<< Предыдущая стр. 86(из 145 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
(bµ xµ ) cos h1 + (cµ xµ ) sin h1 + g1
5. 0 ?
aµ xµ ? (bµ xµ ) cos h2 ?
? (cµ xµ ) sin h2 ? g2 = 0
1/2
?? ?1 ? + ? ?1 ? = ?F1 (?)
?1 (bµ xµ + h1 )2 + (cµ xµ + h2 )2
6. ? ?
1/2
?2? ?1 ? + 2? ?1 ? = ?F1 (?)
?1 (bµ xµ )2 + (cµ xµ )2 + (dµ xµ )2
7. ? ?
8. 0 0 h1 0 = F1 (?)

Here h1 , g1 are arbitrary smooth functions on aµ xµ + dµ xµ , h2 , g2 — on ? + dµ xµ ;
aµ , bµ , cµ , dµ are arbitrary real parameters satisfying conditions of the form

?aµ aµ = bµ bµ = cµ cµ = dµ dµ = ?1,
aµ bµ = aµ cµ = aµ dµ = bµ cµ = bµ dµ = cµ dµ = 0.
370 W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov

3. Natural generalization of the formula (2) is given by ansatz of the form [4]

(15)
u(x) = f (x)?(?).

Some multi-parameter families of exact solutions of nonlinear d’Allembert equation
with nonlinearity F1 = ? uk , ?, k = const, were constructed with the help of ansatz
(15) by Fushchych and Serov [7].
Omitting intermediate calculations we write down new family of solutions of
equation (1) under F1 = ? uk obtained via ansatz (15)
1/(1?k)
1
?1
C6 + ? (1 ? k)2 ?
1?k
u(x) = R R (?)d?
2
1 1?
(aµ xµ ? dµ xµ ) ? RR?1 (bµ xµ )2 + (cµ xµ )2 +
?
2 2
1/(1?k)

+ f0 (bµ xµ )2 ? (cµ xµ )2 + f1 bµ xµ + f2 ,

where
1
C1 R?2 (?),
f0 (?) =
2
1
R?2 (?)d? ,
f1 (?) = C4 R(?) exp 4C1
2

R?2 (?)d? d? + C5 ,
f2 (?) = C4 R(?) exp 4C1

and ? = aµ xµ + dµ xµ , C1 , . . . , C6 = const.
Function R = R(?) is determined by formulae
??
? 2 1/2
(C2 ? + C3 )2 ? 16C1 ,
2
R(?) =
?
(8?C1 ? + C2 )1/2 , ? = ±1.

1. Beckers J., Patera J., Winternitz P., J. Math. Phys., 1977, 18, 72–83.
2. Cartan E., Les syst` mes differentiels ext?rieurs et leur applications scientifiques, Paris, Hermann,
e e
1946.
3. Collins C.B., Proc. Cambr. Phyl. Soc., 1976, 80, 165–172.
4. Fushchych W.I., The symmetry of mathematical physics problems, in Algebraic-theoretical studies
in mathematical physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1981, 6–28.
5. Fushchych W.I., On symmetry and some exact solutions of some many-dimensional equations of
mathematical physics, in Theoretical-algebraic methods in mathematical physics problems, Kiev,
Institute of Mathematics, 1983, 4–23.
6. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel Publ.
Comp., 1987.
7. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear multidimen-
sional Liouvile, d’Alambert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 3645–3656.
New exact solutions of nonlinear d’Allembert and Hamilton equations 371

8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Conformal symmetry and new exact solutions of SU2 Yang–Mills
theory, Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, 498–502.
9. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some exact solutions of a system of non-linear differential
equations for spinor and vector fields, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, 4173–4190.
10. Olver P.J., Applications of Lie groups to differential equations, Springer-Verlag, New York, 1986.
11. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of fundamental group of physics. I.
General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, 1597–1624.
e
12. Grundland A.M., Harmad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, 491–506.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 372–409.

Симметрия и точные решения нелинейного
уравнения Дирака
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ
Построены широкие семейства точных решений нелинейных уравнений для
классического дираковского поля. Предложены новые нелинейные конформно-
инвариантные уравнения для спинорного поля.

Vast families of exact solutions of the nonlinear equations for classical Dime field
are constructed. New nonlinear conformally-invariant equations for spinor field are
suggested.

