<< Предыдущая

стр. 81
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
u0 ? x0 ? t, c(u) = const,
, a = 1, 2, 3,
?x0
В [1] звернено увагу на те, що серед множини нелiнiйних рiвнянь (1) не iснує
нi одного рiвняння, для якого виконувався б принцип вiдносностi Галiлея, тобто
рiвняння (1) не iнварiантне вiдносно операторiв Галiлея
? ?
(2)
Ga = x0 + xa u , a = 1, 2, 3.
?xa ?u
Лiнiйне рiвняння (1) (випадок c(u) = const) iнварiантне вiдносно операторiв (2),
якi породжують перетворення Галiлея
(3)
xa = xa + va t,
va — швидкiсть iнерцiйної системи вiдлiку K , що рухається вiдносно системи K
зi швидкiстю va .
Iз сказаного випливає [2], що або рiвняння (1) непридатне для описування
нелiнiйних процесiв теплопровiдностi i його необхiдно замiнити iншим, або з мно-
жини розв’язкiв (1) потрiбно видiлити таку пiдмножину, яка була б iнварiантною
вiдносно перетворень Галiлея.
Нижче реалiзуємо другу можливiсть, тобто покажемо, що якщо до рiвняння (1)
дописати певну додаткову умову, то (1) разом з додатковим рiвнянням, iнварiантне
вiдносно операторiв типу (2).
Розглянемо диференцiйне рiвняння в частинних похiдних (ДРЧП)
x ? R(n + 1),
L(x, u, u, u, . . . , u) = 0,
n
12
(4)
?2u ?2u ?2u
?u ?u ?u
u? u?
, ,..., , , ,..., , ...
?x0 ?x1 ?xn ?x0 ?x0 ?x0 ?x1 ?xn ?xn
1 2

Означення 1 (С. Лi). Рiвняння (4) iнварiантне вiдносно операторiв
? ?
(5)
X = ?µ (x, u) + ?(x, u) , µ = 0, 1, . . . , n,
?xµ ?u
Доповiдi АН УРСР, Сер. А, 1988, № 9, C. 17–20.
Умовна iнварiантнiсть та нелiнiйнi рiвняння теплопровiдностi 347

якщо
? ?
або XL = ?(x, u, u, . . . , u)L,
XL = 0,
n
1
L=0

?
де X — вiдповiдне продовження оператора X, ? — довiльна неперервно-дифе-
ренцiйовна функцiя.
Нехай деякий оператор Q не належить алгебрi iнварiантностi рiвняння (4) i
його продовження задається формулою
? (6)
QL = ?0 L + ?1 L,
? (7)
QL1 = ?2 L + ?3 L1 ,

L1 ? L1 (x, u, u, . . . , u) = 0, (8)
n
1

?0 , ?1 , ?2 , ?3 — довiльнi неперервно-диференцiйовнi функцiї.
Означення 2. Будемо казати, що рiвняння (4) умовно iнварiантне, якщо воно
разом з рiвнянням (8) iнварiантне вiдносно оператора Q, тобто виконуються
умови (6), (7).
Додаткова умова (рiвняння) видiляє iз всiєї множини розв’язкiв такi пiдмножи-
ни, якi мають бiльш широку симетрiю, нiж вся множина розв’язкiв рiвняння (4).
Означення 3 [3]. Рiвняння (4) назвемо Q-iнварiантним, якщо
? (9)
QL = ?0 L + ?1 (Qu).
Зрозумiло, що (9) це бiльш сильна умова, нiж (7). В [3] умова (9) використана
для побудови точних розв’язкiв деяких нелiнiйних хвильових рiвнянь.
Теорема 1. Рiвняння (1) умовно iнварiантне вiдносно операторiв
? ?
(10)
Ga = x0 + M (u)xa ,
?xa ?u
якщо (8) має вигляд
1 ?u ?u
u0 + M ?1 (u) (11)
= 0,
2 ?xa ?xa
1 ?1
(12)
M (u) = uc (u).
2
Для доведення теореми необхiдно побудувати друге продовження оператора
(10) i використати формулу (7). Звiдси одержимо, що рiвняння (1) буде умовно
iнварiантним, якщо рiвняння (8) має вигляд (11), (12).
Для завершення доведення залишилося перевiрити, що рiвняння (11) iнварiан-
тне вiдносно операторiв Ga , тобто
1
Ga u0 + M ?1 (u)(?u)2
? (13)
= 0.
2
У справедливостi (13) легко пересвiдчитись нескладними пiдрахунками. Таким
чином теорему доведено.
348 В.I. Фущич, М.I. Сєров, В.I. Чопик

