<< Предыдущая

стр. 80
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u = x1 ?(x0 ) + 3x?2 x2 ? b5 x2 ? b6 x?2 x2 ? = 64
x2 x1 ?1 + (x2 u + 3x2 + b5 x5 + b6 )?u
0 0 1 0 1 0 0
0 0

u = W (x0 )?(x1 ) ? =1
W (x0 )?0 + W (x0 )u?u
x21
u = F (x0 )?(x1 ) + + b7 x 1 + b8 F (x0 ) F ?2 (x0 )dx0 ? = b9
F (x0 )?0 + F (x0 )u + 1 x2 + b7 x1 + b8 ?u
21 2
В.И. Фущич, Н.И. Серов
Условная инвариантность и решения нелинейного уравнения акустики 341

f (x0 ) — решение уравнения Ламе
? (19)
f = W f,

F (x0 ) — решение уравнения

F ?2 (x0 )dx0 + b9 ,
?
F = F2 (20)

? — неизвестная функция, подлежащая определению,
1
a4 x2 + a5 x0 ? x1 .
?= 0
4
Проинтегрировав редуцированные уравнения (см. колонку 4 таблицы) и подста-
вив эти решения в соответствующие анзацы, получаем следующие классы точных
решений нелинейного уравнения акустики (2):

u = P1 (x0 )Q1 (x1 ), u = x?2 3x2 + Q1 (x1 ) + x3 R1 (x1 ),
1 0
0
1
u = W (x0 )x2 + f ?1 (x0 )x1 + f 2 (x0 ),
1
2
(21)
u = ?(?) + a4 x0 (a4 x0 + 2a5 ),

F ?2 (x0 )dx0 F (x0 ),
u= P2 (x1 ) + Q2 (x1 )

где Pk (x), Qk (x), Rk (x) — произвольные многочлены степени k (k = 1, 2), f k (x0 )
— решения уравнения Ламе (19), ?(?) и ? приведены в строке 3 таблицы.
В том частном случае, когда a4 = 2, a5 = 0, оператор Q3 (см. строку 3 таблицы)
совпадает с оператором работы [4].
Все результаты, полученные выше для одномерного уравнения (2), обобщаются
на многомерное нелинейное уравнение акустики.

1. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
2. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в Симметрия и решения
нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987, 4–6.
3. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, New York, Academic Press,
1965, 495 p.
4. Olver P.J., Rosenau P., The construction of special solutions to partial differential equations, Physics
Letters A, 1986, 114, № 3, 107–112.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1987, 400 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 342–345.

Об условной инвариантности нелинейных
уравнений Даламбера, Лиувилля,
Борна–Инфельда, Монжа–Ампера
относительно конформной алгебры
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ
Показано, что уравнения Даламбера, Лиувилля, Борна–Инфельда, Монжа–Ампера
условно инвариантны относительно конформной алгебры. Приведены некоторые
конформно-инвариантные решения этих уравнений.

Раcсмотрим нелинейное уравнения Даламбера

2u + ?1 uk = 0, (1)

Лиувилля

2u + ?2 exp u = 0, (2)

Борна–Инфельда

(1 ? u? u? )2u + uµ? u? uµ = 0, (3)

Монжа–Ампера

|uµ? | = 0, (4)

где u ? u(x) ? R1 , x = (x0 , x) ? Rn+1 , uµ = ?u/?xµ , uµ = g µ? u? , uµ? =
? 2 u/?xµ ?x? , g µ? — метрический тензор пространства Rn+1 с сигнатурой (+, ?,
. . . , ?), |uµ? | — определитель, составленный из вторых производных функции u;
µ, ? = 0, n, по повторяющимся индексам предполагается суммирование, ?1 , ?2 ,
k — постоянные.
Рассмотрим также конформную алгебру C(1, n + 1), базисные операторы кото-
рой имеют вид
?
Pa = g AB ?B ? g AB , JAB = xA PB ? xB PA , D = xA PA ,
?xB (5)
KA = 2xA D ? xB xB Pa , A, B = 0, n + 1,
и ее подалгебру
Pµ = g µ? ?? , Jµ? = xµ P? ? x? Pµ , D = xA PA ,
(6)
Kµ = 2xµ D ? xB xB Pµ , µ, ? = 0, n,

где g AB — метрический тензор пространства R1+n+1 с сигнатурой (+, ?, . . . , ?).
Симметрийный анализ и решения уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1988, C. 98–102.
Об условной инвариантности нелинейных уравнений 343

n+3
Известно (см. [1–3]), что только при k = n?1 (n = 1) уравнение (1) инвариан-
тно относительно конформной алгебры, а уравнения (2)–(4) конформно неинвари-
антны.
В настоящей работе показано, что уравнения (1)–(4) условно инвариантны (по-
нятие условной инвариантноти см. [4]) относительно конформной алгебры (5) или
(6). Получены некоторые конформно-инвариантные решения этих уравнений.
Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно конформной алгебры (6)
при условии:

u? u? = ?2 uk+1 ,
3
(7)
n+3
?2 = 2?1 [n(k ? 1) ? k ? 1]?1 , k = 1, ,
n?1
3


причем в формулах (6) xn+1 = 2u(1?k)/2 /?3 (1 ? k).
Доказательство. Нам необходимо доказать, что

