<< Предыдущая

стр. 82
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ?
Q = u? pu ? upu? , pu = ?i pu? = ?i
, ;
?u?
?u
? ?
и (5)
A2 = A+ D A3 = A1 + D1 ,
Доклады Академии наук СССР, 1988, 298, № 2, C. 347–351.
О симметрийных свойствах комплекснозначных волновых уравнений 351

где оператор дилатации имеет вид

D1 = xµ pµ ? ?(upu + u? pu? ) (6)

или

D2 = xµ pµ ? ?(pu + pu? ); (7)

A4 = A2 + {Kµ },
? ? (8)
A5 = A1 + Q,

где Kµ — операторы, порождающие конформные преобразования:

Kµ = 2xµ D1 ? x? x? pµ , (9)

? — произвольный параметр.
Для описания уравнений (1), (2), инвариантных относительно алгебр A, A1 ,
. . . , A5 , нам необходимо иметь явные выражения для инвариантов этих алгебр.
2. Инварианты алгебр A, A1 , . . . , A5 . Как хорошо известно [2, 3], дифферен-
циальные инварианты нулевого и первого порядка алгебры Ли есть функционально
независимые решения системы
1
? ?
(10)
X i ?(u, u , u? , u? ) = 0,
1
где X i — первые продолжения по Ли базисных операторов соответствующей ал-
гебры. Для отыскания квазилинейных дифференциальных инвариантов второго
порядка необходимо найти все линейно независимые решения уравнения
2
? ? ?
(11)
X i W (u, u , u? , u? , u?? , u?? ) = 0,

W (u, u? , u? , u? , u?? , u? ) = g µ? (u, u? , u? , u? )uµ? +
? ?
??
(12)
+ g µ? (u, u? , u? , u? )u? + b(u, u? , u? , u? ),
? ? µ? ?

2
X i — второе продолжение по Ли базисных операторов.
Воспользовавшись явным видом базисных операторов алгебр A, A1 , . . . , A5 , мо-
жно решить систему (10). Не вдаваясь в детали решения, приведем явный вид
инвариантов:

A : u, u? , r1 = u? u? , r2 = u? u? , r3 = u? u? ; (13)
? ??

A1 : u2 + u?2 , r1 + r3 , r2 ? r1 r3 , ? = r1 u?2 ? 2r2 uu? + r3 u2 ;
2
(14)
?
u r1 r3 r1
?
A2 = A+ D1 : , , , 2(??1) ;
u? r2 r2 u (15)
r1 r3
A2 = A+ D2 : u ? u? ,
?/2
? , exp u · r1 ;
,
r2 r2

r2 ? r1 r3
(r1 + r3 )? ?
,2 (16)
A3 : , ;
(u2 + u?2 )??1 (r1 + r3 )2 (u2 + u?2 )(r1 + r3 )
352 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

r1 r3
A4 (? = 0) : u, u? , , ;
r2 r2
(17)
u ?
A4 (? = 0) : , ;
u? u 4?2/?

r2 ? r1 r3
2
?
?2
2
A5 (? = 0) : u + u , , ;
(r1 + r3 )2 r1 + r3 (18)
A5 (? = 0) : ?(u2 + u?2 )1/??2 .

Решая систему уравнений второго порядка (11), получаем базис квазилинейных
инвариантов второго порядка:
2u, R1 = u? u? u?? , R2 = u? u? u?? , R3 = u? u? u?? ,
A: ??
?
(19)
2u? , R4 = u? u? u? , R5 = u? u? u? , R6 = u? u? u? ;
? ? ??
?? ? ??

= u2u + u? 2u? , H2 = i(u2u? ? u? 2u),
A1 : H1
H3 = B1 (?R1 + R3 + 2R5 ) + B2 (?R6 + R4 + 2R2 ),
= i[B2 (?R1 + R3 + 2R5 ) ? B1 (?R6 + R4 + 2R2 )], (20)
H4
= u(R1 + R3 ) + u? (R4 + R6 ), H6 = i[u(R4 + R6 ) ? u? (R1 + R3 )],
H5
= u(R3 ? R5 ) + u? (R4 ? R2 ), H8 = i[u(R4 ? R2 ) ? u? (R3 ? R5 )],
H7

здесь B1 = u3 ? 3u?2 u, B2 = B1 ;
?