Введение
Шестьдесят лет тому назад, н 1928 г. в журнале “Proceedings of the Royal
Society” [1] Поль Адриен Морис Дирак опубликовал открытое им принципиально
новое уравнение теоретической и математической физики

(?µ pµ ? m)?(x) = 0, (1)
µ = 0, 1, 2, 3,

которое, наряду с уравнениями Ньютона, Максвелла, Шредингера, лежит в основе
современной теоретической физики? . В (1) ?(x) — четырехкомпонентная компле-
кснозначная функция; x = (x0 ? t, x1 , x2 , x3 ) ? R(1, 3) — четырехмерное псевдо-
евклидово пространство; ?µ — четырехрядные матрицы, удовлетворяющие алгебре
Клиффорда

(2)
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? ,

где gµ? = diag (1, ?1, ?1, ?1), m — масса частицы.
Проблеме построения линейных многокомпонентных уравнений, обобщающих
уравнение Дирака (1), для частиц произвольного спина посвящено огромное число
работ (см., например, [2–6] и литературу в [6]).
Луи де Бройль высказал идею о том, что частицы (поля) со спинами s =
0, 1, 3/2, . . . должны строиться на основе спинорного ypавнения Дирака (1). Линей-
ной реализации этой идеи посвящены работы по теории линейных релятивистских
уравнений для частиц произвольного спина.
Первой нелинейной попыткой реализации идеи де Бройля была статья Д. Ива-
ненко [7], в которой предложено нелинейное обобщение уравнения Дирака в виде
?
[?µ pµ ? m + ?(??)]?(x) = 0. (3)

В начале 50-х годов В. Гейзенберг [8–11] выдвинул программу по разработке
единой теории поля на основе следующего нелинейного обобщения уравнения (1):
?
[?µ pµ + ?(??µ ?4 ?)? µ ?4 ]?(x) = 0, (4)
?4 = ?0 ?1 ?2 ?3 .
Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1988, 19, вып. 5, C. 1154–1196.
? Настоящийобзор посвящен шестидесятилетию открытия Дираком уравнения для спипорного поля.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 373

Простейшее конформно-инвариантное нелинейное спинорное уравнение полу-
чил Ф. Гюрши [12]:
?
?µ pµ + ?(??)1/3 ?(x) = 0. (5)

Широкий класс конформно-инвариантных нелинейных уравнений типа Дирака,
отличных от (4), (5), предложен в [13]. Одно из них имеет вид

?µ pµ + ?(??µ ?)? µ [(??? ?)(?? ? ?)]?1/3 ?(x) = 0.
? ? ?

В [14, 15] предложен простой способ построения нелинейных спинорных урав-
нений, которые по своим симметрийным свойствам существенно отличаются от
уравнений (1)–(5). Наиболее простое уравнение такого класса получается с помо-
щью замены
?
?µ > ??µ ?. (6)
Сделав в (1) замену (6) и положив m = 0, приходим к нелинейному уравне-
нию [14]
?
(??µ ?)pµ ? = 0. (7)
Можно доказать, что система дифференциальных уравнений в частных произво-
дных (ДУЧП) (7) инвариантна относительно бесконечномерной алгебры Ли.
В литературе существует немного работ, в которых построены в явном виде
точные решения нелинейных спинорных уравнений [16–22].
В настоящей статье, в основу которой положены работы авторов [23–28], по-
строены классы точных решений нелинейных спинорных уравнений. Речь пойдет о
построении многопараметрических семейств классических (неквантовых) решений
нелинейных спинорных систем.
Структура обзора такова. В разд. 1 изучена симметрия нелинейного уравнения
Дирака
[?µ pµ + F (? ? , ?)]?(x) = 0, (8)
где F (? ? , ?) — произвольная четырехрядная матрица, элементы которой являются
гладкими функциями восьми полевых переменных ? ? , ?. Описаны все матрицы
F (? ? , ?), при которых уравнение (8) инвариантно относительно группы Пуанкаре
?
P (1, 3), расширенной группы Пуанкаре P (1, 3) — группы Пуанкаре, дополненной
однопараметрической группой масштабных преобразований, конформной группы
?
C(1, 3) ? P (1, 3) ? P (1, 3).
В разд. 2 описаны анзацы
(9)
?(x) = A(x)?(?),
предложенные в [23] и систематически описанные в [24–28], которые редуци-
руют систему (8) к системе для четырех функций, зависящих только от трех
новых инвариантных переменных ? = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}. Дираковский спинор
?(x) зависит от четырех переменных x = (x0 , x1 , x2 , x3 ). В (9) A(x) — некото-
рая невырожденная матрица размерности 4 ? 4, явный вид которой будет найден.
В том случае, когда ? зависит только от одной независимой переменной, анзац
374 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

