<< Предыдущая

стр. 8
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

антных подпространств пространства V для вполне приводимой подалгебры L ?
LO(p, q) с точностью до O(p, q)-сопряженности. Если V1 и V2 — подпространства
пространства V , то подпрямую сумму подпространств V1 и V2 будем обозначать
?
через V1 +V2 .
Предложение 8.1. Пусть L — вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ),
разложимая в подпрямое произведение L1 ? L2 подалгебр L1 ? LO(p1 , q1 ) и
LO(p2 , q2 ), первая из которых действует неприводимо на подпространстве
V1 = T1 , . . . , Tp1 +q1 , а вторая — на подпространстве V2 = T1 , . . . , Tp2 +q2 .
Если L-инвариантное подпространство N = V1 +V2 не разложимо в прямую
?
сумму V1 ? V2 , то разложение L = L1 ? L2 является тривиальным.
Доказательство. Если L содержит ненулевой элемент J1 ?J2 , где J1 ? L1 , J2 ? L2 ,
то нетрудно убедиться, что J1 = 0, J2 = 0. Следовательно, L ? L1 = L ? L2 = 0 и
потому существует изоморфизм f1 : L1 > L2 , определяемый следующим образом:
если J1 ? J2 ? L1 ? L2 , то f1 (J1 ) = J2 .
Поскольку N не разложимо в прямую сумму подпространств V1 и V2 , N ? V1 =
N ? V2 = 0, то существует изоморфизм f2 : V1 > V2 , определяемый следующим
образом: если X1 + X2 ? V1 +V2 , то f2 (X1 ) = X2 . Таким образом, базис инвариан-
?
тного подпространства N имеет вид: T1 +R1 , . . . , Tp1 +q1 +Rp1 +q1 , где R1 , . . . , Rp1 +q1
— базис пространства V2 . Отображение f2 : V1 > V2 является, очевидно, L-
изоморфизмом. Ввиду этого для произвольного элемента J = J1 ? J2 ? L матрица
линейного оператора ad J2 в базисе {R1 , . . . , Rp1 +q1 } совпадает с матрицей J1 .
Если C — матрица перехода от базиса {R1 , . . . , Rp1 +q1 } к базису {T1 , . . . , Tp1 +q1 },
то J2 = C ?1 J1 C и, значит, L2 = C ?1 L1 C. Ввиду теоремы 7.1 отсюда вытекает,
что
CJp2 ,q2 C T = ?Jp1 ,q1 . (8.1)
Докажем, что ? > 0. Действительно, пусть ? < 0. В силу закона инерции для
квадратичных форм из равенства (8.1) получаем, что p2 = q1 , q2 = p1 . Следова-
тельно, CJq1 ,p1 C T = ?Jp1 ,q1 . Тогда
T
1 1
v DC · Jq1 ,p1 v DC = Jq1 ,p1 ,
?? ??
где
? ?
0 ··· 1
D = ? · ··· · ?,
1 ··· 0
v
и потому v?? DC ? O(q1 , p1 ). Таким образом, C = ??DC1 , где C1 ? O(q1 , p1 ).
1

Следовательно, произвольный элемент J1 ? J2 ? L можно представить в виде
?1 ?1
J1 ?J2 = J1 ?C1 DJ1 C1 . Пусть ?1 — автоморфизм, определяемый матрицей E?C1 .
Автоморфизм ?1 отображает алгебру L на алгебру L = L1 ?DL1 D, а пространство
N = Ti + Ri на пространство N = Ti + Ci · Ri . Так как DCi · Ri = v?? Ti , то
1

Ti + C1 · Ri = Ti + v?? DTi . Следовательно, подпространство N = Ti + v?? DTi
1 1
32 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

