<< Предыдущая

стр. 79
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

quantities for the electromagnetic field F = (E, H), found by Bessel-Hagen [6] on
the basis of L-approach for vector field A = (Aµ ) of potentials, namely:

d3 x(x? P? (x) ? x? P? (x)),
d3 xP? (x),
P? = J?? =
(33)
d x(2x? D(x) ? x P? (x)).
3 3 2
D= d xD(x), K? =

It is interesting to note, that according to the formula (25) the duality transfor-
mation ? gives identically zero. Nontrivial conservation laws are given here by the
generators of the algebra A32 ? C(1, 3) of invariance of free Maxwell’s equations (1)
found in [1], which has the form of composition q = ?? of C(1, 3) generators q and the
? q ?
generator ?. Integral conserved quantities, which are found on the basis of formulae
? j, ? ?
(23) or (25) and (29) for ?C(1, 3)-generators q = (??, ?? ?d, ?K) are expressed in
?
terms of series

d3 x(x? Z? ? x? Z? ),
µ
d3 xZ? (x),
µ µ µ µ
Z? = Z?? =
(34)
?x
µ 3 ? µ µ 3 ? µ 2 µ
Z= d xx Z? (x), Z? = d x(2x? x Z? Z? ),

of conserved quantities having polarization nature, of Lipkin [7] and others [8–10]
(in [7–10] the conservation laws (34) were found without using the L-approach and
Noether theorem). In (34) the densities Z of conserved quantities are expressed in
the terms of Lipkin’s Zilch tensor

Z? ? Z? , Z? = F ?? ?F?? ? ?F ?? F?? .
µ 0|µ ?|µ ,µ ,µ
(35)


1. Krivsky I.Y., Simulik V.M., Ukrain. Fiz. Zh., 1985, 30, 1457.
2. Krivsky I.Y., Simulik V.M., Voprosy Atomn. Nauky Techn. Series: Obshchaya Yadern. Fiz., 1986,
34, 20.
3. Sudbery A., J. Phys. A, 1986, 19, L33.
4. Fushchych W.I., Krivsky I.Y., Simulik V.M., On vector Lagrangians for the electromagnetic and
spinor fields, Preprint 87.54, Acad. Sci. Ukr. SSR., Ins. Mathematics, 1987.
5. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Kiev, Naukova Dumka, 1983
(engl. transl. Dordrecht, Reidel, 1987).
6. Bessel-Hagen E., Math. Ann., 1921, 84, 258.
7. Lipkin D.M., J. Math. Phys., 1964, 5, 696.
8. Lipkin D.M., J. Math. Phys., 1965, 6, 879.
9. Kibble T.W.B., J. Math. Phys., 1965, 6, 1022.
10. Fairlie D.B., Nuovo Cim., 1965, 37, 897.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 337–341.

Условная инвариантность и точные
решения нелинейного уравнения акустики
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ
The notion of the conventional invariance of differential equation is introduced. Some
exact families of solutions of the nonlinear equation of acoustics are constructed.

В работах [1, 2] предложен следующий подход к решению нелинейных диффе-
ренциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Предположим, что неко-
торое ДУЧП не обладает нетривиальной группой инвариантности. Для построения
решений уравнения присоединяем к нему такое дополнительное ДУЧП, чтобы по-
лученная (переопределенная) система обладала широкими симметрийными свой-
ствами, если это удастся сделать, то далее, воспользовавшись симметрийными
свойствами системы, строим решения переопределенной системы ДУЧП.
В основе нелинейной акустики лежит уравнение (см., например, [3, 4])
?2u
L(u) = u00 ? c(x, u, u)?u = 0, x0 ? t, u ? u(x), (1)
u00 = ,
?x2
1 0

x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), u, u — совокупность всех производных 1-го и 2-го порядка,
1 2
? — оператор Лапласа, c(x, u, u) — произвольная гладкая функция.
1
Олвер и Розенау [4] построили семейства точных решений одномерного урав-
нения акустики вида
?2u
L(u) = u00 ? uu11 = 0, ?u ? u11 c(x, u, u) = u. (2)
= ,
?x2 1
1

Реализуем приведенный алгоритм для одномерного уравнения (2) и построим
в явном виде классы точных решений уравнения (2). Решения, полученные в [4],
входят в эти классы. Кроме того, многие наши результаты обобщаются на много-
мерные уравнения.
Определение. Пусть оператор первого порядка
? ?
Q = ? µ (x, u)?µ + ?(x, u)?u , (3)
?µ = , ?u = , µ = 0, 1, . . . , n
?xµ ?u
не принадлежит алгебре инвариантности уравнения (1). Будем говорить, что
уравнение (1) условно инвариантно относительно оператора Q, если его соо-
?
тветствующее продолжение Q удовлетворяет условию
?
QL(u, u, u) = ?0 L(u, u, u) + ?1 L1 (u, u, u), (4)
12 12 12

L1 (u, u, u) = 0, (5)
12

? (6)
QL1 = ?2 L + ?3 L1 ,
Доклады АН УССР, Сер. А, 1988, № 10, C. 27–31.
338 В.И. Фущич, Н.И. Серов

