (21) можна визначити
фiнiтний по x розв’язок з всюди неперервним тепловим потоком, що описує
хвилю з скiнченною швидкiстю розповсюдження збурень;
2) якщо ? > 1, то uA (x, t) — монотонна функцiя своїх аргументiв, що
описує розповсюдження збурень з нескiнченною швидкiстю.
Нехай x ? 0, а при x = 0 для рiвняння L2 u = 0 задано межовий режим з
загостренням [8]
u(0, t) = (T ? t)?? , ? = const > 0, (22)
тобто u(0, t) > ? при t > T ? . Автомодельний розв’язок рiвняння шукаємо у
виглядi
x
uA (x, t) = (T ? t)?? ?(?), ? = v (23)
.
T ?t
Можна показати, що ?(?) задовольняє рiвняння
d2 2
?d 2d ? ? d?
? ? ? (? + 1) ? ? ? ??
2
(24)
= 0, ?(0) = 1,
d? 2 d? 2
2 d? 2 d?
а його розв’язок має вигляд
? ?
? = c1 H?2? + c2 H?2(?+1) +
2? 2?
(25)
?2 i? i?
4? 2
+e c3 H2??1 + c4 H2?+1 .
2? 2?
Доведена наступна
Теорема 2. В степеневому межовому режимi з загостренням при будь-якому
? > 0 рiвняння L2 u = 0 не має фiнiтних автомодельних розв’язкiв вигляду (23),
обмежених на нескiнченностi, i описує розповсюдження збурень з нескiнченною
швидкiстю.
Нова математична модель дифузiйних процесiв зi скiнченною швидкiстю 331

<< Предыдущая

стр. 77
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>