инвариантно относительно алгебры L . Но тогда инвариантным относительно по-
далгебры L будет и подпространство N = Ti + DTi . Нетрудно убедиться, что
N — вполне изотропное подпространство, а это противоречит условию, что по-
далгебра L, а значит, и L , вполне приводима.
Таким образом, ? > 0, и в силу закона инерции для квадратичных форм из
равенства (8.1) получаем, что p1 = p2 , q1 = q2 и
1 1
v CJp1 ,q1 v C T = Jp1 ,q1 .
? ?
?1
? O(p1 , q1 ), C1 G1 C1 = G2 . Предложение доказано.
1
vC
Следовательно, C1 = ?
Теорема 8.1. Пусть L — вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ), L =
A1 ?· · ·?At — ее разложение в подпрямое произведение примарных множителей.
Подпространство N , инвариантное относительно подалгебры L, разлагается
в прямую сумму
N = N1 ? · · · ? N t ? N ,
где [Ai , Ni ] = Ni , [Ai , Nj ] = 0, если i = j, [L, N ] = 0.
Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по размерности N .
Рассмотрим вначале случай, когда N — неприводимое подпространство. Пусть
N — максимальное подпространство N , удовлетворяющее условию [L, N ] = 0.
Ввиду неприводимости N N = N или N = 0. Если N = N , то теорема доказа-
на. Поэтому будем предполагать, что N = 0. Обозначим через Sj максимальное
подпространство V , удовлетворяющее условию [Aj , Sj ] = 0, а через Sj — ортого-
нальное дополнение к Sj в пространстве V . Пространства Sj и Sj неизотропные и
V = Sj ?Sj . Пусть Nj — проекция N на Sj . Очевидно, N разложимо в подпрямую
сумму подпространств Nj , j = 1, . . . , t, т.е.
N = N1 + · · · +Nt .
? ? (8.2)
Докажем, что среди Ni только одно отлично от нуля. Действительно, пусть Ai =
Li1 ?· · ·?Lisi — разложение Ai в подпрямое произведение неприводимых подалгебр.
Как и выше, нетрудно убедиться, что Ni разложимо в подпрямую сумму Ni =
Ni1 + · · · +Nisi неприводимых подпространств Ni1 , . . . , Nisi .
? ?
Рассмотрим произвольный элемент X ? N , отличный от нуля, и пусть X =
X1 + · · · + Xt , где Xi ? Ni . Предположим, что в разложении (8.2) N1 = 0, N2 = 0.
При этом предположении X1 = 0, X2 = 0. В самом деле, если, например, X1 = 0,
то L-подпространство, порожденное X, отлично от N , поскольку его проекция на
N1 равна нулю. А это противоречит предположению о неприводимости N .
Пусть далее X1 = X11 + · · · + X1s1 , X1i ? N1i , X2 = X21 + · · · + X2s2 , X2i ? N2i .
Можно предполагать, что X11 = 0, X21 = 0. Так как разложение L11 ? L21 не
является тривиальным разложением, то в силу предложения 8.1 проекция N на
подпространстве N11 ? N21 совпадает с N11 ? N21 . Следовательно, N содержит
ненулевой элемент Y , проекция которого на подпространство N11 равна нулю.
Но тогда L-подпространство, порожденное Y , отлично от N , что противоречит
предположению о неприводимости N . Полученное противоречие доказывает, что
N = Ni для некоторого i ? {1, . . . , t}. Тем самым теорема справедлива в случае,
если N неприводимо.
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 33