?0 , ?1 , ?2 , ?3 — некоторые функции от u, u, u.
1 2
Соотношение (5) представляет собой дополнительное условие к исходному урав-
нению (1), при котором уравнение (1) инвариантно относительно оператора Q.
Формула (6) выражает тот факт, что дополнительное уравнение (5) инвариантно
относительно оператора Q. Очевидно, что определение условий инвариантности
содержательное только в том случае, когда уравнения (1), (5) совместны. До-
полнительное условие (5) выделяет из всего множества решений уравнения (1)
некоторое подмножество, которое имеет более широкую симметрию, чем все мно-
жество решений.
В общем случае построить в явном виде оператор Q и уравнение (5) трудно. Эта
задача существенно упрощается, если в качестве условия (5) выбрать уравнение
(7)
Qu = 0.
В этом случае (4) имеет вид
? (8)
QL = ?0 L + ?1 (Qu).
Формула (8) дает конструктивный алгоритм для нахождения явного вида операто-
ра Q.
С помощью алгоритма С. Ли можно показать, что уравнение (1) не инвариантно
относительно преобразований Галилея. Выделим из множества решений уравнения
(1) подмножество, которое инвариантно относительно преобразований Галилея.
Теорема 1. Уравнение (1) условно инвариантно относительно операторов Га-
лилея
(9)
Ga = x0 ?a + mxa ?u , m = const,
если
x2
c(x, u, u) = F (v, ?v2 ) + (10)
, n = 3,
nx2
1 0

где F — произвольная гладкая функция, вектор v задается выражениями

(?u)2
mx 2
v2 = u ? (11)
v1 = x0 , , v3 = u0 + .
2x0 2m
Дополнительное условие (7) имеет вид
(12)
Ga u = 0.
Доказательство теоремы (1) опускаем, поскольку оно сводится к применению
хорошо известного (см., например, [5]) метода С. Ли к системе (1), (12).
Из уравнения (12) получаем анзац
m x2
(13)
u = ?(x0 ) + ,
2 x0
который редуцирует уравнение (1), (10) к обыкновенному дифференциальному
уравнению
x0 ?(x0 ) = nmF (x0 , ?, ?).
? ?
Условная инвариантность и решения нелинейного уравнения акустики 339

Остановимся теперь подробно на одномерном уравнении (2). Оператор Q ищем
в виде

(14)
Q = A(x)?0 + B(x)?1 + (a(x)u + b(x))?u ,

x = (x0 , x1 ), A, B, a, b — гладкие функции x.
Теорема 2. Уравнение (2) условно инвариантно относительно оператора (14),
если функции A, B, a, b удовлетворяют следующей системе уравнений.
Случай 1. A = 0, B = 0.
B B
a = 2 B1 ? A0 + A1 , b=2 B0 ,
A A
a a a b b
a00 + 2 a0 ? B0 = b11 ?
A00 + 2 A11 + 2 A1 ,
A A A A A
1 1
a a b b b
b00 = ?2 a0 +
a11 = A11 + 2 A1 , A00 + 2 B0 , (15)
A A A A A
1 1
B B a
B11 ? 2a1 ? A11 + 2 A1 + 2 A1 = 0,
A A A
1
B B B a
a0 ?
B00 + 2 A00 + 2 B0 + 2 B0 = 0.
A A A A
1

Индексы внизу означают соответствующую производную.
Случай 2. A = 0, B = 0. Не умаляя общности, можно положить B = 1.
b00 ? bb1 ? ab2 = 0,
a0 = 0, a11 + 3aa1 + a3 = 0,
(16)
b11 + ab1 + (3a1 + 2a2 )b = 0.
Случай 3. A = 1, B = 0.

a00 + aa0 ? a3 = b11 , b00 + a0 b ? a2 b = 0. (17)
a1 = 0, b(b0 + ab) = 0,

Доказательство теоремы основано на использовании формулы (8), ввиду гро-
моздкости его не приводим.
Для построения явного вида операторов Q необходимо решить системы уравне-
ний (15)–(17). В общем случае это не удается сделать, поскольку они представляют
собой нелинейную систему ДУЧП. Однако семейства частных решений системы
(15)–(17) удалось построить. Явный вид этих решений и соответствующие им ан-
зацы, которые редуцируют уравнение (2) к обыкновенному дифференциальному
уравнению, приведены в таблице, где приняты следующие обозначения: ai , bi —
произвольные постоянные, i = 1, 10; W (x0 ) — функция Вейерштрасa, т.е. решения
уравнения
?
W = W 2, (18)
W = W (x0 ),
340




Редуцированное
Анзац
Оператор Q
уравнение
u = ?(x0 ) + a1 x1 ? =0
?1 + a 1 ?u
u = ?(x1 ) + x0 (a2 x1 + a3 ) ? =0
?0 + (a2 x1 + a3 )?u
u = ?(?) + 2a4 x1 (? ? 2a4 ? ? a2 )? = a4 ?
?0 + (a4 x0 + a5 )?1 + 2a4 (a4 x0 + a5 )?u 5
1
u= W (x0 )x2 + f (x0 )x1 + ?(x0 ) ? = W?
?1 + [W (x0 )x1 + f (x0 )]?u 1
2

u = x0 ?(x1 ) ? (a7 x1 + a8 ) ? =0
x0 ?0 + (u + a7 x1 + a8 )?u
u = x?2 ?(x1 ) + 1 x3 (a9 x1 + a10 ) ? =6
x0 ?0 + [x3 (a9 x1 + a10 ) ? 2u]?u
0 0 50

u = x1 ?(x0 ) ? (b1 x0 + b2 ) ? =0
x1 ?1 + (u + b1 x0 + b2 )?u
1
u= W (x0 )x2 + ?(x0 )x1 + f (x0 ) ? = W?
x1 ?1 + u + 1 W (x0 )x2 ? f (x0 ) ?u
1 1
2 2
x0 +1
u = (x0 ? 1)? x ? =0
(x2 ? 1)?0 + 2x1 ?1 + (x0 + 1)u?u
0 x0 ?1 1

u = x3 ?(x1 ) + 3x?2 x2 ? 1 x?2 (b3 x1 + b4 ) ? =0
x3 ?0 + (3x2 u ? 15x2 + b3 x1 + b4 )?u
0 0 1 0 1
0 50

<< Предыдущая

стр. 79
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>