(9) редуцирует уравнение (8) к системе четырех обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (ОДУ). Многие из таких ОДУ удается решить точно и тем самым
построить точные решения исходного нелинейного спинорного уравнения (8).
В разд. 3 приведены редуцированные уравнения для спинорного уравнения типа
(8). Явный вид многопараметрических семейств решений спинорного уравнения
приведен в разд. 4. Симметрия редуцированных уравнений обсуждена в разд. 5.
Двумерным нелинейным спинорным моделям посвящен заключительный раздел.
Исследованию симметрийных свойств и построению точных решений много-
мерных нелинейных волновых уравнений
2u + F (u) = 0
посвящены работы [14, 15, 23, 29]. Широкие классы точных решений многомерного
уравнения Шредингера с дробной степенью
1
p0 ? pa pa u(t, x) = ?|u|4/3 u(t, x)
2m
построены в [30]. Решению лоренц-инвариантных волновых уравнений с диффе-
ренциальными связями посвящены статьи [28, 31].

1. Нелинейные спинорные уравнения инвариантные
?
относительно групп P (1, 3), P (1, 3), C(1, 3)
В этом разделе описаны все уравнения вида (8), инвариантные относитель-
но группы Пуанкаре P (1, 3) и ее расширений — расширенной группы Пуанкаре
?
P (1, 3) и конформной группы C(1, 3). Напомним, что расширенной группой Пу-
анкаре называется 11-параметрическая группа преобразований {P (1, 3), D(1)}, где
D(1) — однопараметрическая группа масштабных преобразований
xµ = e? xµ , ? (x ) = ek? ?(x), k, ? = const. (10)
15-параметрическая конформная группа C(1, 3) включает в себя расширенную
группу Пуанкаре и 4-параметрическую группу специальных конформных преобра-
зований (которую мы будем обозначать K(4)):
xµ = (xµ ? ?µ x · x)? ?1 (x);
(11)
? (x ) = ?(x)[1 ? (? · ?)(? · x)]?(x),
где ?(x) = 1?2?·x+(?·?)(x·x); ?µ — параметры группы K(4). Здесь и в дальнейшем
используется сокращенная запись скалярного произведения в псевдоевклидовом
пространстве R(1, 3):
a · b ? aµ bµ = g µ? aµ b? , (12)
µ, ? = 0, 1, 2, 3.
Теорема 1. Уравнение (8) является пуанкаре-инвариантным, если и только
если
? ?
F = F1 + F2 ?4 + F3 ? µ (??4 ?µ ?) + F4 S µ? (??4 Sµ? ?),
(13)
i
Sµ? = (?µ ?? ? ?? ?µ ),
4
где ? = ? † ?0 ; F1 , F2 , F3 , F4 — произвольные скалярные функции от ??, ??4 ?.
? ? ?
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 375

Мы приводим схему доказательства, в основе которой лежит инфинитезималь-
ный алгоритм Ли [32–34]. Разлагая матрицу F (? ? , ?) по базису ?-матриц (см.,
например, [35])
F = a(? ? , ?)I + bµ (? ? , ?)?µ + cµ? (? ? , ?)Sµ? +
(14)
+ dµ (? ? , ?)?µ ?4 + e(? ? , ?)?4
и используя критерий инвариантности, получаем, что необходимым и достаточным
условием инвариантности уравнения (8) относительно группы Пуанкаре является
выполнение следующих равенств:
Q0k a = 0, Q0k e = 0, Q0k bµ + b? (g?0 gµk ? g?k gµ0 ) = 0,
Q0k dµ + d? (g?0 gµk ? g?k gµ0 ) = 0,
µ? µ? µ? µ?
Q0k cµ? + c?? (g?k ??0 + g?0 ??k ? g?0 ??k ? g?k ??0 ) = 0, k = 1, 3,
(15)
? ?
?
Q0a = (S0a ?)? ? + (?S0a )? ?? , a = 1, 3,
?? ??
µ? µ?
??? = ?? ?? ? ?? ?? , ?, ?, µ, ? = 0, 3, ?? — символ Кронекера.
 << Предыдущая стр. 86(из 145 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>