X (2u + ?1 uk ) = ?1 (2u + ?1 uk ) + ?2 (u? u? ? ?2 uk+1 ),
3
2
(8)
X (u? u? ? ?2 uk+1 ) = ?3 (u? u? ? ?2 uk+1 ),
3 3
1

где ?1 , ?2 , ?3 — некоторые функции, X — инфинитизимальный оператор алге-
бры (6). X и X — первое и второе продолжения оператора X.
1 2
Согласно определению (см. [5]) инфинитизимальный оператор алгебры (6) име-
ет вид

X = ? µ (x, u)?µ + ?(x, u)?u , (9)

где

4u1?k
? µ (x, u) = 2xµ b? x? ? bµ x? x? ? + c00 xµ + cµ? x? + dµ ,
?2 (1 ? k)2 (10)
3

?(x, u) = 2(2b? x? + c00 )u/(1 ? k),

bµ , c00 , cµ? = ?c?µ , dµ — параметры, xµ = g µ? x? , µ, ? = 0, n.
Первое и второе продолжения оператора X строятся по следующим формулам:

?
µ
(11)
X =X +? ,
?uµ
1

где

4u?k k+1
2 (k ? 1) (b? u? uµ ? ?3 b u (2b? x? + c00 uµ ) ?
?µ = 2 µ k+1
)+2
k?1
?3
? (2bµ x? ? 2b? xµ + cµ? )u? ;

?
µ?
(12)
X =X +? ,
?uµ?
2 1
344 В.И. Фущич, Н.И. Серов

где
4u?k b?
1+k 2k
?
µ? ?
? =2 (bµ u? + b? uµ ) + (2b? x + c00 )uµ? + 2
1?k 1?k ?3 (k ? 1)
2u?k?1
? (uµ u?? + u? uµ? ) + 2 (k ? 1) b? u? [2uµ? ? 2kuµ u? + (k ? 1)?3 u g ]?
2 k+1 µ?
?3
? (2b? x? ? 2b? x? + c?? )uµ? ? (2b? xµ ? 2bµ x? + c?µ )u?? .
Искользуя формулы (9)–(12), убеждаемся в выполнении условий (8). Теорема
доказана.
Теорема 2. Уравнение Лиувилля (2) инвариантно относительно конформной
алгебры (6) при условии
2?2
u? u? = (13)
exp u (n = 1),
n?1
2(n?1)
причем в формулах (6) xn+1 = ?2 exp u .
Теорема 3. Уравнение 2u = F (u) инвариантно относительно конформной алге-
бры (6) при условии u? u? = G(u), причем F (u) = n/?? ?? /(? )3 , G(u) = (? )?2
в формулах (6) xn+1 = ?, ? = ?(u) — произвольная дифференцируемая фун-
кция.
Замечание 1. Система уравнений
2u = n/?(u)? (u) ? ? (u)/[? (u)]3 ,
u? u? = [? (u)]?2 ,
заменой w = ?(u) приводится к виду
2w = n/w,
(14)
w? w? = 1.
Конформная вариантность системы уравнений (14) установлена в работе [6].
Теорема 4. Уравнения Борна–Инфельда (3) и Монжа–Ампера (4) инвариантны
относительно конформной алгебры (5) при условии
u? u? = 1, (15)
причем в формулах (5) xn+1 = u.
Теоремы 2–4 доказываются аналогично теореме 1.
Замечание 2. Уравнения Борна–Инфельда (3) и Монжа–Ампера (4) являются
дифференциальными следствиями уравнения эйконала (15). Для уравнения (4)
этот факт доказан в [6], а для уравнения (3) следует из формулы
1
(1 ? u? u? )2u + uµ u? uµ? = 2u ? uµ ?µ (1 ? u? u? ).
2
В силу замечания 2 такими решениями для уравнений (3) и (4) будут кон-
формно инвариантные решения уравнения эйконала (15). Например, используя
инварианты конформной алгебры (5), получаем следующий анзац
x? x? ? ?? x? ?(?). (16)
xn+1 =
Об условной инвариантности нелинейных уравнений 345

Из (16) получается точное решение системы ДУЧП (14) вида
v
xn+1 ? w = x? x? + ?? x? , ?? ? ? = 0.


1. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
2. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и некоторые точные решения уравнения Монжа–Ампера,
Докл. АН СССР, 1983, 273, № 3, 679–682.
3. Фущич В.И., Серов Н.И., О некоторых точных решениях многомерного нелинейного уравнения
Эйлера–Лагранжа, Докл. АН СССР, 1984, 278, № 4, 847–851.
4. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в Симметрия и решения
нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987, 4–16.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференпиальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
6. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some exact solutions of nonlinear d’Alembert and Hamilton
equations, Preprint Institute for Mathematics and Applications, University of Minnesota, 1988, 5 p.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 346–349.

Умовна iнварiантнiсть та нелiнiйнi рiвняння
теплопровiдностi
В.I. ФУЩИЧ, М.I. СЄРОВ, В.I. ЧОПИК
А соncept on the conditional invariance is introduced. It is proved that nonlinear heat
conduction equation does not contradict the Galilean relativity principle, provided that
its solutions satisfy the Hamilton–Jacobi equation.

Прийнято вважати, що нелiнiйнi процеси тепломасопереносу описуються рiв-
нянням
? ?u
u ? u(x0 , x1 , x2 , x3 ),
u0 + c(u) = 0,
?xa ?xa
(1)

<< Предыдущая

стр. 80
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>