Теорема 2. Рiвняння (1) Q-iнварiантне, якщо
1 ?1 r
M (u) = 2mr?n?2 u1?r , (14)
c(u) = m u,
2
де n — число просторових змiнних (1), m = 0, r = ?2n?1 — довiльнi постiйнi.
Наслiдок 1. Принцип вiдносностi Галiлея виконується для такої перевизначної
системи:
? ?u
u0 + c(u) = 0,
?xa ?xa
(15)
1 ?u ?u
u0 + M ?1 (u) = 0,
2 ?xa ?xa
де M (u) визначається за формулою (12).
Зауваження 1. Система (15) замiною
c(u)
(16)
W = 2m du
u
зводиться до системи рiвнянь Лапласа i Гамiльтона–Якобi
?W = 0,
(17)
(?W )2
W0 + = 0.
2m
Теорема 3. Максимальною (у розумiннi С. Лi) алгеброю iнварiантностi рiвня-
ння (17) є розширена алгебра Галiлея G1 (1, n + 1) з базисними операторами
? ? ?
Iab = xa Pb ? xb Pa ,
P0 = , Pa = , Pn+1 = ,
?x0 ?xa ?W
(18)
D1 = 2x0 P0 + xa Pa , D2 = 2W Pn+1 + xa Pa ,
G1 = xa Pa + mxa Pn+1 , G2 = W Pa + mxa P0 .
a a

Всi наведенi теореми доводяться стандартним методом Лi.
Теорема 4. Рiвняння (1) умовно iнварiантне вiдносно операторiв
? ?
G2 = u (19)
+ mxa .
a
?xa ?x0
Умова (8) має вигляд
1 ?u ?u
(20)
u0 + = 0.
2m ?xa ?xa
Доведення. Побудуємо друге продовження операторiв (19) i подiємо ним на (1).
Одержимо
? ?u ?u ? ?u
?a =? ?
G2 u0 + c(u) u0 + c(u)
?xa ?xa ?xa ?xa ?xa
(21)
2c (u) ?u 1 ?u ?u 1 ?u ?u
? ? 2mc(u) u0 +
u0 + .
m ?xa 2m ?xa ?xa 2m ?xa ?xa
Умовна iнварiантнiсть та нелiнiйнi рiвняння теплопровiдностi 349

Iз iнварiантностi рiвняння Гамiльтона–Якобi вiдносно G2 i (21) випливає спра-
a
ведливiсть теореми.
Наслiдок 2. Оператори G2 породжують такi скiнченнi перетворення:
a
m2
x0 = ? u + m?a ?a + x0 ,
2
(22)
xa = ?a u + xa ,
u = u, ? 2 = ?a ?a , ?a — груповий параметр.
Вiдзначимо, що перетворення (22) одержуються iз стандартних перетворень
Галiлея замiною u > x0 , x0 > u.
Теорема 5. Система рiвнянь
? ?u
u0 + c(u) = 0,
?xa ?xa
1 ?u ?u
u0 + = 0,
2m ?xa ?xa
при c(u) = {(2n + n)m}?1 u iнварiантна вiдносно алгебри Лi з базовими опера-
торами:
? ?
, Iab = xa Pb ? xb Pa , D1 = 2x0 P0 + xa Pa ,
P0 = , Pa =
?x0 ?xa
? ? m
D2 = 2u + xa Pa , G2 = uPa + mxa P0 , A = u2 + uxa Pa + x2 P0 ,
a
?u ?u 2
x0 u 1 2 ?
? x Pa + xa u , a, b = 1, 2, . . . , n,
Ka = xa x0 P0 + xa xb Pb +
m 2 ?u
n
2
x2 .
x= i
i=1

Доведення теореми проводиться методом Лi.

1. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математи-
ческой физики, в Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
2. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в Симметрия и решения
нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987, 4–16.
3. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On a reduction and solutions of nonlinear wave equation with broken
symmetry, J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, № 2, L45–L48.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 350–355.

О симметрийных свойствах комплексно-
значных нелинейных волновых уравнений
В.И. ФУЩИЧ, И.А. ЕГОРЧЕНКО

1. В квантовой теории для описания заряженного скалярного поля [1] широ-
ко используется уравнение Даламбера для комплексной функции. В настоящей
работе исследованы симметрийные свойства нелинейного волнового уравнения
2u + F (u, u? , u? , u? ) = 0,
?
(1)
2u + F (u, u , u? , u? ) = 0
? ? ?
?

и его обобщения
L(u, u? , u? , u? , u?? , u? ) = g µ? (u, u? , u? , u? )uµ? +
? ?
??
+ g µ? (u, u? , u? , u? )u? + b(u, u? , u? , u? ) = 0, (2)
? ? µ? ?
L? (u, u? , u? , u? , u?? , u? ) = 0.
? ??

Здесь u = u(x) — комплексная функция действительного переменного x = (x0 , x1 ,
. . . , xn ); звездочка означает комплексное сопряжение. Латинские индексы изменя-
ются от 1 до n, греческие — от 0 до n. По повторяющимся индексам подразуме-
вается суммирование, например, uµ uµ = u2 ? u2 ? · · · ? u2 . Все рассматриваемые
n
0 1
функции будем считать дифференцируемыми необходимое число раз:
?2u
?u
u? ? uµ? ?
, .
?x? ?xµ ?x?
Далее будут описаны уравнения (1) и (2), инвариантные относительно есте-
ственных решений алгебры Пуанкаре AP (1, n) с базисными операторами вида

A = AP (1, n) :
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , pµ ? igµ? (3)
P µ = pµ , ,
?x?
gµ? = diag (1, ?1, . . . , ?1).
В качестве расширений будут рассмотрены алгебры с такими базисными опе-
раторами:

A1 = A ? Q, (4)

где Q — оператор заряда,

<< Предыдущая

стр. 81
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>