Пусть N — приводимо, тогда N = M1 ? M2 , dim Mi < dim N . В силу инду-
ктивного предположения
(1) (t) (1) (t)
? · · · ? M1 ? M1 , ? · · · M2 ? M2 ,
M 1 = M1 M2 = M2
(i) (i) (i) (i) (j) (j)
где [Ai , M1 ] = M1 , [Ai , M2 ] = M2 , [Ai , M1 ] = 0, [Ai , M2 ] = 0, если i = j,
(i) (i)
[Ai , M1 ] = 0, [Ai , M2 ] = 0. Но тогда, положив Ni = M1 ? M2 , N = M1 ? M2 ,
получим, что N = N1 ? · · · ? Nt ? N . Теорема доказана.
Теорема 8.2. Пусть L — вполне приводимая подалгебра алгебры LO(V ), L =
A1 ? · · · ? At — ее разложение в подпрямое произведение примарных подалгебр.
Подпространство N , инвариантное относительно алгебры L, разлагается в
прямую сумму
N = N1 ? · · · ? N t ? N ,
где [Ai , Ni ] = Ni , [Ai , Nj ] = 0, если i = j, [L, N ] = 0. Если примарная ал-
гебра A является подпрямым произведением неприводимых подалгебр алгебр
LO(V1 ), . . . , LO(Vq ), то относительно O(V )-сопряженности ненулевые подпро-
странства W пространства V со свойством [A, W ] = W исчерпываются про-
странствами V1 , . . . , V1 ? · · · ? Vq .
Доказательство. В силу теоремы 8.1 достаточно изучить структуру пространства
W , удовлетворяющего условию [L, W ] = W , где L — примарная подалгебра. Пусть
L разложима в подпрямое произведение двух неприводимых подалгебр L1 и L.
Поскольку L1 и L2 — неприводимы, то проекция W на каждое из подпространств
V1 и V2 либо равна нулю, либо совпадает с соответствующим подпространством
Vi . Предположим, что W не разлагается в прямую сумму подпространств V1 и
V2 . Если {T1 , . . . , Tp1 +q1 } — базис подпространства V1 , {T1 , . . . , Tp1 +q1 } — базис
подпространства V2 , то, как было установлено при доказательстве предложения
8.1, можно считать при этом, что базис подпространства W имеет вид {T1 +
?T1 , . . . , Tp1 +q1 + ?Tp1 +q1 }, а подалгебра L равна L1 ? L1 . Пусть
1 E ?E
C=v .
?E
?E
1 + ?2
Так как
Jp1 ,q1 0 Jp1 ,q1 0
CT =
C ,
0 Jp1 ,q1 0 Jp1 ,q1
то матрица C определяет некоторую изометрию ? пространства V1 ? V2 . Пусть
J1 ?J1 — произвольный элемент алгебры L. В базисе {T1 , . . . , Tp1 +q1 , T1 , . . . , Tp1 +q1 }
оператору ad (J1 ? J1 ) соответствует матрица
J1 0
.
0 J1
Нетрудно убедиться, что C ?1 LC = L и ?(Ti + ?Ti ) = Ti , i = 1, . . . , p1 + q1 .
Таким образом, автоморфизм ?, определяемый матрицей C, действует на алгебре
L = L1 ? L1 тождественно, а пространство N отображает на пространство V1 .
Тем самым утверждение теоремы справедливо для примарной подалгебры, которая
разлагается в подпрямое произведение двух неприводимых подалгебр.
34 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Пусть далее L = L1 ? · · · ? Ls и s ? 3. Доказательство будем проводить инду-
кцией по числу s. Обозначим через Wij проекцию W на подпространство Vi ? Vj .
Предположим, что для некоторых i и j Wij не распадается в прямую сумму своих
проекций Wi и Wj на Vi и Vj . При этом предположении Wi = Vi , Wj = Vj ,
?
Wij = Vi +Vj , и а силу предыдущего результата для случая s = 2 существу-
ет автоморфизм ? алгебры JO(V ), действующий на алгебре L тождественно и
отображавший подпространство Wij на подпространство Vi . Следовательно, W со-
пряжено подпространству M , обладающему тем свойством, что Mij для любых i
и j распадается в прямую сумму своих проекций на подпространства Vi и Vj .
Допустим, не нарушая общности, что Ms?1 = 0. Значит, Ms?1 = Vs?1 . Так как
Ms?1,s распадается в прямую сумму проекций Ms?1 = Vs?1 и Ms , то M содержит
подпространство P = P1 + · · · +Ps?2 +Vs?1 . Обозначим через N L-подпространст-
? ? ?
во, порожденное P . Поскольку Ns = 0, то N инвариантно относительно алгебры
?
Ls = L1 ? · · · ? Ls?1 . В силу индуктивного предположения существует автоморфизм
? алгебры JO(V ), действующий на алгебре L тождественно и отображающий под-
пространство N на V1 ? · · · ? Vq , где q ? s ? 1. Следовательно, M сопряжено
подпространству M , содержащему V1 ? · · · ? Vq . Отсюда вытекает, что подпро-
странство Mq+1 + · · · +Ms ? M инвариантно относительно алгебры L, а значит, и
? ?
алгебры L = Lq+1 ?· · ·?Ls . По индуктивному предположению существует автомор-
физм ? алгебры JO(V ), действующий на алгебре L и подпространстве V1 ?· · ·?Vq
тождественно и отображающий пространство Mq+1 + · · · +Ms на Vq+1 ? · · · ? Vt ,
? ?
где t ? s. Следовательно, W сопряжено V1 ? · · · ? Vt . Теорема доказана.