u2u u? 2u? uRi
A2 : , , 2 , i = 1, . . . , 6;
r3
r1 r2
H1 H2 H3 H4
(21)
A3 : , , , ,
r1 + r3 r1 + r3 (u2 + u?2 )(r1 + r3 )2 (u2 + u?2 )(r1 + r3 )2
Hi
, i = 5, . . . , 8;
(r1 + r3 )2
1 1
(r1 2u + (n ? 1)R1 ), Z2 = 2 (r1 2u? + (n ? 1)R2 ),
A4 (? = 0) : Z1 = 2
r2 r2
1 ? ? ? ?
2 (?r3 2u + 2r2 2u + (n ? 1)R3 ), Z4 = Z3 , Z5 = Z2 , Z6 = Z1 ;
Z3 =
r2
2? + n ? 1
r1 , Y2 = Y1? ,
A4 (? = 0) : Y1 = u2/??2 2u2u ?
?
Y3 = (uu? )2/??4 u2 {2(1 ? ?)(r1 u? ? r2 u)2 +
+ 2?u(u?2 R1 ? 2uu? R2 + u2 R3 ) ? r1 ?}, Y4 = Y3? ;
2
r2
{B1 (?Z1 + Z3 + 2Z5 ) + B2 (?Z6 + Z4 + 2Z2 )},
A5 (? = 0) :
(r1 + r3 )2
2
ir2
{B2 (?Z1 + Z3 + 2Z5 ) ? B1 (?Z6 + Z4 + 2Z2 )},
(r1 + r3 )2
2
r2
{u(Z1 + Z3 ) + u? (Z4 + Z6 )},
2
(r1 + r3 )
О симметрийных свойствах комплекснозначных волновых уравнений 353

2
ir2
{u(Z4 + Z6 ) ? u? (Z1 + Z3 )},
2
(r1 + r3 )
2
r2
{u(Z3 ? Z5 ) + u? (Z4 ? Z2 )},
2
(r1 + r3 )
2
ir2
{u(Z4 ? Z2 ) ? u? (Z3 ? Z5 )};
(r1 + r3 )2
u2 + u?2 2? + n ? 1
u2u + u? 2u? ?
A5 (? = 0) : (r1 + r3 ) ,
? 2?
u2 + u?2
{2?u(u?2 R1 ? 2uu? R2 + u2 R3 ) +
?
+ 2u? ?(u?2 R4 ? 2uu? R5 + u2 R6 + 2(1 ? ?)(r1 u? ? r2 u)2 +
+ 2(1 ? ?)(r3 u ? r2 u? )2 ? (r1 + r3 )?},
u2 + u?2
{(2? ? 1)(u? 2u ? u2u? )? ?
?
? (2? + n ? 1)(u? (u?2 R1 ? 2uu? R2 + u2 R3 ) ?
? u(u?2 R4 ? 2uu? R5 + u2 R6 ))};

ri , ? — обозначения, использовавшиеся при записи инвариантов нулевого и пер-
вого порядка. Приведенные системы инвариантов являются полными при n ? 3.
3. Симметрия уравнений (1), (2). Полную информацию об инвариантности
уравнения (1) относительно алгебр дает следующая
Теорема 1. Система (1 ) инвариантна относительно алгебр

если F = ?(u, u? , r1 , r2 , r3 );
A,
если F = f (?)u + ig(?)u?
A1 ,

(здесь и далее f и g обозначены произвольные действительные функции, ? и
?? — произвольные комплексные, ? — инварианты (13)–(18) соответствующих
алгебр);

?
A2 = A+ D1 , если F = u1?2/? ?(?);
A2 = A+ D2 , если F = exp u · ?(?);
?
если F = (u2 + u?2 )?4/? (uf (?) + iu? g(?));
A3 ,
1?n
F = u(n+3)/(n?1) ?(?);
если ? =
A4 , 2,
если F = (u + u?2 )2/(n?1) (uf (?) + iu? g(?)).
2
A5 ,

Для доказательства теоремы необходимо использовать лиевское условие инва-
риантности в виде
2
(22)
X iL =0
L=0
L? =0


и разрешить его относительно неизвестной функции F при заданных базисных
операторах алгебр A, A1 , . . . , A5 .
354 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

Теорема 2. Уравнение

(u? u? ? 1)(u? u? ? 1) = (u? u? )2 (23)
?? ?

является единственным уравнением первого порядка, инвариантным относи-
тельно алгебры Пуанкаре AP (1, n + 2), группа Ли которой задана в пространс-
тве (x, u, u? ).
Уравнение (23) можно рассматривать как комплексный аналог уравнения Га-
мильтона (эйконала) u? u? ? 1 = 0 [5].
Теорема 3. Единственной системой вида (2), инвариантной относительно ал-
гебры AP (1, n + 2), является система

(r2 ? (r3 ? 1)(r1 ? 1))2u + (r3 ? 1)R1 ? 2r2 R2 + (r1 ? 1)R3 = 0,
2
(24)
(r2 ? (r1 ? 1)(r3 ? 1))2u? + (r3 ? 1)R4 ? 2r2 R5 + (r1 ? 1)R6 = 0.
2


Система (24) представляет собой комплексное обобщение уравнения типа Эй-
лера–Лагранжа [4]:

2u(1 ? u? u? ) + u? uµ uµ? = 0.

Определение. Две системы уравнений

L? = 0, L? = 0,
L1 = 0, L2 = 0,
1 2

где L1 , L2 имеют вид (2), называются эквивалентными с точностью до реше-
ний уравнений первого порядка, или просто эквивалентными, если возможно

<< Предыдущая

стр. 82
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>