1. Рatera J., Winternitz P., Zаssenhasu H., The maximal solvable subgroups of the groups and all
subgroups of SU (2, 1), J. Math. Phys., 1974, 15, 1378–1393.
2. Рatera J., Winternitz P., Zаssenhasu H., The maximal solvable subgroups of SO(p, q) groups, J.
Math. Phys., 1974, 15, 1932–1938.
3. Рatera J., Winternitz P., Zаssenhasu H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincare group, J. Math. Phys., 1975, 16, 1597–1614.
4. Рatera J., Winternitz P., Zаssenhasu H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
II. The similitude group, J. Math. Phys., 1975, 16, 1615–1624.
5. Рatera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zаssenhasu H., Continuous subgroups of the fundamental
groups of physics. III. The de Sitter groups, J. Math. Phys., 1977, 18, 2259–2288.
6. Баранник A.Ф., Баранник Л.Ф., Москаленко Ю.Д., Непрерывные подгруппы группы Евклида
четырехмерного пространства, в кн. Теоретико-алгебраические методы в задачах математиче-
ской физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, 119–123.
7. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Галилея. I, Препринт 85.19, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 46 с.
?
8. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n),
Препринт 85.90, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 50 с.
9. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре P (2, n),
Препринт 85.89, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 52 с.
10. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Евклида, Укр. мат. журн., 1986, № 1, 67–72.
11. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, М., Наука, 1967, 575 с.
12. Джекобсон Н., Алгебры Ли, М., Мир, 1964, 355 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 35–40.

О непрерывных подгруппах обобщенной
группы Пуанкаре P (1, n)
Л.Ф. БАРАННИК, А.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ

1. Введение
Описание подгрупповой структуры обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) необ-
ходимо для решения ряда задач теоретической и математической физики: изуче-
ние физических систем с переменной массой и спином [1–3], построение точных
частных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений [4], реду-
кция представлений группы P (1, n) на ее подгруппы [5].
Систематическое изучение непрерывных подгрупп неоднородных групп пре-
образований квантовой механики начато в работе [6], в которой предложен об-
щий метод классификации относительно определенной сопряженности подалгебр
конечномерной алгебры Ли L с нетривиальным абелевым идеалом N , являющим-
?
ся полупрямым слагаемым: L = N + L1 . Этим методом проведена классификация
подалгебр алгебр Ли групп Пуанкаре P (1, 3) [6], P (1, 4) [7, 8] и групп Евклида
E(3) [9], E(4) [10]. В силу чрезвычайной общности метод не всегда эффективно
реализуется.
В настоящей работе для случая группы P (1, n) дается дальнейшее развитие ме-
тода Патеры–Винтернитца–Цассенхауза [6], позволяющее свести проблему клас-
сификации относительно P (1, n)-сопряженности подалгебр алгебры Пуанкаре к
описанию относительно O(1, k)-сопряженности неприводимых подалгебр алгебры
AO(1, k) и к описанию относительно O(k)-сопряженности неприводимых подал-
гебр алгебры AO(k) (k = 2, . . . , n).

2. Максимальные подалгебры
Пусть R — поле вещественных чисел; X1 , . . . , Xs — векторное пространство
или алгебра Ли над R с образующими X1 , . . . , Xs ; Rn+1 — n + 1-мерное арифмети-
ческое векторное пространство над R; U = U n+1 — n + 1-мерное псевдоевклидово
пространство со скалярным произведением

(X, Y ) = x0 y0 ? x1 y1 ? · · · ? xn yn ; (1)

O(1, n) — группа линейных преобразований U n+1 , сохраняющих (X, X) для ка-
ждого X ? U n+1 . Будем предполагать, что O(1, n) реализована в виде веществен-
ных матриц порядка n + 1.
Группой Пуанкаре P (1, n) называется мультипликативная группа матриц

? Y
,
0 1

где ? ? O(1, n), Y ? Rn+1 .
Труды третьего международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Юрмала, 22–24
мая 1985 г., Москва, Наука, 1986, С. 169–176.
36 Л.Ф. Баранник, А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Через AG обозначим алгебру Ли группы Ли G.
Алгебра Пуанкаре AP (1, n) определяется такими коммутационными соотноше-
ниями:
[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
(2)
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , J?? = ?J?? , [P? , P? ] = 0,
где g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = 1, g?? = 0 при ? = ? (?, ? = 0, 1, . . . , n).
Генераторы поворотов J?? порождают алгебру AO(1, n), а генераторы трансля-

<< Предыдущая

стр. 8
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>